Brahmagupta

AlgebraEdit

Brahmagupta podał rozwiązanie ogólnego równania liniowego w rozdziale osiemnastym Brahmasphutasiddhānta,

Różnica między rupami, po odwróceniu i podzieleniu przez różnicę niewiadomych, jest niewiadomą w równaniu. Rupy są mniejsze od tej, od której należy odjąć kwadrat i niewiadomą.

która jest rozwiązaniem równania bx + c = dx + e, gdzie rupy odnoszą się do stałych c i e. Podane rozwiązanie jest równoważne x = e – c/b – d. Dalej podał dwa równoważne rozwiązania ogólnego równania kwadratowego

18.44. Pomniejsz przez środek pierwiastek kwadratowy z rupii pomnożonej przez czterokrotność kwadratu i powiększonej o kwadrat środka ; resztę podziel przez dwukrotność kwadratu. środka .
18.45. Cokolwiek jest pierwiastkiem kwadratowym z rupii pomnożonym przez kwadrat powiększony o kwadrat połowy niewiadomej, pomniejsz to przez połowę niewiadomej podziel przez jej kwadrat. niewiadomej.

które są, odpowiednio, rozwiązaniami równania ax2 + bx = c równoważnymi,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {{displaystyle x={frac {{sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}

i

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {displaystyle x={{displayfrac {{pm {{sqrt {ac+{tfrac {b^{2}}}{4}}}}-{tfrac {b}{2}}}}{a}}}

Potem przeszedł do rozwiązywania układów równoczesnych równań nieoznaczonych stwierdzając, że najpierw należy wyodrębnić zmienną pożądaną, a następnie podzielić równanie przez współczynnik zmiennej pożądanej. W szczególności, zalecał użycie „pulweryzatora” do rozwiązywania równań z wieloma niewiadomymi.

18.51. Odejmij kolory różne od pierwszego koloru. podzielone przez pierwszy jest miarą pierwszego. dwa przez dwa uważane za podobne dzielniki, wielokrotnie. Jeśli jest wiele, pulweryzator .

Like algebra Diophantus, algebra Brahmagupta był syncopated. Dodawanie było wskazywane przez umieszczenie liczb obok siebie, odejmowanie przez umieszczenie kropki nad subtrahendem, a dzielenie przez umieszczenie dzielnika poniżej dywidendy, podobnie jak w naszej notacji, ale bez paska. Mnożenie, ewolucja i nieznane wielkości były przedstawiane za pomocą skrótów odpowiednich terminów. Zakres greckiego wpływu na tę synkopę, jeśli w ogóle, nie jest znany i jest możliwe, że zarówno grecka jak i indyjska synkopa mogą pochodzić ze wspólnego babilońskiego źródła.

ArytmetykaEdit

Cztery podstawowe operacje (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) były znane wielu kulturom przed Brahmaguptą. Ten obecny system jest oparty na hinduskim arabskim systemie liczbowym i po raz pierwszy pojawił się w Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta opisuje mnożenie w ten sposób: „Mnożnik jest powtarzany jak struna dla bydła, tak często jak istnieją części całkowite w mnożniku i jest wielokrotnie przez nie mnożony, a produkty są dodawane razem. To jest mnożenie. Albo mnożnik jest powtarzany tyle razy, ile jest części składowych w mnożniku”. Arytmetyka indyjska znana była w średniowiecznej Europie jako „Modus Indorum”, czyli metoda Hindusów. W Brahmasphutasiddhanta, mnożenie zostało nazwane Gomutrika. Na początku dwunastego rozdziału swojej Brahmasphutasiddhānty, zatytułowanego Obliczenia, Brahmagupta szczegółowo opisuje operacje na ułamkach. Od czytelnika oczekuje się znajomości podstawowych operacji arytmetycznych w zakresie pierwiastka kwadratowego, chociaż wyjaśnia jak znaleźć sześcian i pierwiastek sześcienny z liczby całkowitej, a później podaje reguły ułatwiające obliczanie kwadratów i pierwiastków kwadratowych. Następnie podaje reguły postępowania z pięcioma rodzajami kombinacji ułamków: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; oraz a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SeriesEdit

Brahmagupta następnie przechodzi do podania sumy kwadratów i sześcianów pierwszych n liczb całkowitych.

