Topologiczne analogowe przetwarzanie sygnałów

BY admin

| 19 listopada, 2021

Bloch eigenproblem
Właściwości macierzy transferu komórki jednostkowej
Topologia pasm
Ochrona symetrii
Metody numeryczne
Metody eksperymentalne

Bloch eigenproblem

Kryształ objętościowy jest jednowymiarowy ze stałą sieciową a i dwiema przeszkodami na komórkę jednostkową. Modelujemy go i definiujemy jego topologię używając macierzy przeniesienia Mcell komórki jednostkowej. Zaczynamy od zdefiniowania dwóch macierzy rozpraszania S1 i S2, jako macierzy rozpraszania w polu dalekim każdej przeszkody znajdującej się pojedynczo w falowodzie monomodowym. Macierze te odnoszą wychodzące sygnały złożone po lewej (L) i prawej (R) stronie rozpraszaczy bL i bR do sygnałów padających, aL i aR:

$left( {{begin{array}{*{20}{c}} {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ {b_{mathrm{R}},{{i}}}} \ end{array}} \right) = S_i}left( {{begin{array}{*{20}{c}}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ } {a_{mathrm{R}},{{i}}}} \ end{array}} \).$$

(2)

Zauważmy, że na razie nie przyjmujemy założenia, że obie macierze są równe: na przykład cylindry mogą mieć różne przekroje, mogą być przesunięte względem siebie itp. Macierze te zależą też zwykle od częstości kątowej ω. Zakładając zachowanie energii w procesie rozpraszania, muszą one być jednostkowe. Możemy je zatem sparametryzować bardzo ogólnie jako

$$S_1 = \left( {{begin{array}{*{20}{c}} {e^{i}varphi _1}{e^mathrm{cos}}theta _1}. & {e^{i}alpha _1}{}mathrm{sin}theta _1} \\ { – e^{ – ialfa _1}{mathrm{sin}}theta _1e^{i{mathrm{phi }}_1}} & {e^{ – ivarphi _1}{mathrm{cos}}}theta _1e^{i{mathrm{phi }}_1}. \end{array}} \),$$

(3)

$$S_2 = \left( {{begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i}varphi _2}{e^mathrm{cos}}theta _2} & {e^{i}alpha _2}{}mathrm{sin}theta _2} \\ ^ { – e^{ – ialfa _2}{mathrm{sin}}theta _2e^{i{mathrm{phi }}_2}} & {e^{ – ivarphi _2}{mathrm{cos}}theta _2e^{i{mathrm{phi }}_2}}. \end{array}} \),$$

(4)

gdzie zależne od częstotliwości kąty θ1,2, α1,2, ϕ1,2, i Φ1,2 są unikalne, gdy ustalimy płaszczyznę odniesienia, tutaj w centralnym położeniu rozpraszaczy. Zakładając wzajemność (S21 = S12), musimy mieć 2α1,2 – Φ1,2 = π, co ogranicza nas do trzech parametrów na macierz rozpraszania, pozwalając napisać:

$$S_1 = \left( {{begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i}varphi _1}{e^mathrm{cos}}theta _1}. & {e^{i}alpha _1}{}mathrm{sin}theta _1} {e^{i}varphi _1}{mathrm{sin}theta _1} \\ {e^{i}alpha _1}{mathrm{sin}}theta _1} & { – e^{i}alpha _1}{mathrm{sin}}theta _1} & { – e^{ – ivarphi _1}{\mathrm{cos}}theta _1e^{2i\alpha _1}} \end{array}} \),$$

(5)

$S_2 = \left( {{begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i}varphi _2}{e^mathrm{cos}}theta _2} & {e^{i}alpha _2}{}mathrm{sin}theta _2} \\ {e^{i}alpha _2}{mathrm{sin}}theta _2} & { – e^{i}alpha _2}{mathrm{sin}}theta _2} & { – e^{ – ivarphi _2}{\mathrm{cos}}theta _2e^{2i\alpha _2}} \end{array}} \).$$

(6)

One can then derive the associated transfer matrices M1 and M2, defined as

$$left( {{begin{array}{*{20}{c}}} {{{b}}_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \\ {{a_{mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = M_{{i}}left( {{begin{array}{*{20}{c}}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ {b_{mathrm{L}},{{i}}}} \end{array}} \)$$

