Przestrzeń Banacha

Dla Y przestrzeni Banacha, przestrzeń B(X, Y) jest przestrzenią Banacha względem tej normy.

Jeśli X jest przestrzenią Banacha, to przestrzeń B(X) = B(X, X) tworzy unitalną algebrę Banacha; operacja mnożenia jest dana przez kompozycję map liniowych.

Jeśli X i Y są przestrzeniami unormowanymi, to są izomorficzne przestrzenie unormowane, jeśli istnieje bijekcja liniowa T : X → Y taka, że T i jej odwrotność T -1 są ciągłe. Jeżeli jedna z dwóch przestrzeni X lub Y jest zupełna (lub refleksyjna, rozłączna, itd.) to druga przestrzeń również. Dwie przestrzenie unormowane X i Y są izomorficzne, jeśli dodatkowo T jest izometrią, tzn, ||T(x)|| = ||x|| dla każdego x w X. Odległość Banacha-Mazura d(X, Y) między dwiema izomorficznymi, ale nie izometrycznymi przestrzeniami X i Y daje miarę tego, jak bardzo te dwie przestrzenie X i Y się różnią.

Pojęcia podstawoweEdycja

Iloczyn kartezjański X × Y dwóch przestrzeni unormowanych nie jest kanonicznie wyposażony w normę. Jednakże powszechnie stosuje się kilka równoważnych norm, takich jak

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) { \displaystyle \|(x,y)\|{1}= \|x|+|y\|,\qquad \|(x,y)\|{infty }= \max(\|x|,\|y\|)}.

i dają podstawę do izomorficznych przestrzeni normowanych. W tym sensie iloczyn X × Y (lub suma bezpośrednia X ⊕ Y) jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy oba czynniki są zupełne.

Jeśli M jest zamkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej X, istnieje naturalna norma na przestrzeni ilorazowej X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {{displaystyle}} = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ .

Ci iloraz X / M jest przestrzenią Banacha, gdy X jest kompletny. Mapa ilorazowa z X na X / M, wysyłająca x w X do jego klasy x + M, jest liniowa, onto i ma normę 1, z wyjątkiem sytuacji, gdy M = X, w którym to przypadku iloraz jest przestrzenią zerową.

Mówi się, że zamknięta liniowa podprzestrzeń M X jest uzupełnioną podprzestrzenią X, jeśli M jest zasięgiem ograniczonego rzutu liniowego P z X na M. W tym przypadku przestrzeń X jest izomorficzna z bezpośrednią sumą M i Ker(P), jądrem projekcji P.

Załóżmy, że X i Y są przestrzeniami Banacha i że T ∈ B(X, Y). Istnieje kanoniczna faktoryzacja T jako

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {displaystyle T=T_{1} ∘ T:X { {overset {pi }{longrightarrow }} X/operatorname {Ker} (T){ { {\overset {\i1}}{\i0}} Y}.

gdzie pierwsza mapa π jest mapą ilorazową, a druga mapa T1 wysyła każdą klasę x + Ker(T) w ilorazie do obrazu T(x) w Y. Jest to dobrze zdefiniowane, ponieważ wszystkie elementy w tej samej klasie mają ten sam obraz. Odwzorowanie T1 jest liniową bijekcją z X / Ker(T) na zakres T(X), której odwrotność nie musi być ograniczona.

Przestrzenie klasyczneEdit

Podstawowe przykłady przestrzeni Banacha obejmują: przestrzenie Lp i ich przypadki szczególne, przestrzenie sekwencyjne ℓp, które składają się z ciągów skalarnych indeksowanych przez N; wśród nich przestrzeń ℓ1 ciągów absolutnie sumowalnych i przestrzeń ℓ2 ciągów sumowalnych kwadratowych; przestrzeń c0 ciągów rosnących do zera oraz przestrzeń ℓ∞ ciągów ograniczonych; przestrzeń C(K) ciągłych funkcji skalarnych na zwartej przestrzeni Hausdorffa K, wyposażona w normę max,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x )| : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . = max { {|f(x)|{C(K)}= max {|f(x)|:x w K},\quad f w C(K).}

Zgodnie z twierdzeniem Banacha-Mazura, każda przestrzeń Banacha jest izomorficzna do podprzestrzeni pewnej C(K). Dla każdej separowalnej przestrzeni Banacha X, istnieje zamknięta podprzestrzeń M przestrzeni ℓ1 taka, że X ≅ ℓ1/M.

