The Evolution of the Area Model: Elementary through Algebra

Kiedy dzieci zaczynają się uczyć, jak mnożyć liczby, jedną z pierwszych rzeczy, jakich się uczą, jest tworzenie wzoru z obiektów w tablicy. Liczą one manipulatory i zauważają, że istnieje długość i szerokość. Mogą również policzyć wszystkie manipulatory, aby znaleźć sumę. Z tego wczesnego doświadczenia, uczniowie zaczynają pierwszy krok w kierunku umiejętności, które będą nadal budować całą drogę przez algebrę w szkole średniej.

Gdy Common Core i inne programy nauczania zaczęły podkreślać niestandardowe algorytmy nad tradycyjnymi metodami, które wielu dorosłych używało wyłącznie w szkole, był backlash. Memy i wątki internetowe poświęcone slamming tych niestandardowych metod jako nadmiernie uciążliwe lub nieefektywne wyskoczył wszędzie. Umknęło to celowi nauczania i uczenia się tych metod, takich jak model powierzchniowy, w matematycznym rozwoju naszych uczniów. Metody takie jak modele obszarowe są opracowywane w celu uzyskania trwałego zrozumienia mechaniki matematyki, a nie tylko odpowiedzi na szybkie zadanie matematyczne. Standardowy algorytm jest często najbardziej efektywnym sposobem rozwiązania problemu, ale często ukrywa rozumowanie matematyczne przed uczniami, którzy uczą się wykonywać bardziej skomplikowaną pracę w coraz młodszym wieku. Tak, model obszaru wygląda bardzo różnie od matematyki, którą wielu z nas robiło jako dzieci, ale mechanika jest taka sama.

Modele obszaru i tablice opierają się na jednej prostej myśli: długość lub prostokąta razy jego szerokość będzie równa całkowitej powierzchni. Pierwszym modelem powierzchniowym, z którego korzystają uczniowie, jest prosta tablica fizyczna.

Ten podstawowy model jest właściwie podstawą do nauki, która będzie kontynuowana przez szkołę średnią! Jak można wykorzystać ten model, aby pogłębić wiedzę młodych uczniów? Najważniejszym zastosowaniem tego modelu jest wizualna różnica pomiędzy wyglądem dodawania a mnożenia. Dzięki temu staje się jasne, czym różni się 6 + 4 od 6 x 4. To rozróżnienie będzie bardzo ważne, gdy uczniowie zaczną uczyć się kolejności wykonywania działań. Kiedy uczniowie opanowali już fakty mnożenia, przechodzą do mnożenia dwucyfrowego. To właśnie tutaj modele przybierają taką postać, że wielu dorosłych zaczyna odczuwać dyskomfort z powodu matematyki!

Czy twoi uczniowie mają problemy z przeniesieniem modelu fizycznego do algorytmu? Wypróbuj tę wskazówkę: poproś uczniów, aby zbudowali fizyczne tablice na górze tabliczki mnożenia. Pomoże im to dostrzec związek między modelem, który budują, a faktami, których się uczą!

Używanie manipulatorów, takich jak klocki dziesiętne, do pokazywania relacji wartości miejsca jest kolejnym krokiem w ewolucji modelu obszaru. Ta metoda może być kłopotliwa dla nauczycieli i rodziców, którzy nie są przyzwyczajeni do tego, jak relacje długości i szerokości działają w każdej z jednostek bloków bazowych dziesięciu. Innym aspektem tego modelu, który może być trudny, jest zdolność bloków do reprezentowania różnych wartości. Podczas pracy z mnożeniem liczb całkowitych, kostka reprezentuje jeden, ale podczas pracy z liczbami dziesiętnymi, kostka reprezentuje jedną setną. Modelowanie wartości miejsc pokazuje uczniom, dlaczego przy mnożeniu liczb dwucyfrowych przez dwucyfrowe należy umieścić zero. Może to również dać uczniom, którzy są mniej pewni siebie w mnożeniu, pomost do przejścia od mnożenia jednocyfrowego do bardziej złożonych problemów.