(7)

i otrzymujemy

$$M_1 = \left( {{begin{array}{*{20}{c}} {{frac{{e^{i}}}}{{mathrm{sin}}theta _1}}}. & { – \frac{{e^{ – i}varphi _1}e^{i}alpha _1}}{{mathrm{cos}}}theta _1}}{{mathrm{sin}}theta _1}}}. \\ { – \frac{{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{cos}}}theta _1}}{{\mathrm{sin}}theta _1}}. & { {frac{{e^{ – ialfa _1}}}{{mathrm{sin}}theta _1}}}. \end{array}} \),$$

(8)

$M_2 = \left( {{begin{array}{*{20}{c}}} {{frac{{e^{i}} alfa _2}}}{{mathrm{sin}}theta _2}}}. & { – \frac{{e^{ – i}varphi _2}e^{i}alpha _2}}{{mathrm{cos}}}theta _2}}{{mathrm{sin}}theta _2}}}. \\ { – \frac{{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{cos}}}theta _2}}{{\mathrm{sin}}theta _2}}}. & { {frac{{e^{ – ialfa _2}}}{{mathrm{sin}}theta _2}}}. \end{array}} \prawda).$$

(9)

Jeśli dwa rozpraszacze są oddzielone na odległość d w komórce jednostkowej o stałej sieciowej a, to całkowita macierz przenoszenia komórki jednostkowej Mcell jest iloczynem:

${{it{M}}_{{mathrm{cell}} = {{it{M}}_{frac{{{{a – d}}}}{2}}}{{it{M}}}_{d}}{{it{M}}}_1{{{it{M}}}_{{frac{{{{a -. d}}}}{2}}$$

(10)

$M_{L}} = \left( {{begin{array}{*{20}{c} {e^{frac{{i}omega L}}{c}}} & 0 & {e^{ – \frac{i\omega L}}{c}} \end{array}} \),$$

(11)

gdzie $L = d,\frac{{a – d}}{2},$ a c jest prędkością fazową. Otrzymujemy, po wykonaniu iloczynu macierzowego,

${it{M}}_{mathrm{cell}}}left( ™omega ™right) = ™left( {{begin{array}{*{20}{c}}} {M_{11}}left( \omega \right)} & {M_{21}^ \ast \left( \omega \right)} \\ {M_{21}}}left( \omega \right)} & {M_{11}^ \ast \left( \omega \right)} \end{array}} \$$

(12)

${{it{M}}_{11}}}left( \omega \right) = e^{frac{{i\omega a}}{c}}e^{i}left( {a_1 + a_2} \right)} {{mathrm{csc}}theta _1{mathrm{csc}}theta _2 + e^{frac{i}omega \i}left( {a – 2d} }}{c}e^{ – ileft( {a_1 – a_2} } }e^{ – ileft( {a_1 – a_2} } }}theta _1{mathrm{cot}}theta _2,$$

(13)

$$M_{21}}left( \omega \right) = – e^{frac{{i}omega d}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2}}e^{ – i(a_1 + a_2)}{mathrm{cot}}theta _1{mathrm{cot}}theta _2 – e^{ – ^frac{i^omega d}}{c}}e^{i^varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}{mathrm{cot}theta _1{mathrm{cot}}theta _2.$$

(14)

Używamy notacji z* dla oznaczenia sprzężenia zespolonego z. Zauważając, że |ψ〉 = T, gdzie a i b są amplitudami pola złożonego do przodu i do tyłu na wejściu do komórki jednostkowej, zastosowanie twierdzenia Blocha daje następujący problem wartości własnej,

${{it{M}}_{mathrm{cell}} lewa( ™omega ™prawa)™lewa| ™psi ™prawa = e^{i,k_{mathrm{B}}a}$