Każda przestrzeń Hilberta służy jako przykład przestrzeni Banacha. Przestrzeń Hilberta H na K = R, C jest zupełna dla normy postaci

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {{sqrt {{langle x,x}},}

gdzie

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K { {displaystyle ˆlangle ˆcdot ,ˆrangle :H ˆtimes H ˆto ˆmathbf {K} } ∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. displaystyle {{begin{aligned}} dla wszystkich x,y w H:quad ˆlangle y,x,x,ˆrangle &={overline {{langle x,y,ˆrangle}},ˆforall x w H:ˆquad ˆlangle x,x,ˆrangle & ˆgeq 0,ˆlangle x,x,ˆrangle =0}Leftrightrightarrow x&=0.}}}

Na przykład przestrzeń L2 jest przestrzenią Hilberta.

Przestrzenie Hardy’ego, przestrzenie Sobolewa są przykładami przestrzeni Banacha, które są spokrewnione z przestrzeniami Lp i mają dodatkową strukturę. Są one ważne w różnych gałęziach analizy, między innymi w analizie harmonicznej i równaniach różniczkowych cząstkowych.

Algebry BanachaEdit

Algebra Banacha jest przestrzenią Banacha A nad K = R lub C, wraz ze strukturą algebry nad K, taką, że mapa produktu A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A jest ciągła. Można znaleźć równoważną normę na A tak, że ||ab|| ≤ ||a|| ||b|| dla wszystkich a, b ∈ A.

PrzykładyEdit

• Przestrzeń Banacha C(K), z iloczynem punktowym, jest algebrą Banacha.
• Algebra dyskowa A(D) składa się z funkcji holomorficznych w otwartym dysku jednostkowym D ⊂ C i ciągłych na jego zamknięciu: D. Wyposażona w max normę na D, algebra dyskowa A(D) jest zamkniętą podalgebrą C(D).
• Algebra Wienera A(T) jest algebrą funkcji na kole jednostkowym T o absolutnie zbieżnych szeregach Fouriera. Poprzez mapę przyporządkowującą funkcję na T do ciągu jej współczynników Fouriera, algebra ta jest izomorficzna z algebrą Banacha ℓ1(Z), gdzie iloczyn jest splotem ciągów.
• Dla każdej przestrzeni Banacha X, przestrzeń B(X) związanych operatorów liniowych na X, ze składem map jako iloczynem, jest algebrą Banacha.
• Algebra C* jest złożoną algebrą Banacha A z antyliniową inwolucją a ↦ a∗ taką, że ||a∗a|| = ||a||2. Przestrzeń B(H) ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Hilberta H jest podstawowym przykładem C*-algebry. Twierdzenie Gelfanda-Naimarka mówi, że każda C*-algebra jest izometrycznie izomorficzna do C*-podalgebry pewnej B(H). Przestrzeń C(K) złożonych funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni Hausdorffa K jest przykładem komutatywnej C*-algebry, w której inwolucja przypisuje każdej funkcji f jej złożony koniugat f .

Przestrzeń dualnaEdit

Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, a K dziedziną bazową (albo liczbami rzeczywistymi, albo zespolonymi), to ciągła przestrzeń dualna jest przestrzenią ciągłych map liniowych z X na K, czyli ciągłych funkcji liniowych. Notacja dla ciągłego duala to X ′ = B(X, K) w tym artykule. Ponieważ K jest przestrzenią Banacha (używając wartości bezwzględnej jako normy), dual X ′ jest przestrzenią Banacha, dla każdej normowanej przestrzeni X.

Głównym narzędziem do dowodzenia istnienia ciągłych funkcji liniowych jest twierdzenie Hahna-Banacha.

