Geometria analityczna

Elementarna geometria analityczna

Apolloniusz z Pergi (ok. 262-190 p.n.e.), zwany przez współczesnych „Wielkim Geometrą”, swoją księgą Stożki zapowiadał rozwój geometrii analitycznej o ponad 1800 lat. Zdefiniował on stożkową jako przecięcie stożka i płaszczyzny (patrz rysunek). Korzystając z wyników Euklidesa dotyczących trójkątów podobnych i siecznych okręgów, znalazł zależność spełnioną przez odległości od dowolnego punktu P stożkowej do dwóch prostopadłych linii, osi głównej stożkowej i stycznej w punkcie końcowym osi. Odległości te odpowiadają współrzędnym punktu P, a związek między tymi współrzędnymi odpowiada kwadratowemu równaniu stożkowej. Apolloniusz wykorzystał tę relację do wyprowadzenia podstawowych własności stożków. Zobacz przekrój stożkowy.

Dalszy rozwój układów współrzędnych (patrz rysunek) w matematyce pojawił się dopiero po tym, jak algebra dojrzała pod rządami matematyków islamskich i indyjskich. (Patrz matematyka: Świat islamski (8-15 w.) i matematyka, południowoazjatycka). Pod koniec XVI wieku francuski matematyk François Viète wprowadził pierwszą systematyczną notację algebraiczną, używając liter do reprezentowania znanych i nieznanych wielkości liczbowych, i opracował potężne ogólne metody pracy z wyrażeniami algebraicznymi i rozwiązywania równań algebraicznych. Dzięki potędze notacji algebraicznej matematycy nie byli już całkowicie zależni od figur geometrycznych i intuicji geometrycznej w rozwiązywaniu problemów. Bardziej odważni zaczęli odchodzić od standardowego geometrycznego sposobu myślenia, w którym zmienne liniowe (pierwszej potęgi) odpowiadały długościom, kwadraty (drugiej potęgi) powierzchniom, a sześciany (trzeciej potęgi) objętościom, przy czym wyższe potęgi nie miały „fizycznej” interpretacji. Dwaj Francuzi, matematyk-filozof René Descartes i prawnik-matematyk Pierre de Fermat, byli jednymi z pierwszych, którzy podjęli ten odważny krok.

Descartes i Fermat niezależnie założyli geometrię analityczną w latach trzydziestych XVI wieku, dostosowując algebrę Viète’a do badania geometrycznych loci. Posunęli się zdecydowanie dalej niż Viète, używając liter do reprezentowania odległości, które są zmienne, a nie stałe. Kartezjusz używał równań do badania krzywych zdefiniowanych geometrycznie i podkreślał potrzebę rozważania ogólnych krzywych algebraicznych – wykresów równań wielomianowych w x i y wszystkich stopni. Swoją metodę zademonstrował na klasycznym problemie: znalezieniu wszystkich punktów P takich, że iloczyn odległości od P do pewnych prostych jest równy iloczynowi odległości do innych prostych. Zobacz geometria: Geometria kartezjańska.

Fermat podkreślił, że każda relacja między współrzędnymi x i y wyznacza krzywą (patrz rysunek). Używając tej idei, przekształcił argumenty Apolloniusza w terminy algebraiczne i przywrócił utraconą pracę. Fermat wskazał, że każde równanie kwadratowe w x i y może być ujęte w standardową formę jednego z odcinków stożkowych.

Fermat nie opublikował swojej pracy, a Kartezjusz celowo uczynił ją trudną do przeczytania, aby zniechęcić „dabblers”. Ich idee zyskały powszechną akceptację dopiero dzięki wysiłkom innych matematyków w drugiej połowie XVII wieku. W szczególności, holenderski matematyk Frans van Schooten przetłumaczył pisma Kartezjusza z francuskiego na łacinę. Dodał ważne wyjaśnienia, podobnie jak francuski prawnik Florimond de Beaune i holenderski matematyk Johan de Witt. W Anglii matematyk John Wallis spopularyzował geometrię analityczną, używając równań do definiowania stożków i wyprowadzania ich własności. Używał swobodnie współrzędnych ujemnych, chociaż to Isaac Newton jednoznacznie użył dwóch (skośnych) osi do podziału płaszczyzny na cztery kwadranty, jak pokazano na rysunku.

Geometria analityczna wywarła największy wpływ na matematykę poprzez rachunek. Bez dostępu do możliwości geometrii analitycznej klasyczni greccy matematycy, tacy jak Archimedes (ok. 285-212/211 p.n.e.), rozwiązywali specjalne przypadki podstawowych problemów rachunku: znajdowania stycznych i punktów ekstremalnych (rachunek różniczkowy) oraz długości łuków, powierzchni i objętości (rachunek całkowy). Do tych problemów matematyków renesansu skłoniły potrzeby astronomii, optyki, nawigacji, działań wojennych i handlu. W naturalny sposób starali się wykorzystać możliwości algebry do definiowania i analizowania coraz szerszego zakresu krzywych.

Fermat opracował algebraiczny algorytm znajdowania stycznej do krzywej algebraicznej w punkcie przez znalezienie linii, która ma podwójne przecięcie z krzywą w tym punkcie – w istocie wynalazł rachunek różniczkowy. Kartezjusz wprowadził podobny, ale bardziej skomplikowany algorytm wykorzystujący okrąg. Fermat obliczył pola powierzchni pod krzywymi y = axk dla wszystkich liczb racjonalnych k ≠ -1, sumując pola prostokątów wpisanych i wpisanych. (Zob. wyczerpanie, metoda.) Przez resztę XVII wieku prace nad rachunkiem kontynuowało wielu matematyków, w tym Francuz Gilles Personne de Roberval, Włoch Bonaventura Cavalieri oraz Brytyjczycy James Gregory, John Wallis i Isaac Barrow.

Newton i Niemiec Gottfried Leibniz zrewolucjonizowali matematykę pod koniec XVII wieku, niezależnie demonstrując możliwości rachunku. Obaj mężczyźni użyli współrzędnych do opracowania notacji, które wyrażały idee rachunku w pełnej ogólności i w naturalny sposób doprowadziły do reguł różniczkowania i podstawowego twierdzenia rachunku (łączącego rachunek różniczkowy i całkowy). Patrz analiza.

Newton zademonstrował znaczenie metod analitycznych w geometrii, oprócz ich roli w rachunku, gdy stwierdził, że każda sześcienna lub algebraiczna krzywa stopnia trzeciego ma jedno z czterech standardowych równań,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, dla odpowiednich osi współrzędnych. Szkocki matematyk James Stirling udowodnił to twierdzenie w 1717 roku, prawdopodobnie z pomocą Newtona. Newton podzielił sześciany na 72 gatunki, które później poprawiono na 78.

Newton pokazał również, jak wyrazić krzywą algebraiczną w pobliżu początku w kategoriach ułamkowego szeregu potęgowego y = a1x1/k + a2x2/k + … dla dodatniej liczby całkowitej k. Matematycy od tego czasu używali tej techniki do badania krzywych algebraicznych wszystkich stopni.

Newton pokazał również, jak wyrazić krzywą algebraiczną w pobliżu początku w kategoriach ułamkowego szeregu potęgowego y = a1x1/k + a2x2/k + … dla dodatniej liczby całkowitej k.