(15)

które nazywamy problemem własnym Blocha dla kryształu. Zwróćmy uwagę na nietrywialną zależność Mcell(ω) od ω. Najprostsze zastosowanie powyższego równania jest następujące: dla wszystkich wartości ω można zdiagonalizować Mcell(ω) i otrzymać dwie przeciwne wartości ±kB(ω) liczby falowej Blocha w pierwszej strefie Brillouina oraz rozwiązać strukturę pasmową. Zauważmy, że Mcell nie jest jednostkowy i jest niehermitowski, co oznacza, że w ogólności wartości ±kB(ω) są złożone, co pozwala w zasadzie na nieskończoną liczbę pasm i przerw pasmowych. Zwróćmy uwagę na różnicę w stosunku do standardowego modelu SSH z ciasnym wiązaniem, który prowadzi do hermitowskiego problemu wartości własnych, który mapuje koło Brillouina na przestrzeń macierzy SU(2) oraz do jasnej topologicznej klasyfikacji chiralnych układów symetrycznych poprzez liczbę uzwojenia. Tutaj, zgodnie z symetrią czasowo-odwrotną54, $M_{mathrm{cell}}lewa( \omega \prawa) \w {mathrm{{SU}}(1,1)$, grupa macierzy niehermitowskich55. Hamiltoniany SU(1,1) występują na przykład w PT-symetrycznych rozszerzeniach modelu ciasnego wiązania SSH56 , gdzie niehermitowalność hamiltonianu pochodzi z braku zachowania energii. Tutaj Mcell nie jest Hamiltonianem, w tym sensie, że jego wartości własne nie są związane z ω, ale z kB, Na Rys. 11 przedstawiamy strukturę pasmową otrzymaną z metody macierzy transferu i porównujemy ją z tą otrzymaną bezpośrednio z pełnofalowych symulacji komórki jednostkowej poddanej okresowym warunkom brzegowym (metoda FEM). Aby rozwiązać problem wartości własnych macierzy transferu, parametry θ1,2, α1,2 oraz Φ1,2, które zależą od częstotliwości, zostały wyekstrahowane z symulacji FEM rozpraszania pojedynczej przeszkody w falowodzie. Przyjęto, że odległość pomiędzy dwoma rozpraszaczami jest równa d(d = \frac{a}{2} – e_{mathrm{p}}), przy ep = 2.8 cm (przypadek „trywialny”) i a = 23 cm. Średnica pręta wynosi 3.5 cm, a szerokość falowodu 7 cm. Zgodność pomiędzy dwoma podejściami potwierdza dokładność modelu wielokrotnego rozpraszania, w szczególności leżące u jego podstaw założenie o braku oddziaływań bliskiego pola pomiędzy przeszkodami w krysztale.

Właściwości macierzy transferu komórki jednostkowej

Aby zdefiniować topologię układu w następnym rozdziale, musimy najpierw ustalić kilka kluczowych własności macierzy transferu komórki jednostkowej. Zaczynamy od własności ogólnych, zanim przejdziemy do bardziej szczegółowych własności na paśmie lub w zdegenerowanych punktach struktury pasmowej.

Jako bezpośrednia konsekwencja symetrii odwrotności czasu54, macierz transferu układu Mcell należy do grupy SU(1,1) macierzy postaci

$M_{{mathrm{{cell}}}} = \left( {{begin{array}{*{20}{c}}} \alpha & {\beta ^ \ast } \} \beta & {\alpha ^ \ast } \end{array}} \right)$$

(16)

która jest sparametryzowana za pomocą macierzy Pauliego jako

${{it{M}}_{mathrm{cell}} = \alpha _{mathrm{R}} \sigma _0 + \beta _{mathrm{R} \sigma _x + \beta _{mathrm{I}} \sigma _y + i\alpha _{mathrm{I}} \sigma _{mathrm{z}}.$$

(17)

Jego wartości własne, dane przez $\{lambda _ \pm = \alpha _{mathrm{R}} \pm i \sqrt { \alpha _{mathrm{I}}^2 – \beta _{mathrm{R}}^2 – \beta _{mathrm{I}}^2}) są rzeczywiste, gdy \(\alpha _{mathrm{I}}^2 < \left| \beta \right|^2$, a złożone w przeciwnym przypadku. Te wartości własne są zdegenerowane pod warunkiem $\alpha _{mathrm{I}}^2 – \beta _{mathrm{R}}^2 – \beta _{mathrm{I}}^2 = 0$, tzn. gdy parametry βR, βI i αI należą do podwójnego stożka w przestrzeni (βR, βI, αI). Stożek ten jest przedstawiony na dolnych panelach Rys. 6. Na wierzchołku stożka mamy βR = βI = αI = 0, co oznacza, że Mcell redukuje się do Mcell = αRσ0.