Twierdzenie Hahna-Banacha. Niech X będzie przestrzenią wektorową nad polem K = R, C. Niech dalej

• Y ⊆ X będzie podprzestrzenią liniową,
• p : X → R być funkcją podliniową oraz
• f : Y → K być funkcją liniową taką, że Re( f (y)) ≤ p(y) dla wszystkich y w Y.

Wtedy, istnieje funkcja liniowa F : X → K taka, że F | Y = f , oraz ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ≤ p ( x ) . {{displaystyle F|_{Y}=f,} }quad {{text{and}}quad \i0}dla wszystkich x w X,\i0} \i0}operatorname {Re} (F(x))\i0}leq p(x).}

W szczególności, każda ciągła funkcja liniowa na podprzestrzeni przestrzeni unormowanej może być w sposób ciągły rozszerzona na całą przestrzeń, bez zwiększania normy funkcji. Ważnym przypadkiem szczególnym jest następująca sytuacja: dla każdego wektora x w przestrzeni unormowanej X istnieje ciągła funkcja liniowa f na X taka, że

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {displaystyle f(x)= ‖x|{X},‖quad ‖f|{X’}}leq 1.}

Gdy x nie jest równy wektorowi 0, funkcja f musi mieć normę jeden i nazywana jest funkcją normującą dla x.

Twierdzenie separacji Hahna-Banacha mówi, że dwa rozłączne niepuste zbiory wypukłe w rzeczywistej przestrzeni Banacha, z których jeden jest otwarty, można rozdzielić zamkniętą hiperpłaszczyzną afiniczną. Otwarty zbiór wypukły leży ściśle po jednej stronie hiperpłaszczyzny, drugi zbiór wypukły leży po drugiej stronie, ale może dotykać hiperpłaszczyzny.

Zbiór S w przestrzeni Banacha X jest całkowity, jeżeli liniowa rozpiętość S jest gęsta w X. Zbiór S jest całkowity w X wtedy i tylko wtedy, gdy jedyną ciągłą funkcją liniową, która znika na S jest funkcja 0: ta równoważność wynika z twierdzenia Hahna-Banacha.

Jeśli X jest sumą bezpośrednią dwóch zamkniętych podprzestrzeni liniowych M i N, to dual X ′ X jest izomorficzny z sumą bezpośrednią duali M i N. Jeśli M jest zamkniętą podprzestrzenią liniową w X, to można powiązać ortogonalne z M w dualu,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . {displaystyle M^{perp } = lewa strona {{x’\ w X’:x'(m)=0,\ dla wszystkich m\ w M\prawej stronie}}.

Przestrzeń ortogonalna M ⊥ jest zamkniętą liniową podprzestrzenią dualną. Dual M jest izometrycznie izomorficzny do X ′ / M ⊥. The dual of X / M isometrically isomorphic to M ⊥.

The dual of a separable Banach space need not be separable, but:

Theorem. Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Jeżeli X ′ jest separowalna, to X jest separowalna.

Gdy X ′ jest rozłączna, to powyższe kryterium totalności może być użyte do udowodnienia istnienia przeliczalnych podzbiorów całkowitych w X.

Słabe topologieEdit

Słaba topologia na przestrzeni Banacha X jest najgrubszą topologią na X, dla której wszystkie elementy x ′ w ciągłej przestrzeni dualnej X ′ są ciągłe. Topologia norm jest zatem drobniejsza niż topologia słaba. Z twierdzenia o separacji Hahna-Banacha wynika, że słaba topologia jest Hausdorffem, a normozamknięty wypukły podzbiór przestrzeni Banacha jest również słabo domknięty. Normowo ciągła mapa liniowa między dwiema przestrzeniami Banacha X i Y jest również słabo ciągła, tzn. ciągła od słabej topologii X do topologii Y.

Jeśli X jest nieskończenie wymiarowa, to istnieją mapy liniowe, które nie są ciągłe. Przestrzeń X∗ wszystkich map liniowych z X na bazowe pole K (ta przestrzeń X∗ jest nazywana algebraiczną przestrzenią dualną, aby odróżnić ją od X ′) również indukuje topologię na X, która jest drobniejsza niż słaba topologia i znacznie mniej używana w analizie funkcjonalnej.