12.20. Suma kwadratów jest to, że pomnożone przez dwa razy krok zwiększony o jeden podzielone przez trzy. Suma sześcianów jest kwadratem tego, że stosy tych z identycznych piłek .

Here Brahmagupta znaleźć wynik w kategoriach sumy pierwszych n liczb całkowitych, a nie w kategoriach n jak jest nowoczesna praktyka.

Podaje on sumę kwadratów pierwszych n liczb naturalnych jako n(n + 1)(2n + 1)/6 i sumę sześcianów pierwszych n liczb naturalnych jako (n(n + 1)/2)2
.

ZeroEdit

Brahmagupta’s Brahmasphuṭasiddhānta jest pierwszą książką, która dostarcza reguł dla arytmetycznych manipulacji, które stosują się do zera i do liczb ujemnych. Brahmasphutasiddhānta jest najwcześniejszym znanym tekstem, który traktuje zero jako liczbę samą w sobie, a nie tylko jako cyfrę zastępczą w reprezentacji innej liczby, jak czynili to Babilończycy lub jako symbol braku ilości, jak czynili to Ptolemeusz i Rzymianie. W rozdziale osiemnastym swojej Brahmasphutasiddhānty, Brahmagupta opisuje operacje na liczbach ujemnych. On najpierw opisuje dodawanie i odejmowanie,

18.30. dwóch dodatnich jest dodatnie, dwóch ujemnych ujemne; dodatnie i ujemne jest ich różnica; jeśli są równe to jest zero. Suma ujemnego i zera jest ujemna, dodatniego i zera dodatnia, dwóch zer zer zerowa.

18.32. Ujemne minus zero jest ujemne, dodatnie dodatnie; zero jest zerem. Gdy dodatnie ma być odjęte od ujemnego lub ujemne od dodatniego, to należy je dodać.

Dalej opisuje mnożenie,

18.33. Iloczyn ujemnego i dodatniego jest ujemny, dwóch ujemnych dodatni, a dodatnich dodatni; iloczyn zera i ujemnego, zera i dodatniego lub dwóch zer jest zerowy.

Jego opis dzielenia przez zero różni się jednak od naszego współczesnego rozumienia:

18.34. Dodatek podzielony przez dodatni lub ujemny podzielony przez ujemny jest dodatni; zero podzielone przez zero jest zerem; dodatni podzielony przez ujemny jest ujemny; ujemny podzielony przez dodatni jest ujemny.
18.35. Ujemna lub dodatnia podzielona przez zero ma to za dzielnik, albo zero podzielone przez ujemną lub dodatnią . Kwadrat ujemnego lub dodatniego jest dodatni; zero jest zerem. To, co jest kwadratem, jest kwadratem-korzeniem.

Tutaj Brahmagupta stwierdza, że 0/0 = 0, a co do pytania a/0, gdzie a ≠ 0, nie zobowiązał się. Jego zasady arytmetyki na liczbach ujemnych i zerze są całkiem bliskie współczesnemu rozumieniu, z wyjątkiem tego, że w nowoczesnej matematyce dzielenie przez zero jest pozostawione niezdefiniowane.

Analiza diofantynowaEdit

Trójki pitagorejskieEdit

W rozdziale dwunastym swojej Brahmasphutasiddhanty, Brahmagupta podaje wzór przydatny do generowania trójek pitagorejskich:

12.39. Wysokość góry pomnożona przez dany mnożnik jest odległością do miasta; nie jest wymazywana. Gdy podzieli się ją przez mnożnik zwiększony o dwa, to jest to skok jednego z dwóch, którzy odbywają tę samą podróż.

Or, innymi słowy, jeśli d = mx/x + 2, to podróżnik, który „skacze” pionowo w górę odległość d od szczytu góry o wysokości m, a następnie podróżuje w linii prostej do miasta w odległości poziomej mx od podstawy góry, podróżuje taką samą odległość jak ten, kto schodzi pionowo w dół góry, a następnie podróżuje wzdłuż poziomu do miasta. W ujęciu geometrycznym mówi to, że jeśli trójkąt prostokątny ma podstawę o długości a = mx i wysokość o długości b = m + d, to długość, c, jego przeciwprostokątnej jest dana przez c = m(1 + x) – d. I rzeczywiście, elementarna manipulacja algebraiczna pokazuje, że a2 + b2 = c2 zawsze, gdy d ma podaną wartość. Ponadto, jeśli m i x są racjonalne, to tak samo jest z d, a, b i c. Trójkę pitagorejską można zatem otrzymać z a, b i c przez pomnożenie każdego z nich przez najmniejszą wspólną wielokrotność ich mianowników.