Na taśmie macierz Mcell ma szczególną postać. Istotnie, problem własny Blocha implikuje, że \u200 \u200 \u200 \u200 \u200 \u200 \u200 \pm i \sqrt { \alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i},k_{mathrm{B}}a}), z czego wynika, że

$${{it{alfa}}_{mathrm{R}} = {{mathrm{cos}}} lewa( {k_{mathrm{B}}a}} prawa)$$

(18)

(19)

wynika z tego, że $\alpha _{mathrm{I}}^2 + \alpha _{mathrm{R}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$), co jest równoważne z \(\alpha _{mathrm{I}}^2 = {{mathrm{sin}}^2(k_{mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2$, lub

$${{it{alpha}}_{mathrm{I}} = \pm \sqrt {{mathrm{sin}^2({{it{k}}{mathrm{B}}{{a}}}) + \left| \beta \right|^2}.$$

(20)

Na paśmie mamy zatem

$M_{mathrm{cell}} = ^left( {{begin{array}{*{20}{c}} {{mathrm{cos}}(k_{mathrm{B}}a) \pm i \sqrt {{mathrm{sin}^2(k_{mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2}. } & { \beta \ast } & {{mathrm{cos}}(k_{mathrm{B}}a) \mp i \sqrt {{mathrm{sin}^2(k_{mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } } \end{array}} \).$$

(21)

W wyniku tego, pasmo opisuje odwzorowanie jeden do jednego z okręgu Brillouina na zamkniętą ścieżkę w podprzestrzeni macierzy SU(1,1) Mcell(kB) o powyższej postaci. Z problemu wartości własnej Blocha $M_{mathrm{cell}}left ( \omega \right} \left| \psi \right \rangle = e^{i,k_{mathrm{B}}a}}left| \psi \right \rangle$, można wywnioskować, że na wstędze, Mcell(ω) ma złożone wartości własne, co oznacza, że $\alpha _{mathrm{I}}^2 > \left| \beta \right|^2$, tzn.tzn. ścieżka $\mathcal{C}}) musi znajdować się wewnątrz stożka, albo w górnym regionie αI > |β|, albo w dolnym αI < -|β|. Ponadto ścieżka ^(^mathcal{C}}) może dotykać stożka tylko wtedy, gdy wartości własne Mcella, czyli ^(e^{i},k_{mathrm{B}}}a}), są zdegenerowane. Jest tak koniecznie na brzegach strefy Brillouina \(\left( {k_{mathrm{B}} = \pm \frac{pi }{a}} \right)$, i w jej centrum kB = 0. Pomiędzy tymi punktami ścieżka $\mathcal{C}} nie może dotykać stożka, ponieważ na mocy symetrii odwrotności czasu muszą być znalezione dwie różne wartości własne \(e^{ \pm i\,k_{mathrm{B}}}a}). Wreszcie, ścieżka ^(^mathcal{C}}) nie jest pętlą, lecz prostą, ponieważ Mcell jest prostą funkcją ω, a więc jest taka sama dla dwóch przeciwnych wartości kB na wstędze: zaczyna się na stożku w punkcie \(k_{mathrm{B}} = – \frac{pi }{a}}) i ląduje na nim ponownie w punkcie kB = 0, po czym podąża odwrotną ścieżką pomiędzy kB = 0 i \(k_{mathrm{B}} = \frac{pi }{a}}). Rys. 6a przedstawia przykładowy kontur \($ dla trzeciego pasma kryształu (przypadek rzekomo topologicznie „trywialny”, z ep = 2.8 cm), a Rys. 6c przedstawia ten sam kontur dla ep = -2.8 cm, odpowiadający układowi dualnemu, który jest rzekomo topologiczny (własności topologiczne zostaną udowodnione w następnym rozdziale). Rysunek 6b przedstawia przypadek ep = 0 cm, który zamyka luki pasmowe. Zgodnie z oczekiwaniami, we wszystkich przypadkach kontur zaczyna się i kończy na stożku.