Na dualnej przestrzeni X ′ istnieje topologia słabsza niż słaba topologia X ′, nazywana topologią słabą*. Jest to najgrubsza topologia na X ′, dla której wszystkie mapy ewaluacyjne x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, są ciągłe. Jego znaczenie wynika z twierdzenia Banacha-Alaoglu.

Twierdzenie Banacha-Alaoglu. Niech X będzie unormowaną przestrzenią wektorową. Wtedy zamknięta kula jednostkowa B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′|| ≤ 1} przestrzeni dualnej jest zwarta w topologii słabej*.

Twierdzenie Banacha-Alaoglu zależy od twierdzenia Tychonoffa o nieskończonych produktach przestrzeni zwartych. Gdy X jest rozłączny, to kula jednostkowa B ′ duala jest metryzowalna zwarta w topologii weak*.

Przykłady przestrzeni dualnychEdit

Dwumian c0 jest izometrycznie izomorficzny do ℓ1: dla każdej ograniczonej liniowej funkcji f na c0, istnieje unikalny element y = {yn} ∈ ℓ1 taki, że

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , oraz ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {‖ f(x)= ‖ suma _{n} w ‖athbf {N}} x_{n}y_{n}},\quad x={x_{n}}w c_{0}},\} }

Dwumian ℓ1 jest izometrycznie izomorficzny do ℓ∞. Dual Lp() jest izometrycznie izomorficzny do Lq(), gdy 1 ≤ p < ∞ i 1/p + 1/q = 1.

Dla każdego wektora y w przestrzeni Hilberta H, odwzorowanie

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {w H f_{y}(x)= ⟨ x , y ⟩ }

definiuje ciągłą funkcję liniową fy na H. Twierdzenie odwzorowania Riesza mówi, że każda ciągła funkcja liniowa na H ma postać fy dla jednoznacznie zdefiniowanego wektora y w H. Odwzorowanie y ∈ H → fy jest antyliniową izometryczną bijekcją z H na jego dual H ′. Gdy skalary są rzeczywiste, to odwzorowanie jest izomorfizmem izometrycznym.

Gdy K jest zwartą przestrzenią topologiczną Hausdorffa, dual M(K) przestrzeni C(K) jest przestrzenią miar Radona w sensie Bourbaki’ego. Podzbiór P(K) M(K) składający się z nieujemnych miar o masie 1 (miary prawdopodobieństwa) jest wypukłym w*-zamkniętym podzbiorem kuli jednostkowej M(K). Punkty ekstremalne P(K) są miarami Diraca na K. Zbiór miar Diraca na K, wyposażony w*-topologię, jest homeomorficzny do K.

Twierdzenie Banacha-Stone’a. Jeśli K i L są zwartymi przestrzeniami Hausdorffa i jeśli C(K) i C(L) są izomorficzne, to przestrzenie topologiczne K i L są homeomorficzne.

W komutatywnej algebrze Banacha C(K) ideały maksymalne są właśnie jądrami siatek Diraca na K,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {{displaystyle I_{x}=ker \delta _{x}= {f w C(K):f(x)=0\},\quad x w K.}

Ogólniej, na mocy twierdzenia Gelfanda-Mazura, maksymalne ideały jednowartościowej komutatywnej algebry Banacha można utożsamiać z jej postaciami – nie tylko jako zbiory, ale jako przestrzenie topologiczne: pierwszą z topologią kadłuba jądra, a drugą z topologią w*. W tej identyfikacji, maksymalna przestrzeń idealna może być postrzegana jako w*-ściśliwy podzbiór kuli jednostkowej w dualnym A ′.

Twierdzenie. Jeżeli K jest zwartą przestrzenią Hausdorffa, to maksymalna przestrzeń idealna Ξ algebry Banacha C(K) jest homeomorficzna do K.

Nie każda unitalna komutatywna algebra Banacha ma postać C(K) dla jakiejś zwartej przestrzeni Hausdorffa K. Jednak to twierdzenie obowiązuje, jeżeli umieścimy C(K) w mniejszej kategorii komutatywnych C*-algebr. Twierdzenie Gelfanda o reprezentacji dla komutatywnych C*-algebr mówi, że każda komutatywna jednowartościowa C*-algebra A jest izometrycznie izomorficzna do przestrzeni C(K). Zwarta przestrzeń Hausdorffa K jest tu ponownie przestrzenią maksymalnego ideału, zwaną też spektrum A w kontekście C*-algebry.

