Moduł 1 — Wybór osi obrotu i opisanie kierunku obrotu

Z PER wiki

Cele nauczania

Po przepracowaniu tego modułu powinieneś umieć:

• Opisać obrót ciała sztywnego wokół ustalonej osi.
• Zdefiniować prędkość kątową w sensie szybkości zmiany położenia kątowego.
• Wskazać kierunek obrotu obiektu sztywnego i zastosować regułę prawej dłoni.

Obrót obiektu sztywnego w postaci wirowania może występować w połączeniu z ruchem translacyjnym. Opis kombinacji ruchu translacyjnego i rotacyjnego pozostawimy na później. W tym module skoncentrujemy się na opisie czystego ruchu translacyjnego. Czysty ruch obrotowy może być bardzo skomplikowany i niektóre przypadki wykraczają poza zakres jakichkolwiek zajęć z fizyki wprowadzających.

Aby uprościć idee ruchu kątowego, wprowadzimy następujące ograniczenia:

1. Ciało sztywne obraca się wokół stałej osi obrotu.
2. Będziemy rozważać obiekty, które są cienkie, na przykład dysk na rysunku a) lub pręt na rysunku b).
3. Obrót odbywa się w płaszczyźnie, w której obiekt jest zawarty, np. w płaszczyźnie xy na rysunku poniżej.
4. Oś obrotu jest prostopadła do płaszczyzny, w której obiekt jest zawarty, oś z na rysunkach poniżej.

Ciało sztywne ograniczone do obrotu wokół ustalonej osi

Najprostszym przypadkiem ruchu obrotowego jest ciało sztywne, takie jak dysk lub pręt pokazany powyżej, które może obracać się wokół osi lub zawiasu, które są ustalone w przestrzeni. Oś lub zawias nie przesuwa się, ale pozwala na obrót. Ten przypadek wyraźnie ilustruje pojęcie osi obrotu. Wyobraźmy sobie punkt, który leży w środku dysku lub na końcu pręta, punkt Q, na rysunku poniżej. Gdy ciało się obraca, punkt ten w ogóle się nie porusza. Każdy inny punkt, taki jak punkt B, będzie się poruszał podczas obrotu. Wyobraźmy sobie prostą przechodzącą przez punkt Q i prostopadłą do płaszczyzny, w której znajduje się dysk lub pręt, czyli płaszczyzny xy na rysunku. Ta prosta nie porusza się podczas obrotu ciała. Każda inna prosta przechodząca przez dowolny inny punkt obiektu, jak np. niebieska prosta przechodząca przez punkt B, będzie się poruszać. Ta unikalna stała linia jest osią obrotu.

Podsumowując, kiedy mówimy o stałej osi obrotu, musimy sobie wyobrazić linię prostopadłą do płaszczyzny, w której obraca się ciało sztywne. W ogólności będziemy rozważać obiekt zawarty i obracający się w płaszczyźnie xy, dlatego oś obrotu będzie równoległa do osi z. Punkt przecięcia tej prostej z płaszczyzną, punkt Q na rysunku powyżej, będzie również nieruchomy w przestrzeni.

Ruch obrotowy ciała sztywnego obracającego się wokół stałej osi

Rozważmy dysk obracający się wokół stałej osi, która przechodzi przez jego środek. Punkt B na dysku, oddalony o odległość r od środka, będzie poruszał się po torze kołowym o promieniu r, czyli po okręgu oznaczonym kreską na rysunku a).

Położenie kątowe

Położenie punktu B można opisać za pomocą kąta θ(t) mierzonego od osi +x. Kąt θ nazywamy położeniem kątowym punktu.

Konwencja: położenie kątowe określa się jako dodatnie, gdy jest mierzone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi +x.

Prędkość kątowa

Prędkość punktu B, jak również prędkość wszystkich punktów wewnątrz dysku będzie zależała od szybkości zmian ich położeń kątowych. Jeżeli tarcza obraca się o kąt dθ = 25o przeciwnie do ruchu wskazówek zegara w przedziale czasu dt =1 s, to punkty B, C i wszystkie punkty wewnątrz tarczy obrócą się o tę samą wartość w tym samym przedziale czasu, rysunek c).

Prędkość kątową definiuje się jako szybkość zmiany położenia kątowego i oznacza się literą ω:

Jednostki: = rad.s-1

Przyspieszenie kątowe

Przyspieszenie kątowe to szybkość zmiany prędkości kątowej.

