Grupa abelianowa

BY admin

| 24 listopada, 2021

Ten artykuł dotyczy podstawowej definicji w teorii grup. Tekst artykułu może jednak zawierać materiał zaawansowany.
Przegląd: Definicje zbudowane na tym | Fakty o tym: (fakty ściśle związane z grupą abelianów, wszystkie fakty związane z grupą abelianów) |Przegląd artykułów o tym |Przegląd artykułów o definicjach zbudowanych na tym
Przegląd ZWIĄZANY: Analogie tego | Wariacje tego | Przeciwieństwa tego |

Ten artykuł definiuje własność grupy, która jest kluczowa (tzn, ważna) wśród istniejących właściwości grup
Zobacz listę kluczowych właściwości grup |Zobacz pełną listę właściwości grup

Historia

Pochodzenie terminu

Termin grupa abelianów pochodzi od Nielsa Henricka Abla, matematyka, który pracował z grupami jeszcze przed stworzeniem formalnej teorii, aby udowodnić nierozstrzygalność kwintyki.

Słowo abelian zwykle zaczyna się od małego a.

wikinote: Niektóre starsze treści na wiki używają dużej litery A dla Abelian. Próbujemy zaktualizować tę zawartość.

Definicja

Grupa abeliczna to grupa, w której dowolne dwa elementy są komutowalne. W symbolach, grupę $G$ nazywamy abeliczną, jeśli dla dowolnych elementów $x$ i $y$ w $G$ , $xy = yx$ (tutaj $xy$ oznacza iloczyn $x$ i $y$ w $G$ ). Zauważmy, że $x,y$ mogą być równe, choć równe elementy i tak się komutują, więc możemy ograniczyć uwagę, jeśli chcemy, do elementów nierównych.

Pełna definicja

Grupa abeliczna to zbiór $G$ wyposażony w (infiksową) operację binarną $+$ (zwaną operacją dodawania lub operacją grupową), element identycznościowy $0$ i (prefiksową) operację unarną $-$ , zwaną mapą odwrotności lub mapą negacji, spełniający następujące warunki:

Dla dowolnych $a,b,c w G$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ . Własność tę nazywamy asocjatywnością.
Dla dowolnego $a w G$ , $a + 0 = 0 + a = a$ . $0$ pełni więc rolę addytywnego elementu tożsamości lub elementu neutralnego.
Dla dowolnego $a w G$ , $a + (-a) = (-a) + a = 0$ . Zatem $-a$ jest elementem odwrotnym do $a$ względem $+$ .
Dla dowolnego $a,b w G$ , $a + b = b + a$ . Własność tę nazywamy komutatywnością.

Sformułowania równoważne

Grupę $G$ nazywamy abelową, jeśli spełnia następujące równoważne warunki:

Jej środkiem $Z(G)$ jest cała grupa.
Jej pochodna podgrupa $G' =$ jest trywialna.
(Wybierz zbiór generujący $S$ dla $G$ ). Dla dowolnych elementów $a,b w S$ , $ab = ba$ .
Podgrupa diagonalna ${ (g,g) ∗mid g w G$ jest podgrupą normalną wewnątrz $G$ .

Notacja

Gdy $G$ jest grupą abelianową, zwykle używamy notacji i terminologii addytywnej. Tak więc mnożenie grupowe jest określane jako dodawanie, a iloczyn dwóch elementów jest określany jako suma.

Operator infiksowy $+$ jest używany do mnożenia grupowego, więc suma dwóch elementów $a$ i $b$ jest oznaczana przez $a + b$ . Grupowe mnożenie jest nazywane dodawaniem, a iloczyn dwóch elementów jest nazywany sumą.
Element tożsamości jest zwykle oznaczany jako $0$ i określany jako zero
Odwrotność elementu jest określana jako jego odwrotność ujemna lub addytywna. Odwrotność $a$ jest oznaczana jako $-a$
$a + a + a$ wykonana $n$ razy jest oznaczana jako $na$ , (gdzie $n \w \mathbb{N}$ ), podczas gdy $(-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a)$ zrobione $n$ razy jest oznaczane $(-n)a$ .

Ta konwencja jest zazwyczaj stosowana w sytuacji, gdy mamy do czynienia z grupą abelianów $G$ w izolacji, a nie jako podgrupą jakiejś potencjalnie nieabelianowej grupy. Jeśli pracujemy z podgrupami w grupie nieabelskiej, zazwyczaj używamy notacji multiplikatywnej, nawet jeśli podgrupa jest abelianem.

Przykłady

WIDOK: grupy spełniające tę własność | grupy niezadowalające się tą własnością
WIDOK: Related group property satisfactions | Related group property dissatisfactions

Some infinite examples

Grupa addytywna liczb całkowitych $<mathbb{Z}$ , grupa addytywna liczb racjonalnych $<mathbb{Q}$ , addytywna grupa liczb rzeczywistych $<mathbb{R}$ , multiplikatywna grupa niezerowych liczb racjonalnych $<mathbb{Q}^*$ i multiplikatywna grupa niezerowych liczb rzeczywistych $<mathbb{R}^*$ są niektórymi przykładami grup abelowskich.