BidualEdit

Jeśli X jest przestrzenią unormowaną, to (ciągły) dual X ′′ duala X ′ nazywamy bidualem, czyli drugim dualem X. Dla każdej przestrzeni unormowanej X, istnieje naturalna mapa,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {displaystyle { {begin{cases}F_{X}:X do X”\\F_{X}(x)(f)=f(x)&dla wszystkich x w X,\ dla wszystkich f w X’\end{cases}}

To definiuje FX(x) jako ciągłą funkcję liniową na X ′, tzn. element X ′′. Mapa FX : x → FX(x) jest mapą liniową z X na X ′′. W konsekwencji istnienia funkcji normującej f dla każdego x w X, mapa FX jest izometryczna, a więc iniekcyjna.

Na przykład, dualność X = c0 utożsamia się z ℓ1, a dualność ℓ1 utożsamia się z ℓ∞, przestrzenią skończonych ciągów skalarnych. W tych identyfikacjach FX jest mapą inkluzji z c0 do ℓ∞. Jest ona rzeczywiście izometryczna, ale nie onto.

Jeśli FX jest surjektywna, to przestrzeń unormowaną X nazywamy refleksyjną (patrz niżej). Będąc dualem przestrzeni unormowanej, residuum X ′′ jest zupełne, dlatego każda refleksyjna przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha.

Używając izometrycznego osadzenia FX, zwyczajowo rozważa się przestrzeń unormowaną X jako podzbiór jej residuum. Gdy X jest przestrzenią Banacha, jest ona postrzegana jako zamknięta liniowa podprzestrzeń X ′′. Jeżeli X nie jest refleksyjna, to kula jednostkowa X jest właściwym podzbiorem kuli jednostkowej X ′′. Twierdzenie Goldstine’a mówi, że kula jednostkowa przestrzeni unormowanej jest słabo*gęsta w kuli jednostkowej przestrzeni dwudzielnej. Innymi słowy, dla każdego x ′′ w bidualu istnieje sieć {xj} w X tak, że

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . x”(f)= lim _{j}f(x_{j}), f ∈ X ′. {{displaystyle \\sup _{j}|leq \\|x”\|,\ x”(f)=lim _{j}f(x_{j}),\quad f\ w X’.}

Sieć można zastąpić ciągiem słabo* zbieżnym, gdy dual X ′ jest rozłączny. Z drugiej strony, elementy bidualu ℓ1, które nie są w ℓ1, nie mogą być weak*-ograniczeniem sekwencji w ℓ1, ponieważ ℓ1 jest słabo sekwencyjnie zupełna.

Twierdzenia BanachaEdit

Oto główne ogólne wyniki dotyczące przestrzeni Banacha, które sięgają czasów książki Banacha (Banach (1932)) i są związane z twierdzeniem o kategorii Baire’a. Zgodnie z tym twierdzeniem, kompletna przestrzeń metryczna (taka jak przestrzeń Banacha, przestrzeń Frécheta czy przestrzeń F) nie może być równa unii policzalnie wielu zamkniętych podzbiorów o pustych wnętrzach. Dlatego przestrzeń Banacha nie może być unią przeliczalnie wielu zamkniętych podprzestrzeni, chyba że jest już równa jednej z nich; przestrzeń Banacha z przeliczalną bazą Hamela jest skończenie wymiarowa.

Twierdzenie Banacha-Steinhausa. Niech X będzie przestrzenią Banacha, a Y normalizowaną przestrzenią wektorową. Załóżmy, że F jest zbiorem ciągłych operatorów liniowych z X do Y. Zasada jednostajnej ograniczoności mówi, że jeśli dla wszystkich x w X mamy supT∈F ||T(x)||Y < ∞, to supT∈F ||T||Y < ∞.

