Ciekawe potęgi 1 + sqrt 2

Ostatnio na mathstodon.xyz, Colin Wright zamieścił następującą zagadkę:

Jaka jest 99. cyfra na prawo od kropki dziesiętnej w rozwinięciu dziesiętnym liczby ?

Oczywiście, jest to wystarczająco proste, aby użyć komputera do znalezienia odpowiedzi; każdy język lub system oprogramowania, który może obliczać z liczbami rzeczywistymi o arbitralnej precyzji, może znaleźć poprawną odpowiedź w ułamku sekundy. Ale to oczywiście nie o to chodzi! Czy możemy użyć logicznego rozumowania, aby wywnioskować lub udowodnić poprawną odpowiedź, bez wykonywania mnóstwa obliczeń? Nawet jeśli znajdziemy odpowiedź obliczeniowo, czy potrafimy wyjaśnić, dlaczego jest to właściwa odpowiedź? Rozwiązanie tej zagadki zabrało mnie w fascynującą króliczą norę, którą chciałbym się z wami podzielić w następnym poście, trzech lub ośmiu.

Na razie pozwolę wam pomyśleć o tej zagadce. Chociaż używanie komputera do prostego obliczenia odpowiedzi jest oszustwem, zachęcam do używania komputera lub kalkulatora do wypróbowania mniejszych przykładów i szukania wzorów. Nie jest zbyt trudno dostrzec wzór i domyślić się właściwej odpowiedzi; interesującą częścią, oczywiście, jest dowiedzieć się, dlaczego ten wzór się zdarza, i udowodnić, że trwa.

.