Równanie Pell’aEdit

Brahmagupta podał relację rekurencyjną do generowania rozwiązań pewnych przypadków równań diofantycznych drugiego stopnia, takich jak Nx2 + 1 = y2 (zwanych równaniem Pell’a) przy użyciu algorytmu Euklidesa. Algorytm Euklidesa był mu znany jako „pulweryzator”, ponieważ rozkłada liczby na coraz mniejsze kawałki.

Przyroda kwadratów:
18.64. dwukrotność pierwiastka kwadratowego danego kwadratu przez mnożnik i powiększony lub pomniejszony o dowolny . Iloczyn pierwszego , pomnożonego przez mnożnik, z iloczynem ostatniego , jest ostatnim obliczonym.
18.65. Suma iloczynów piorunów jest pierwsza. Dodatek jest równy iloczynowi dodatków. Dwa pierwiastki kwadratowe, podzielone przez dodatek lub odejmnik, są rupami addytywnymi.

Kluczem do jego rozwiązania była tożsamość,

( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 2 – N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

co jest uogólnieniem tożsamości odkrytej przez Diophantusa,

( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 2 – y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Używając swojej tożsamości i faktu, że jeśli (x1, y1) i (x2, y2) są rozwiązaniami równań x2 – Ny2 = k1 i x2 – Ny2 = k2, odpowiednio, to (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y1) jest rozwiązaniem x2 – Ny2 = k1k2, był w stanie znaleźć całkowe rozwiązania równania Pella poprzez serię równań postaci x2 – Ny2 = ki. Brahmagupta nie był w stanie zastosować swojego rozwiązania równomiernie dla wszystkich możliwych wartości N, a raczej był w stanie pokazać, że jeśli x2 – Ny2 = k ma rozwiązanie całkowite dla k = ±1, ±2 lub ±4, to x2 – Ny2 = 1 ma rozwiązanie. Rozwiązanie ogólnego równania Pella musiałoby poczekać na Bhaskarę II w c. 1150 CE.

GeometriaEdit

Wzór BrahmaguptyEdit

Najsłynniejszym wynikiem Brahmagupty w geometrii jest jego wzór na czworokąty cykliczne. Biorąc pod uwagę długości boków dowolnego czworokąta, Brahmagupta podał przybliżony i dokładny wzór na pole figury,

12,21. Przybliżona powierzchnia jest iloczynem połówek sum boków i przeciwległych boków trójkąta i czworokąta. Dokładne jest pierwiastkiem kwadratowym z iloczynu połówek sum boków pomniejszonych o bok czworokąta.

Dając więc długości p, q, r i s czworokąta foremnego, przybliżone pole wynosi p + r/2 – q + s/2, natomiast pozwalając t = p + q + r + s/2, dokładne pole wynosi

√(t – p)(t – q)(t – r)(t – s).

TrójkątyEdit

Brahmagupta poświęcił znaczną część swojej pracy geometrii. Jedno z twierdzeń podaje długości dwóch odcinków, na które podstawa trójkąta jest podzielona przez jego wysokość:

12,22. Podstawa zmniejszała się i zwiększała o różnicę między kwadratami boków podzielonymi przez podstawę; przy dzieleniu przez dwa są to odcinki prawdziwe. Prostopadła jest pierwiastkiem kwadratowym z kwadratu boku pomniejszonego o kwadrat jego odcinka.

Dlatego długości dwóch odcinków wynoszą 1/2(b ± c2 – a2/b).

Ponadto podaje twierdzenie o trójkątach racjonalnych. Trójkąt o racjonalnych bokach a, b, c i racjonalnym polu ma postać:

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {{displaystyle a={frac {1}{2}}}left({{frac {u^{2}}{v}}+v}right),\ b={frac {1}{2}}left({u^{2}}{w}}+prawo), c={frac {1}{2}}left({u^{2}}{v}}-v+{u^{2}}{w}}-prawo)}

dla pewnych liczb racjonalnych u, v, i w.

Twierdzenie BrahmaguptyEdit

Brahmagupta kontynuuje,

12.23. Pierwiastek kwadratowy z sumy dwóch iloczynów boków i przeciwległych boków czworokąta nierównoramiennego jest przekątną. Kwadrat przekątnej jest pomniejszony o kwadrat połowy sumy podstawy i wierzchołka; pierwiastek kwadratowy jest prostopadłą .