Jednostki: = rad.s-2

Kierunek

Samo określenie osi i prędkości obrotu nie wystarczy do pełnego opisu ruchu obrotowego. Musimy również omówić kierunek. Po wybraniu osi, możliwe kierunki obrotu zostały zredukowane do dwóch możliwości – obiekt może obracać się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara, patrząc z góry płaszczyzny (umownie z miejsca + z). Te dwie sytuacje są opisane na poniższych rysunkach. Należy tu jednak zachować ostrożność, gdyż kierunek obrotu przeciwny do ruchu wskazówek zegara lub zgodny z ruchem wskazówek zegara zależy od pozycji obserwatora. Dysk, który obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, gdy patrzy się na niego z góry, będzie obracał się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, gdy patrzy się na niego z dołu.

Pracując nad matematycznym opisem obrotu, będziemy opisywać obrót w kategoriach wektora. Okazuje się (jak zobaczymy), że bardzo użyteczną konwencją jest przypisanie osi współrzędnych +z jako leżącej wzdłuż osi obrotu i myślenie o dwóch możliwościach przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i zgodnie z ruchem wskazówek zegara jako dodatnich i ujemnych obrotów wokół tej osi. Zatem wektor prędkości kątowej odpowiadający obrotowi dysku w sytuacji przedstawionej na powyższych rysunkach będzie miał postać

Dla obrotu przeciwnego do ruchu wskazówek zegara:

θ rośnie z czasem,ω = dθ/dt > 0 wtedy prędkość kątowa skierowana jest w stronę osi +z.

Dla obrotu zgodnie z ruchem wskazówek zegara:

θ maleje z czasem,ω = dθ/dt < 0 wtedy prędkość kątowa wskazuje w kierunku osi -z:

Reguła prawej ręki

Ta konwencja nazywana jest regułą prawej ręki. Aby z niej skorzystać, zwiń palce prawej ręki. Ustaw dłoń w stosunku do wirującego obiektu (w tym przypadku dysku) w taki sposób, że podążanie palcami od kostek do opuszków palców daje taki sam obrót, jakiego doświadcza obiekt. Kciuk wskaże „kierunek” obrotu.

Reguła prawej ręki i (x,y,z)

Przy zastosowaniu współrzędnych kartezjańskich do opisu ruchu na płaszczyźnie ważne jest użycie prawoskrętnego układu współrzędnych, aby definicje różnych wielkości obrotowych można było określić w kategoriach iloczynu wektorowego. W powyższym przykładzie oznacza to, że jeśli umieścimy prawą rękę tak, aby wyciągnięte palce pokrywały się z osią + x, a następnie skręcimy nadgarstek tak, aby palce przesunęły się w kierunku osi y podczas zamykania dłoni w pięść, to w rezultacie kciuk będzie wskazywał wzdłuż +z. Będzie to zgodne ze zwykłą konwencją mierzenia kąta zaczynając od osi x i uznając, że przesunięcie kątowe w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest dodatnie.

Rysowanie układu obrotowego

Punkt widzenia powinien być wyrównany z osią obrotu.

Podczas rysowania układu obracającego się ważne jest, aby wyrównać punkt widzenia z osią obrotu. Innymi słowy, powinieneś rysować układ tak, jakbyś patrzył dokładnie wzdłuż osi.

Przedstawianie wektorów, które są skierowane prosto na ciebie lub prosto od ciebie.

Ponieważ rysujemy układy obrotowe tak, jakbyśmy patrzyli wzdłuż osi, niemożliwe jest narysowanie strzałki reprezentującej oś. Oś liniowa z naszego punktu widzenia będzie wyglądała jak kropka. Z tego powodu istnieje konwencja rysowania strzałki, która wskazuje bezpośrednio na obserwatora lub bezpośrednio od niego. Konwencja ta polega na tym, że strzałka skierowana bezpośrednio na obserwatora jest rysowana jako okrągła kropka. Strzałka skierowana bezpośrednio w dal jest rysowana jako zakreślony znak „x”.

Obrazowanie wektorów ustawionych względem obserwatora: drzwi od góry i od dołu.

Obraz: Drzwi pokazane wzdłuż wybranej osi obrotu z różnych perspektyw.

.