Aby zbadać warunki, w których dwa kolejne pasma częstotliwości mogą się stykać, wygodnie jest przekształcić problem własny Blocha do postaci równoważnej:

$e^{ – i},k_{mathrm{B}}a}M_{mathrm{cell}}}left( ™omega ™right)™left| { {{psi ™rangle } \prawda. = \left| {{psi \rangle } \prawda.$$

(22)

i pomyślmy o tym w następujący sposób: dla każdego kB w pierwszej strefie Brillouina znalezienie pasm oznacza znalezienie takich wartości ω, dla których macierz $e^{ – i, k_{mathrm{B}}a}M_{mathrm{cell}}}) ma co najmniej jedną wartość własną równą jeden, a odpowiadający jej wektor własny jest wektorem własnym Blocha w tym konkretnym paśmie. Może się to zdarzyć dla nieskończenie wielu wartości ω. Jeśli obie wartości własne ^{ – i, k_{mathrm{B}}a}M_{mathrm{cell}}} przy danej częstotliwości są równe jeden, to struktura pasmowa jest podwójnie zdegenerowana, co jest zatem maksymalną degeneracją częstotliwościową dopuszczalną przez układ. Ponieważ ogólna postać wartości własnych ^{ – i},k_{mathrm{B}}a}M_{mathrm{cell}}} na paśmie to ^{upsilon _ \pm = e^{ – i},k_{mathrm{B}}a}left( {{alpha _{mathrm{R}}} \pm i \sqrt { { \alpha _{mathrm{I}}^2 – \left| \beta \right|^2} } $ = e^{ – i},k_{mathrm{B}}a}e^{ ^pm i},k_{mathrm{B}}a}), druga wartość własna ^{ – 2i,k_{mathrm{B}}a}) może stać się równa jedności tylko na krawędziach strefy Brillouina $\left( {k_{mathrm{B}} = \pm \frac{pi }{a}} \right)$, lub przy kB = 0. W konsekwencji, przerwy pasmowe mogą się zamykać tylko w centrum lub na brzegu strefy Brillouina, tzn. gdy kontur \(\mathcal{C}}) dotyka stożka.

Zakładając pierwszy przypadek, czyli degenerację w punkcie $k_{mathrm{B}} = \pm \frac{pi }{a}}), mamy \(e^{ – i},k_{mathrm{B}}a} = – 1$. Otrzymujemy, przy określonej częstości degeneracji,

$e^{ – i},k_{mathrm{B}}a}M_{mathrm{cell}} = ^left( {{begin{array}{*{20}{c}} {1 \mp i \left| \beta \right|} & { – \beta \ast } \\ { – \beta } & { 1 \pm i \left| \beta \right|} \end{array}} \right)$$

(23)

i macierz ta może być równa tożsamości tylko wtedy, gdy $\left| \beta \right| = 0$. Drugi przypadek degeneracji przy kB = 0 prowadzi do tego samego wniosku $(\left| \beta \right| = 0)$. Oznacza to, że gdy dwa pasma się zetkną, kontur \(\mathcal{C}) sięga wierzchołka stożka, co potwierdza Rys. 6b.

Topologia pasm

Jak widzieliśmy w poprzednich rozdziałach, każde pasmo definiuje odwzorowanie pomiędzy kołem Brillouina a podprzestrzenią macierzy SU(1,1). Zdefiniujemy teraz topologiczny niezmiennik dla każdego pasma, tzn. liczbę całkowitą, która jest niezmienna przy ciągłych przekształceniach struktury pasma. Oznacza to, że liczba ta może się zmienić tylko wtedy, gdy pasmo przechodzi transformację nieciągłą, tj. dotyka innego pasma, lub równoważnie, gdy kontur  dotyka wierzchołka stożka.

Podobnie jak w standardowym, ściśle związanym modelu SSH, potrzebujemy dodatkowej symetrii, podobnej do symetrii chiralnej, aby móc zdefiniować niezmienniki topologiczne na każdym paśmie. Tutaj musimy wymagać, aby macierze rozpraszające S1 i S2 były równe, przyjmując θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α oraz φ1 = φ2 = φ. Dzięki temu dodatkowemu warunkowi, wielkość $\beta = M_{21}left( { {omega (k_{mathrm{B}})} $\) w równ. 14, który parametryzuje macierz Mcell na wstędze, staje się

$$beta ™left( {k_{mathrm{B}}} ™right) = – 2e^{i}left( {{varphi – ™alpha } ™right)} ™cos ™left( { {{alpha + ™frac{{omega ™left( {k_{mathrm{B}}} }} ™right)d}}{c} \prawda)\cot \theta \c \theta,$$