(Ogólniej, dla dowolnego pola, grupa addytywna i grupa multiplikatywna elementów niezerowych są grupami abelianowymi).

Przykłady nieskończone

Grupy cykliczne są dobrymi przykładami grup abelianowych, gdzie grupa cykliczna rzędu $n$ jest grupą liczb całkowitych modulo $n$ .

Dalej, każdy bezpośredni produkt grup cyklicznych jest również grupą abeliczną. Co więcej, każda skończenie generowana grupa abelianów jest otrzymywana w ten sposób. To jest słynne twierdzenie struktury dla nieskończenie generowanych grup abelian.

Twierdzenie struktury może być używany do generowania pełnej listy skończonych grup abelian, jak opisano tutaj: klasyfikacja skończonych grup abelian.

Non-examples

Nie każda grupa jest abelian. Najmniejszą grupą nieabelianą jest grupa symetryczna na trzech literach: grupa wszystkich permutacji na trzech literach, pod względem kompozycji. Jej nieabelianość wynika z faktu, że kolejność wykonywania permutacji ma znaczenie.

Fakty

Występowanie jako podgrupy

Każda grupa cykliczna jest abelianem. Ponieważ każda grupa jest generowana przez swoje podgrupy cykliczne, każda grupa jest generowana przez rodzinę podgrup abelianowych. Trudniejsze pytanie brzmi: czy istnieją abelianowe podgrupy normalne? Dobrym kandydatem na abelianową podgrupę normalną jest centrum, czyli zbiór elementów grupy, które komutują z każdym elementem grupy.

Występowanie jako ilorazy

Maksymalny abelianowy iloraz dowolnej grupy nazywamy jej abelianizacją, i jest to iloraz przez podgrupę pochodną. Podgrupa jest podgrupą abelianowo-kwotową (tzn. normalną z abelianową grupą ilorazową) wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa zawiera podgrupę pochodną.

Metaproperties

Nazwa metaproperty	Satisfied?	Dowód	Stwierdzenie z symbolami
własność grupy wariancyjnej	Tak		Zbiór grup abelicznych tworzy podwariant rozmaitości grup. W szczególności jest on zamknięty pod względem przyjmowania podgrup, ilorazów, i dowolnych bezpośrednich produktów
własność grupy zamkniętej w podgrupie	Tak	abelianowość jest zamknięta w podgrupie	Jeśli $G$ jest grupą abelianową i $H$ jest podgrupą $G$ , to $H$ jest abelianowa.
własność grupy ilorazowo zamkniętej	Tak	abelianowość jest ilorazowo zamknięta	Jeśli $G$ jest grupą abelianową i $H$ jest podgrupą normalną $G$ , to grupa ilorazowa $G/H$ jest abelianowa.
własność bezpośredniego iloczynu zamkniętego grupy	Tak	abelianowość jest bezpośrednim iloczynem zamkniętym	Przypuśćmy, że $G_i, i w I$ , są grupami abelianowymi. Wtedy, zewnętrzny bezpośredni produkt $prod_{i \in I} G_i$ jest również abelianem.

Relacja z innymi własnościami

Własności silniejsze

Własność	Znaczenie	Dowód implikacji	Dowód ścisłości (niepowodzenie implikacji odwrotnej)	. Pojęcia pośrednie
grupa cykliczna	generowana przez jeden element	cykliczna implikuje abelian	abelian nie implikuje cyklicznej (zobacz też listę przykładów)	Grupa epabelian, Locally cyclic group, Residually cyclic group\|FULL LIST, MORE INFO
grupa homocykliczna	bezpośredni iloczyn izomorficznych grup cyklicznych		(zobacz też listę przykładów)	\|FULL LIST, WIĘCEJ INFORMACJI
grupa resztowo cykliczna	każdy element nietożsamościowy znajduje się poza normalną podgrupą z cykliczną grupą ilorazową		(zobacz też listę przykładów)	\|FULL LIST, WIĘCEJ INFORMACJI
grupa lokalnie cykliczna	każda skończenie generowana podgrupa jest cykliczna		(zobacz też listę przykładów)	grupa epabeliańska\|PEŁNA LISTA, WIĘCEJ INFO
grupa epabelianów	grupa abelianów, której zewnętrznym kwadratem jest grupa trywialna		(zobacz też listę przykładów)	\|FULL LIST, WIĘCEJ INFORMACJI
skończona grupa abelianów	abelian i skończona grupa		(zobacz też listę przykładów)	\|FULL LIST, WIĘCEJ INFORMACJI
skończenie generowana grupa abelianów	abelian i skończenie generowana grupa		(zobacz też listę przykładów)	Resztkowo cykliczna grupa\|PEŁNA LISTA, WIĘCEJ INFORMACJI