Od kiedy uczniowie osiągną około piątą lub szóstą klasę, użycie modeli powierzchniowych ulega kolejnej transformacji. Konkretny model przesuwa się w kierunku wizualnej reprezentacji. W przypadku wartości dziesiętnych, często przybiera to formę siatki setek. Użycie tego modelu jest jednym z najlepszych sposobów, aby dać uczniom zrozumienie, dlaczego liczby dziesiętne nie są ułożone w rzędzie w zadaniu mnożenia. Kiedy uczniowie mają do czynienia tylko z pracą algorytmiczną, często mają problemy z zapamiętaniem, kiedy należy ustawić dziesiętne w rzędzie, a kiedy przesunąć dziesiętne. Dając im do zrozumienia, dlaczego rozmieszczać ułamki dziesiętne, pomogą im w bardziej naturalny sposób zapamiętać i zrozumieć tę koncepcję, dzięki czemu nie będą musieli polegać na zapamiętywaniu w tak dużym stopniu. Ponadto, gdy uczniowie używają modelu obszaru do przedstawienia mnożenia ułamków, są w stanie zwizualizować powód mnożenia mianowników. Po nauczeniu się, jak dodawać ułamki, jest to ważne, ponieważ uczniowie mają mocno zakorzenioną w swoich umysłach ideę znajdowania wspólnych mianowników jako niezbędną do pracy z ułamkami. Podczas mnożenia, to oczywiście nie jest potrzebne i spowoduje błędną odpowiedź. Podobnie jak w przypadku ułamków dziesiętnych, wielu uczniów myli się co do różnic w regułach dotyczących operacji dodawania i mnożenia. Wypróbuj tę radę: Narysuj linie liczbowe wzdłuż długości i szerokości. Zaznacz najpierw całości. Następnie zaznacz te części, tworząc kwadraty jednostkowe, aby łatwo można było policzyć mianownik. Sprawdź poniższy film, aby zobaczyć kroki w złożonym mnożeniu liczb mieszanych!

Wszystkie poprzednie modele, choć różne, mają do czynienia z liczbową długością i szerokością. Modele obszarowe nie muszą używać wartości liczbowych i mogą być używane do upraszczania wyrażeń algebraicznych. Manipulator zwany płytkami algebraicznymi jest powszechnie używany do budowania algebraicznych modeli powierzchni. Używanie modelu obszaru do upraszczania wyrażeń algebraicznych może być używane jako alternatywa dla FOIL. Chociaż wielu z nas, którzy uczą teraz, dorastało używając metody FOIL, mnemonika, który oznacza pierwszy, zewnętrzny, wewnętrzny, ostatni, do mnożenia wyrażeń algebraicznych, metoda ta ma pewne oczywiste braki. Jedną z największych jest sytuacja, gdy jeden z nawiasów zawiera trzy wyrażenia zamiast dwóch. Metoda FOIL działa tylko wtedy, gdy oba mnożniki mają tylko dwa wyrazy, ale nie ma nic, co ograniczałoby problemy algebraiczne do dwóch wyrazów. Uczniowie, którzy nie mają innej metody niż FOIL, prawdopodobnie utkną na problemie bez możliwości użycia innej metody.

Modele powierzchniowe są niezbędnym narzędziem do pełnego zrozumienia relacji mnożenia. Od pierwszego użycia do budowania faktów mnożenia aż po algebrę, model ten, choć nie jest tym, z czym większość z nas dorastała ucząc się matematyki, jest jedną z najlepszych metod tworzenia stałego i zrozumiałego modelu zrozumienia dla uczniów. Chociaż matematyka staje się coraz bardziej skomplikowana, za każdym razem można sprawić, że poczują się jak w czymś już znanym, używając znanego modelu rozwiązywania.

.