Twierdzenie Banacha-Steinhausa nie jest ograniczone do przestrzeni Banacha. Można je rozszerzyć np. na przypadek, gdy X jest przestrzenią Frécheta, pod warunkiem, że wniosek zostanie zmodyfikowany w następujący sposób: przy tej samej hipotezie istnieje takie sąsiedztwo U z 0 w X, że wszystkie T w F są jednostajnie związane na U,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ .

Twierdzenie o otwartym odwzorowaniu. Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha, a T : X → Y będzie surjektywnym ciągłym operatorem liniowym, to T jest mapą otwartą. Corollary. Każdy jeden do jednego ograniczony operator liniowy z przestrzeni Banacha na przestrzeń Banacha jest izomorfizmem. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla przestrzeni Banacha. Załóżmy, że X i Y są przestrzeniami Banacha i że T ∈ B(X, Y). Załóżmy też, że zakres T jest zamknięty w Y. Wtedy X/ Ker(T) jest izomorficzne z T(X).

Ten wynik jest bezpośrednią konsekwencją poprzedniego twierdzenia o izomorfizmie Banacha oraz kanonicznej faktoryzacji map liniowych ograniczonych.

Corollary. Jeżeli przestrzeń Banacha X jest wewnętrzną sumą bezpośrednią zamkniętych podprzestrzeni M1, …, Mn, to X jest izomorficzna z M1 ⊕ … ⊕ Mn.

Jest to kolejna konsekwencja twierdzenia Banacha o izomorfizmie, zastosowana do ciągłej bijekcji z M1 ⊕ … ⊕ Mn na X wysyłającej (m1, …, mn) do sumy m1 + … + mn.

Twierdzenie o grafie zamkniętym. Niech T : X → Y będzie odwzorowaniem liniowym między przestrzeniami Banacha. Graf T jest zamknięty w X × Y wtedy i tylko wtedy, gdy T jest ciągły.

RefleksyjnośćEdit

Main article: Przestrzeń refleksyjna

Przestrzeń unormowaną X nazywamy refleksyjną, gdy naturalna mapa

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {{displaystyle {begin{cases}F_{X}:X do X”\F_{X}(x)(f)=f(x)&\dla wszystkich x w X,\dla wszystkich f w X’\end{cases}}}.

jest surjektywna. Refleksyjne przestrzenie unormowane są przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie. Jeśli X jest refleksyjną przestrzenią Banacha, to każda zamknięta podprzestrzeń X i każda przestrzeń ilorazowa X są refleksyjne. Twierdzenie. Jeżeli X jest przestrzenią Banacha, to X jest refleksyjna wtedy i tylko wtedy, gdy X ′ jest refleksyjna. Corollary. Niech X będzie refleksyjną przestrzenią Banacha. Wtedy X jest separowalna wtedy i tylko wtedy, gdy X ′ jest separowalna.

Indeed, jeśli dual Y ′ przestrzeni Banacha Y jest rozłączny, to Y jest rozłączny. Jeśli X jest refleksyjny i rozłączny, to dual X ′ jest rozłączny, więc X ′ jest rozłączny.

Twierdzenie. Załóżmy, że X1, …, Xn są przestrzeniami unormowanymi i że X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Wtedy X jest refleksyjne wtedy i tylko wtedy, gdy każde Xj jest refleksyjne.

Przestrzenie Hilberta są refleksyjne. Przestrzenie Lp są refleksyjne, gdy 1 < p < ∞. Ogólniej, przestrzenie jednolicie wypukłe są refleksyjne, na mocy twierdzenia Milmana-Pettisa. Przestrzenie c0, ℓ1, L1(), C() nie są refleksyjne. W tych przykładach przestrzeni nierefleksyjnych X, dwudzielna X ′′ jest „znacznie większa” niż X. Mianowicie, w naturalnym izometrycznym osadzeniu X w X ′′ danym przez twierdzenie Hahna-Banacha, iloraz X ′′ / X jest nieskończenie wymiarowy, a nawet nierozdzielny. Jednak Robert C. James skonstruował przykład przestrzeni nierefleksyjnej, zwanej zwykle „przestrzenią Jamesa” i oznaczanej przez J, takiej, że iloraz J ′′ / J jest jednowymiarowy. Ponadto, ta przestrzeń J jest izometrycznie izomorficzna do jej bidual.

