Siatka Bravaisa

W geometrii i krystalografii, siatka Bravaisa, nazwana tak na cześć Auguste Bravais (1850), jest nieskończoną macierzą dyskretnych punktów wygenerowanych przez zbiór dyskretnych operacji translacji opisanych w przestrzeni trójwymiarowej przez:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {n{1}}mathbf {R} =n_{1}mathbf {a} _{1}+n_{2}mathbf {a} _{2}+n_{3}mathbf {a} _{3}}}.

(1)

gdzie ni są dowolnymi liczbami całkowitymi, a ai są wektorami pierwotnymi, które leżą w różnych kierunkach (niekoniecznie wzajemnie prostopadłych) i rozciągają się na siatce. Wybór wektorów pierwotnych dla danej kratownicy Bravais’go nie jest unikalny. Fundamentalnym aspektem każdej siatki Bravais’go jest to, że dla dowolnego wyboru kierunku, siatka będzie wyglądała dokładnie tak samo z każdego z dyskretnych punktów siatki, gdy patrzy się w tym wybranym kierunku.

W krystalografii, koncepcja siatki Bravais’go nieskończonej macierzy dyskretnych punktów jest rozszerzona przy użyciu koncepcji komórki jednostkowej, która obejmuje przestrzeń pomiędzy dyskretnymi punktami siatki, jak również wszelkie atomy w tej przestrzeni. Istnieją dwa główne typy komórek jednostkowych: prymitywne komórki jednostkowe i nieprymitywne komórki jednostkowe.

Prymitywna komórka jednostkowa dla danej kratownicy Bravais’go może być wybrana na więcej niż jeden sposób (każdy sposób ma inny kształt), ale każdy sposób będzie miał tę samą objętość i każdy sposób będzie miał tę własność, że można ustanowić jeden do jednego związku między prymitywnymi komórkami jednostkowymi i dyskretnymi punktami kratownicy. Oczywistą prymitywną komórką, którą można powiązać z określonym wyborem prymitywnych wektorów, jest utworzony przez nie równoległobok. To znaczy, zbiór wszystkich punktów r o postaci:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 gdzie 0 ≤ x i < 1 {str. \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}qquad {{text{where }0\leq x_{i}<1}.

(2)

Użycie równoległościanu zdefiniowanego przez wektory pierwotne jako komórki jednostkowej ma w niektórych przypadkach tę wadę, że nie ujawnia pełnej symetrii siatki. Jednym z rozwiązań jest użycie komórki prymitywnej Wignera-Seitza (składającej się ze wszystkich punktów w przestrzeni, które są bliżej danego punktu kraty niż jakiegokolwiek innego punktu kraty), która pokazuje pełną symetrię kraty. Innym rozwiązaniem jest użycie nieprymitywnej komórki jednostkowej, która wykazuje pełną symetrię siatki. Objętość nieprymitywnej komórki jednostkowej będzie całkowitą wielokrotnością objętości prymitywnej komórki jednostkowej.

Komórka jednostkowa, prymitywna czy nie, gdy jest powielona raz dla każdego dyskretnego punktu kraty, musi dokładnie wypełniać całą przestrzeń bez nakładania się i bez przerw.

Rozszerzona koncepcja kraty Bravais’go, w tym komórki jednostkowej, jest używana do formalnego zdefiniowania układu krystalicznego i jego (skończonych) granic. Kryształ składa się z periodycznego układu jednego lub więcej atomów (podstawa lub motyw) występujących dokładnie raz w każdej prymitywnej komórce jednostkowej. Podstawę mogą stanowić atomy, cząsteczki lub polimerowe ciągi materii stałej. W konsekwencji, kryształ wygląda tak samo, gdy patrzy się w dowolnym kierunku z dowolnych równoważnych punktów w dwóch różnych komórkach jednostkowych (dwa punkty w dwóch różnych komórkach jednostkowych tej samej siatki są równoważne, jeśli mają taką samą pozycję względną w odniesieniu do ich indywidualnych granic komórek jednostkowych).

Dwie siatki Bravais są często uważane za równoważne, jeśli mają izomorficzne grupy symetrii. W tym sensie, istnieje 14 możliwych siatek Bravais w przestrzeni trójwymiarowej. 14 możliwych grup symetrii kratownic Bravais’go to 14 z 230 grup przestrzeni. W kontekście klasyfikacji grup przestrzeni, siatki Bravais’a są również nazywane klasami Bravais’a, klasami arytmetycznymi Bravais’a lub stadami Bravais’a.