Ben Green (matematyk)

Większość badań Greena jest w dziedzinie analitycznej teorii liczb i kombinatoryki addytywnej, ale ma on również wyniki w analizie harmonicznej i teorii grup. Jego najbardziej znane twierdzenie, udowodnione wspólnie z jego częstym współpracownikiem Terence Tao, stwierdza, że istnieją arbitralnie długie postępy arytmetyczne w liczbach pierwszych: jest to obecnie znane jako twierdzenie Greena-Tao.

Wśród wczesnych wyników Greena w kombinatoryce addytywnej znajduje się poprawa wyniku Jeana Bourgaina o wielkości postępów arytmetycznych w sumach, jak również dowód przypuszczenia Camerona-Erdősa o zbiorach liczb naturalnych bez sum. Udowodnił także lemat regularności arytmetycznej dla funkcji zdefiniowanych na N pierwszych liczbach naturalnych, nieco analogiczny do lematu regularności Szemerédiego dla grafów.

W latach 2004-2010, we wspólnej pracy z Terence Tao i Tamar Ziegler, rozwijał tzw. analizę Fouriera wyższego rzędu. Teoria ta wiąże normy Gowersa z obiektami znanymi jako nilsequences. Nazwa teorii pochodzi od tych nilekwencji, które pełnią rolę analogiczną do roli, jaką pełnią znaki w klasycznej analizie Fouriera. Green i Tao wykorzystali analizę Fouriera wyższego rzędu do przedstawienia nowej metody liczenia liczby rozwiązań równań równoczesnych w pewnych zbiorach liczb całkowitych, w tym w zbiorach pierwszych. Jest to uogólnienie klasycznego podejścia wykorzystującego metodę kół Hardy’ego–Littlewooda. Wiele aspektów tej teorii, w tym ilościowe aspekty odwrotnego twierdzenia dla norm Gowersa, są nadal przedmiotem bieżących badań.

Green współpracował również z Emmanuelem Breuillardem nad zagadnieniami z teorii grup. W szczególności, wspólnie z Terence Tao, udowodnili twierdzenie o strukturze grup przybliżonych, uogólniając twierdzenie Freimana-Ruzsy o zbiorach liczb całkowitych z małymi podwojeniami. Green ma również pracę, wspólnie z Kevinem Fordem i Seanem Eberhardem, na temat teorii grupy symetrycznej, w szczególności na temat tego, jaka część jej elementów ustala zbiór o rozmiarze k {\i1} .

Green i Tao mają również pracę na temat algebraicznej geometrii kombinatorycznej, rozwiązującą konspirację Diraca-Motzkina (patrz Sylvester-Gallai theorem). W szczególności dowodzą, że biorąc pod uwagę dowolny zbiór n {displaystyle n} punktów na płaszczyźnie, które nie są wszystkie współliniowe, jeśli n {displaystyle n} jest wystarczająco duży, to musi istnieć co najmniej n / 2 {displaystyle n/2} linie na płaszczyźnie zawierające dokładnie dwa z punktów.

Kevin Ford, Ben Green, Siergiej Konyagin, James Maynard i Terence Tao, początkowo w dwóch oddzielnych grupach badawczych, a następnie w połączeniu, poprawili dolne ograniczenie na rozmiar najdłuższej luki między dwoma kolejnymi prymami o rozmiarze co najwyżej X {displaystyle X} . Postać poprzednio najlepiej znanej granicy, zasadniczo zawdzięczanej Rankinowi, nie była poprawiana przez 76 lat.

W ostatnim czasie Green rozważał zagadnienia z arytmetycznej teorii Ramseya. Wraz z Tomem Sandersem udowodnił, że jeśli wystarczająco duże pole skończone rzędu pierwszego jest pokolorowane stałą liczbą kolorów, to pole ma elementy x , y {{displaystyle x,y} takie, że x , y , x + y , x y {{displaystyle x,y,x{+}y,xy} wszystkie mają ten sam kolor.

Green był również zaangażowany w nowe osiągnięcia Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt dotyczące zastosowania metody wielomianowej do związania rozmiaru podzbiorów skończonej przestrzeni wektorowej bez rozwiązań równań liniowych. Zaadaptował te metody do udowodnienia, w polach funkcyjnych, silnej wersji twierdzenia Sárközy’ego.

.