(24)

gdzie wielkości α, θ i φ, które parametryzują macierz S pojedynczej przeszkody generalnie zależą od ω(kB). Zakładamy wtedy przypadek rozpraszaczy nierezonansowych, co oznacza, że cos θ nie znika na paśmie, a zmienność α i θ na paśmie jest pomijalna. Ponieważ Mcell ma zawsze dwie zespolone, sprzężone jednomodularne wartości własne, ω(kB) jest z konieczności monotoniczny w zakresie od -π/a do 0. Skupmy naszą uwagę na wielkości $\cos \left( {alpha + \frac{{omega \left( {k_{mathrm{B}}} \right)d}}{c}} $, co potencjalnie może sprawić, że liczba zespolona β(kB) zniknie w jakimś szczególnym punkcie strefy Brillouina. Gdy kB przechodzi od -π/a do 0, kąt $\gamma = \alpha + \frac{{omega \left( {k_{mathrm{B}}} \right)d}}{c}}) porusza się monotonicznie pomiędzy dwiema rzeczywistymi wartościami, powiedzmy γmin i γmax, definiując ciągłe, monotoniczne odwzorowanie pomiędzy \(\left$ a . Teraz mogą pojawić się dwie sytuacje:

(1)
Odcinek nie zawiera π/2 (modulo π), w którym to przypadku \(\cos \left( {alpha + \frac{{omega \left( {k_{mathrm{B}}} \right)d}}{c}} \(2)

Odcinek zawiera π/2 (modulo π), w którym to przypadku β znika przynajmniej raz na wstędze.

Ponieważ β = 0 oznacza, że kontur β przecina oś stożka, możemy zatem zdefiniować niezmiennik topologiczny η w następujący sposób: Możemy policzyć, ile razy η przecina oś stożka, gdy kB przechodzi od -π/a do 0. Ta liczba całkowita zmienia się za każdym razem, gdy γmax lub γmin jest równe π/2 (modulo π), tzn. gdy β jest równe zero albo na brzegu, albo w środku strefy Brillouina, czyli gdy zamyka się przerwa pasmowa. Rysunek 6 pokazuje jak zmienia się kontur β dla trzeciego pasma naszego układu, gdy przechodzimy od reżimu trywialnego (panel a, β nie przecina osi stożka, η = 0) do topologicznego (panel c, β przecina oś stożka, η = 1). W topologicznym przejściu fazowym kontur  dotyka wierzchołka stożka, co powoduje zamknięcie przerwy pasmowej, a liczba η nie jest zdefiniowana.

Ochrona symetrii

Definicja topologicznego niezmiennika η jako liczby przypadków, w których kontur  przecina oś stożka w przedziale od -π/a do 0, opiera się na dwóch podstawowych symetriach i obie muszą być spełnione:

(1) Symetria czasowo-odwrotna, która gwarantuje, że Mcell należy do SU(1,1)55.

(2) Równość S1 i S2 (macierze rozpraszania indywidualnego w dalekim polu obu przeszkód muszą być identyczne), lub równoważnie:

$$M_{{mathrm{cell}}}^2 = 1.$$

(25)

Oczywiście, poziome zaburzenie położenia nie zmienia poszczególnych parametrów rozpraszania obiektu. Co więcej, pionowe zaburzenie położenia również ich nie zmienia, jak pokazano na Rys. 12 (jedyną różnicą w widmie rozpraszania są bardzo ostre interferencje Fano pochodzące od sprzężenia z akustycznym stanem związanym w kontinuum, ale znajdują się one daleko od interesującego nas zakresu częstości). W konsekwencji nieuporządkowanie położenia nie łamie się (M_{{mathrm{cell}}^2 = 1). Jednak zmiana średnicy jednego pręta zdecydowanie zmienia jego macierz rozpraszania. To, co dzieje się w przypadku prętów o różnych promieniach, to fakt, że rzeczywista i urojona część wielkości

$$beta \left( {k_{mathrm{B}}}prawej) = – e^{frac{{i}omega \left( {k_{mathrm{B}}prawej)d}}}}{c}}e^{i}varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)} ^c \theta _1 \cot \theta _2 – e^{ – \frac{{i}omega \left( {k_{mathrm{B}} \right)d}}{c}e^{ivarphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)} {cot \theta _1 \c \theta _2$$