Więc w „nierównym” czworokącie cyklicznym (czyli trapezie równoramiennym) długość każdej przekątnej wynosi √pr + qs.

He continues to give formulas for the lengths and areas of geometric figures, such as the circumradius of an isosceles trapezoid and a scalene quadrilateral, and the lengths of diagonals in a scalene cyclic quadrilateral. To prowadzi do słynnego twierdzenia Brahmagupty,

12.30-31. Obrazując dwa trójkąty z nierównymi bokami, dwie przekątne są dwiema podstawami. Ich dwa odcinki są oddzielnie górnym i dolnym odcinkiem na przecięciu przekątnych. Dwie z dwóch przekątnych to dwa boki w trójkącie; podstawa . Jej prostopadła to dolna część prostopadłej; górna część prostopadłej to połowa sumy prostopadłych pomniejszona o dolną .

PiEdit

W wersie 40 podaje wartości π,

12,40. Średnica i kwadrat promienia pomnożony przez 3 to praktyczny obwód i powierzchnia. Dokładne są pierwiastkami kwadratowymi z kwadratów tych dwóch pomnożonych przez dziesięć.

Więc Brahmagupta używa 3 jako „praktycznej” wartości π, a 10 ≈ 3.1622 … {displaystyle { {sqrt {10}}approx 3.1622}ldots }

jako „dokładną” wartość π. Błąd w tej „dokładnej” wartości jest mniejszy niż 1%.

Pomiary i konstrukcjeEdit

W niektórych wersetach przed wersetem 40, Brahmagupta podaje konstrukcje różnych figur o dowolnych bokach. On zasadniczo manipulował trójkątami prostymi, aby stworzyć trójkąty równoramienne, trójkąty skalenne, prostokąty, trapezy równoramienne, trapezy równoramienne z trzema równymi bokami i cykliczny czworokąt skalenny.

Po podaniu wartości pi, zajmuje się geometrią figur płaskich i brył, takich jak znajdowanie objętości i powierzchni (lub pustych przestrzeni wykopanych z brył). Znajduje objętość graniastosłupów prostokątnych, ostrosłupów i podstawy ostrosłupa czworokątnego. Znajduje również średnią głębokość serii dołów. Dla objętości frustum ostrosłupa, on daje „pragmatyczne” wartość jako głębokość razy kwadrat średniej krawędzi górnej i dolnej twarzy, a on daje „powierzchniowe” objętość jako głębokość razy ich średnią powierzchnię.

TrigonometriaEdit

Tablica sinusówEdit

W rozdziale 2 swojej Brahmasphutasiddhanty, zatytułowanym Planetarne Prawdziwe Długości, Brahmagupta przedstawia tablicę sinusów:

2.2-5. Sinusy: The Progenitors, bliźniak; Ursa Major, bliźniak, the Vedas; the bóg, ogień, sześć; smak, kostka, the bóg; the księżyc, pięć, the niebo, the księżyc; the księżyc, strzałka, słońce

Here Brahmagupta używać imię przedmiot reprezentować the cyfra miejsce-wartość numerals, gdy być pospolity z numeryczny dane w Sanskrit traktat. Progenitors reprezentuje 14 Progenitors („Manu”) w indyjskiej kosmologii lub 14, „twins” oznacza 2, „Ursa Major” reprezentuje siedem gwiazd Ursa Major lub 7, „Vedas” odnosi się do 4 Vedas lub 4, dice reprezentuje liczbę stron tradycyjnej matrycy lub 6, i tak dalej. Te informacje można przetłumaczyć na listę sinusów, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 i 3270, z promieniem 3270.

Wzór interpolacjiEdit

In 665 Brahmagupta devised and used a special case of the Newton-Stirling interpolation formula of the second-order to interpolatenew values of the sine function from other values already tabulated. Wzór ten daje oszacowanie wartości funkcji f przy wartości a + xh jej argumentu (przy h > 0 i -1 ≤ x ≤ 1), gdy jej wartość jest już znana przy a – h, a i a + h.

Wzór na estymatę to:

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! {f(a+xh)\\approx f(a)+x{}}+x^{2}{\frac {\i0}f(a)+\i0}f(a-h)}{2!}}.

.