Własności słabsze

Własność	Znaczenie	Dowód implikacji	. Dowód ścisłości (niepowodzenie implikacji odwrotnej)	Pojęcia pośrednie
grupa nilpotentna	dolny szereg centralny osiąga tożsamość,	abelian implikuje nilpotentny	nilpotentny nie implikuje abelianu (zobacz też listę przykładów)	Grupa, w której klasa równa się maksymalnej głębokości podnormalnej, Grupa o nilpotencji klasy trzy, Grupa o nilpotencji klasy dwa, Grupa o nilpotencji klasy dwa, której mapa komutatora jest podwojeniem zmiennego bihomomorfizmu dającego klasę dwa, Grupa równoważna UL\|Pełna lista, MORE INFO
solvable group	derived series reaches identity, has normal series with abelian factor groups	abelian implies solvable	solvable not implies abelian (see also list of examples)	Metabelian group, Metanilpotent group, Nilpotent group\|FULL LIST, MORE INFO
metabelian group	has abelian normal subgroup with abelian quotient group		(see also list of examples)	Group of nilpotency class two\|FULL LIST, WIĘCEJ INFORMACJI
praktycznie abelianowa grupa	ma abelianową podgrupę o skończonym indeksie		(zobacz też listę przykładów)	FZ-grupa\|PEŁNA LISTA, WIĘCEJ INFORMACJI
FZ-grupa	center ma skończony indeks		(zobacz też listę przykładów)	\|FULL LIST, WIĘCEJ INFORMACJI
FC-grupa	każda klasa koniugacji jest skończona		(zobacz też listę przykładów)	FZ-grupa, Group with finite derived subgroup\|FULL LIST, MORE INFO

Właściwości porównywalne

Grupa supersolwialna to grupa, która ma szereg normalny, w którym wszystkie kolejne grupy ilorazowe są grupami cyklicznymi. Grupa abeliczna jest supersolwialna wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie generowana.
Grupa wielopierścieniowa to grupa, która ma szereg podnormalny, gdzie wszystkie kolejne grupy ilorazowe są grupami cyklicznymi. Grupa abelianowa jest polcykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieskończenie generowana.

Formalizmy

W kategoriach operatora przekątnej-w-kwadracie

Własność tę otrzymuje się przez zastosowanie operatora przekątnej-w-kwadracie do własności: podgrupa normalna
Zobacz inne własności uzyskane przez zastosowanie operatora diagonal-w-kwadracie

Grupa $G$ jest grupą abelianową wtedy i tylko wtedy, gdy w zewnętrznym iloczynie bezpośrednim $G ∗czas G$ , podgrupa diagonalna ${ (g,g) ∗mid g ∗ w G ∗$ jest podgrupą normalną.

Testowanie

Problem testowania

Kolejne informacje: Problem testowania abelianowości

Problem testowania abelianowości to problem testowania, czy grupa (opisana za pomocą pewnej reguły opisu grupy, takiej jak kodowanie grupy lub wielokodowanie grupy) jest abelianem.

Algorytmy dla problemu testowania abelianowości sięgają od brute-force’owego algorytmu grupowej czarnej skrzynki dla testowania abelianowości (który obejmuje testowanie dla każdej pary elementów, czy są komutowalne, i jest kwadratowy w porządku grupy) do opartego na zbiorze generującym algorytmu grupowej czarnej skrzynki dla testowania abelianowości (który obejmuje testowanie tylko na zbiorze generującym i jest kwadratowy w rozmiarze zbioru generującego).

Komenda GAP

Tę własność grupy można przetestować za pomocą wbudowanej funkcjonalności Groups, Algorithms, Programming (GAP).
Komenda GAP dla tej własności grupy to:IsAbelian
Klasa wszystkich grup z tą własnością może być przywołana za pomocą wbudowanej komendy: AbelianGroups
View GAP-testable group properties

Aby sprawdzić, czy grupa jest abelianem, składnia GAP to:

IsAbelian (grupa)

gdzie grupa albo definiuje grupę, albo podaje nazwę grupy wcześniej zdefiniowanej.

Badanie tego pojęcia

Klasyfikacja przedmiotów matematycznych

W ramach klasyfikacji przedmiotów matematycznych badanie tego pojęcia należy do klasy: 20K

Odniesienia do podręczników

Książka	Numer strony	Rozdział i sekcja	Informacje kontekstowe	Widok
Abstract Algebra by David S. Dummit and Richard M. Foote, 10-digit ISBN 0471433349, 13-digit ISBN 978-0471433347Więcej informacji	17	Definicja formalna (definicja jako punkt (2) w ogólnej definicji grupy)
Groups and representations by Jonathan Lazare Alperin and Rowen B. Bell, ISBN 0387945261Więcej informacji	2	1.1 (Rudiments of Group Theory/Review)	definicja wprowadzona w paragrafie	Google Books
Algebra by Michael Artin, ISBN 0130047635, 13-digit ISBN 978-0130047632Więcej informacji	42		definicja wprowadzona w paragrafie (zaraz po definicji grupy)
Topics in Algebra by I. N. HersteinWięcej informacji	28		Definicja formalna
A Course in the Theory of Groups by Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613Więcej informacji	2	1.1 (Binary Operations, Semigroups, and Groups)	definicja formalna	Google Books
Finite Group Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) by Michael Aschbacher, ISBN 0521786754Więcej informacji	1	1.1 (Elementarna teoria grup)	definicja wprowadzona w paragrafie	Google Books