(26)

nigdy nie są jednocześnie zerowe, co oznacza, że kontur  może uniknąć przecięcia osi stożka, po prostu ją okrążając. Jest to analogiczne do łańcucha SSH bez symetrii chiralnej, gdzie odpowiednio dobrane defekty łamiące chiralność na interfejsie mogą zmienić liczbę uzwojenia bez zamykania przerwy pasmowej. Wyniki te wyjaśniają rezultat symulacji pełnofalowych przedstawionych na Rys. 3 tekstu głównego.

Metody numeryczne

Symulacje pełnofalowe zostały wykonane przy użyciu programu Comsol Multiphysics (moduły Acoustic i RF). Krzywe dyspersji są uzyskiwane poprzez rozważenie pojedynczej komórki macierzy kratowej, zastosowanie warunku brzegowego Floqueta do bocznych boków komórki i wykonanie symulacji częstotliwości własnych dla wszystkich falowodów Floqueta-Blocha.

W celu uzyskania widm częstotliwościowych solwerów ODE, wzbudzamy układ padającą falą płaską o jednostkowej amplitudzie i mierzymy wielkość ciśnienia po stronie nadawczej falowodu.

W celu walidacji krzyżowej naszych pomiarów eksperymentalnych, przeprowadziliśmy numeryczne symulacje metodą elementów skończonych z uwzględnieniem strat wiskotermicznych równych 1.15 dB/m, aby uzyskać funkcję przenoszenia X(ω), na przykład pomiędzy wstrzykiwaną i transmitowaną falą dźwiękową. Następnie uzyskaliśmy funkcję przenoszenia głośnika Y(ω) poprzez wzbudzenie pustego falowodu i pomiar związanego z tym poziomu ciśnienia akustycznego po stronie nadawczej. Funkcja przenoszenia Z(ω), pomiędzy napięciem przyłożonym do głośnika a przenoszonym ciśnieniem, została następnie łatwo otrzymana jako $\left( \omega \right) = X(\omega )/Y(\omega )$.

W naszych symulacjach FDTD, wzbudzamy falowód z jednego końca pożądanym zmodulowanym sygnałem wejściowym i rejestrujemy czasową ewolucję pola ciśnienia (z krokiem czasowym podlegającym warunkowi Couranta-Friedrichsa-Lewy’ego (CFL) dla zapewnienia stabilności) otrzymanego w punkcie po drugiej stronie falowodu.

Metody eksperymentalne

Jak wspomniano w tekście głównym, akrylowa kwadratowa rurka jest używana do implementacji falowodu akustycznego. Cylindry z ciągłego odlewu nylonowego 6 zostały następnie ręcznie włożone do falowodu, aby utworzyć macierz typu SSH. Dodatkowy rysunek 13a przedstawia układ eksperymentalny wykorzystany do wyznaczenia funkcji przenoszenia systemu. Zestaw zawiera głośnik, analizator sygnału Data Physics Quattro podłączony do sterującego nim komputera (nie pokazany na rysunku), jeden mikrofon ICP mierzący poziom transmitowanego ciśnienia akustycznego oraz domowej roboty zakończenie bezechowe (nie pokazane na rysunku). W celu uzyskania funkcji przenoszenia próbki, wysterowujemy głośnik napięciem szumu rozrywającego (który jest ustawiony w konfiguracji jako sygnał referencyjny) i mierzymy poziom ciśnienia w odniesieniu do kanału referencyjnego za pomocą mikrofonu ICP. Rys. 13b pokazuje układ eksperymentalny używany do wytworzenia sygnału wejściowego (napięcia) o arbitralnym profilu czasowym $\tilde g(t)$, oraz do pomiaru ewolucji czasowej sygnału wyjściowego $\tilde f(t)$. Zestaw składa się z maszyny Speedgoat Performance Real-Time Target Machine z interfejsem IO131 sterowanej przez środowisko docelowe xPC programu MATLAB/Simulink, głośnika, wzmacniacza mocy, domowej roboty zakończenia akustycznego (nie pokazanego na rysunku) oraz mikrofonu ICP mierzącego transmitowane ciśnienie.