Twierdzenie. Przestrzeń Banacha X jest refleksyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula jednostkowa jest zwarta w słabej topologii.

Gdy X jest refleksyjna, wynika z tego, że wszystkie zamknięte i ograniczone wypukłe podzbiory X są słabo zwarte. W przestrzeni Hilberta H, słaba zwartość kuli jednostkowej jest bardzo często używana w następujący sposób: każda ograniczona sekwencja w H ma słabo zbieżne podciągi.

Słaba zwartość kuli jednostkowej dostarcza narzędzia do znajdowania rozwiązań w przestrzeniach refleksyjnych dla pewnych problemów optymalizacyjnych. Na przykład, każda wypukła funkcja ciągła na kuli jednostkowej B przestrzeni refleksyjnej osiąga swoje minimum w pewnym punkcie B.

Jako szczególny przypadek poprzedniego wyniku, gdy X jest przestrzenią refleksyjną nad R, każda ciągła funkcja liniowa f w X ′ osiąga swoje maksimum || f || na kuli jednostkowej X. Następujące twierdzenie Roberta C. Jamesa dostarcza twierdzenia odwrotnego.

Twierdzenie Jamesa. Dla przestrzeni Banacha następujące dwie własności są równoważne:

• X jest refleksyjna.
• dla wszystkich f w X ′ istnieje x w X z ||x|| ≤ 1, tak że f (x) = || f ||.

Twierdzenie to można rozszerzyć, aby podać charakterystykę słabo zwartych zbiorów wypukłych.

Na każdej nierefleksyjnej przestrzeni Banacha X, istnieją ciągłe funkcje liniowe, które nie są normatywne. Jednak twierdzenie Bishopa-Phelpsa mówi, że funkcje zachowujące normę są gęste w dualu X ′ X.

Słabe zbieżności ciągówEdit

Sekwencja {xn} w przestrzeni Banacha X jest słabo zbieżna do wektora x ∈ X, jeśli f (xn) zbiega do f (x) dla każdej ciągłej funkcji liniowej f w dualu X ′. Ciąg {xn} jest ciągiem słabo Cauchy’ego, jeśli f (xn) jest zbieżny do granicy skalarnej L( f ), dla każdego f w X ′. Sekwencja { fn } w dualu X ′ jest słabo* zbieżna do funkcji f ∈ X ′, jeśli fn (x) jest zbieżna do f (x) dla każdego x w X. Sekwencje słabo Cauchy’ego, słabo zbieżne i słabo* zbieżne są normami ograniczone, co jest konsekwencją twierdzenia Banacha-Steinhausa.

Gdy ciąg {xn} w X jest ciągiem słabo Cauchy’ego, to granica L powyżej definiuje związaną funkcję liniową na dualu X ′, tzn, element L przestrzeni bidualnej X, a L jest granicą {xn} w słabej*-topologii przestrzeni bidualnej. Przestrzeń Banacha X jest słabo sekwencyjnie zupełna, jeśli każdy słabo zbieżny ciąg Cauchy’ego jest słabo zbieżny w X. Z poprzedniej dyskusji wynika, że przestrzenie refleksyjne są słabo sekwencyjnie zupełne.

Twierdzenie. Dla każdej miary μ, przestrzeń L1(μ) jest słabo sekwencyjnie zupełna.

Sekwencja ortonormalna w przestrzeni Hilberta jest prostym przykładem słabo zbieżnej sekwencji, której granica jest równa wektorowi 0. Wektorowa podstawa jednostkowa ℓp, 1 < p < ∞, lub c0, jest innym przykładem ciągu słabo zerowego, tzn. ciągu słabo zbieżnego do 0. Dla każdego słabo zerowego ciągu w przestrzeni Banacha istnieje ciąg wypukłych kombinacji wektorów z danego ciągu, który jest normozwrotny do 0.

Wektorowa podstawa jednostkowa ℓ1 nie jest słabo Cauchy’ego. Słabo Cauchy sekwencje w ℓ1 są słabo zbieżne, ponieważ L1-przestrzenie są słabo sekwencyjnie kompletne. W rzeczywistości, słabo zbieżne sekwencje w ℓ1 są zbieżne z normą. Oznacza to, że ℓ1 spełnia własność Schura.

Wyniki dotyczące bazy ℓ1Edit

Sekwencje słabo zbieżne Cauchy’ego i baza ℓ1 są przeciwnymi przypadkami dychotomii ustalonej w następującym głębokim wyniku H. P. Rosenthala.

Twierdzenie. Niech {xn} będzie ciągiem ograniczonym w przestrzeni Banacha. Albo {xn} ma podciąg słabo Cauchy’ego, albo ma podciąg równoważny standardowej bazie wektorów jednostkowych ℓ1.

Uzupełnienie tego wyniku zawdzięczamy Odellowi i Rosenthalowi (1975).

Twierdzenie. Niech X będzie separowalną przestrzenią Banacha. Następujące twierdzenia są równoważne:

• Przestrzeń X nie zawiera zamkniętej podprzestrzeni izomorficznej do ℓ1.
• Każdy element reszt X ′′ jest słabym*ograniczeniem ciągu {xn} w X.

Zgodnie z twierdzeniem Goldstine’a, każdy element kuli jednostkowej B ′′ z X ′′ jest weak*-limitem sieci w kuli jednostkowej X. Gdy X nie zawiera ℓ1, każdy element B ′′ jest weak*-limit sekwencji w kuli jednostkowej X.

Gdy przestrzeń Banacha X jest rozłączna, kula jednostkowa duala X ′, wyposażona w weak*-topologię, jest metryzowalną zwartą przestrzenią K, a każdy element x ′′ w bidualu X ′′ określa funkcję związaną na K:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ″ ‖ . {{displaystyle x’\ w K}mapsto x”(x’),\quad \left|x”(x’)\right|leq \left|x”\right|.}

Ta funkcja jest ciągła dla topologii zwartej K wtedy i tylko wtedy, gdy x ′′ jest rzeczywiście w X, rozważanym jako podzbiór X ′′. Przyjmijmy dodatkowo dla reszty paragrafu, że X nie zawiera ℓ1. Z poprzedniego wyniku Odella i Rosenthala wynika, że funkcja x ′′ jest granicą punktową na K ciągu {xn} ⊂ X funkcji ciągłych na K, jest więc funkcją pierwszej klasy Baire’a na K. Kula jednostkowa bidualu jest punktowo zwartym podzbiorem pierwszej klasy Baire’a na K.

Sekwencje, słaba i słaba* zwartośćEdit

Gdy X jest rozłączny, kula jednostkowa duala jest słabo* zwarta przez Banacha-Alaoglu i metryzowalna dla topologii słabej*, stąd każda ograniczona sekwencja w dualu ma słabo* zbieżne podciągi. Dotyczy to separowalnych przestrzeni refleksyjnych, ale w tym przypadku jest więcej prawdy, jak podano poniżej.

Słaba topologia przestrzeni Banacha X jest metryczna wtedy i tylko wtedy, gdy X jest skończenie wymiarowa. Jeżeli dual X ′ jest separowalny, to słaba topologia kuli jednostkowej X jest metryzowalna. Ma to zastosowanie w szczególności do separowalnych refleksyjnych przestrzeni Banacha. Chociaż słaba topologia kuli jednostkowej nie jest metryzowalna w ogólności, można scharakteryzować słabą zwartość za pomocą sekwencji.

Twierdzenie Eberleina-Šmuliana. Zbiór A w przestrzeni Banacha jest względnie słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy każda sekwencja {an} w A ma słabo zbieżne podążanie.

Przestrzeń Banacha X jest refleksyjna wtedy i tylko wtedy, gdy każda ograniczona sekwencja w X ma słabo zbieżne podążanie.

Słabo zwarty podzbiór A w przestrzeni Banacha jest normokompaktowy. Istotnie, każda sekwencja w A ma słabo zbieżne podciągi według Eberleina-Šmuliana, które są zbieżne według własności Schura w zbiorze ℓ1.