Wykres Bode’a, margines wzmocnienia i margines fazy (plus wykresy)

Co to jest wykres Bode’a

Wykres Bode’a jest wykresem powszechnie używanym w inżynierii systemów sterowania do określania stabilności systemu sterowania. Wykres Bode’a odwzorowuje odpowiedź częstotliwościową systemu za pomocą dwóch wykresów – wykresu wielkości Bode’a (wyrażającego wielkość w decybelach) oraz wykresu fazy Bode’a (wyrażającego przesunięcie fazowe w stopniach).

Wykresy Bode’a zostały po raz pierwszy wprowadzone w latach 30. przez Hendrika Wade’a Bode’a podczas jego pracy w Bell Labs w Stanach Zjednoczonych. Chociaż wykresy Bode’a oferują stosunkowo prostą metodę obliczania stabilności systemu, nie radzą sobie z funkcjami przenoszenia z osobliwościami w prawej połowie płaszczyzny (w przeciwieństwie do kryterium stabilności Nyquista).

Zrozumienie marginesów wzmocnienia i marginesów fazy jest kluczowe dla zrozumienia wykresów Bode’a. Terminy te są zdefiniowane poniżej.

Margines wzmocnienia

Większy margines wzmocnienia (GM), tym większa stabilność systemu. Margines wzmocnienia odnosi się do wielkości wzmocnienia, które może być zwiększone lub zmniejszone bez powodowania niestabilności układu. Zazwyczaj jest on wyrażany jako wielkość w dB.

Możemy zazwyczaj odczytać margines wzmocnienia bezpośrednio z wykresu Bode’a (jak pokazano na rysunku powyżej). Odbywa się to poprzez obliczenie pionowej odległości pomiędzy krzywą magnitudy (na wykresie magnitudy Bode’a) a osią x przy częstotliwości, gdzie wykres fazy Bode’a = 180°. Ten punkt jest znany jako częstotliwość zwrotnicy fazowej.

Ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że Wzmocnienie i Margines Wzmocnienia nie są tymi samymi rzeczami. W rzeczywistości, margines wzmocnienia jest ujemną wartością wzmocnienia (w decybelach, dB). Będzie to miało sens, gdy przyjrzymy się formule marginesu wzmocnienia.

Formuła marginesu wzmocnienia

Formułę marginesu wzmocnienia (GM) można wyrazić jako:

Gdzie G jest wzmocnieniem. Jest to wielkość (w dB) odczytana z osi pionowej wykresu magnitudy przy częstotliwości zwrotnicy fazowej.

W naszym przykładzie pokazanym na powyższym wykresie, wzmocnienie (G) wynosi 20. Stąd używając naszego wzoru na margines wzmocnienia, margines wzmocnienia jest równy 0 – 20 dB = -20 dB (niestabilny).

Margines fazy

Im większy margines fazy (PM), tym większa będzie stabilność systemu. Margines fazowy odnosi się do ilości fazy, która może być zwiększona lub zmniejszona bez powodowania niestabilności systemu. Zazwyczaj jest on wyrażany jako faza w stopniach.

Możemy zazwyczaj odczytać margines fazy bezpośrednio z wykresu Bode’a (jak pokazano na rysunku powyżej). Odbywa się to poprzez obliczenie pionowej odległości pomiędzy krzywą fazową (na wykresie fazowym Bode’a) a osią x przy częstotliwości, gdzie wykres magnitudy Bode’a = 0 dB. Ten punkt jest znany jako częstotliwość zwrotnicy wzmocnienia.

Ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że opóźnienie fazowe i margines fazy nie są tymi samymi rzeczami. Będzie to miało sens, gdy przyjrzymy się formule marginesu fazy.

Formuła marginesu fazy

Formułę marginesu fazy (PM) można wyrazić jako:

Gdzie jest opóźnieniem fazy (liczba mniejsza od 0). Jest to faza odczytana z pionowej osi wykresu fazowego przy częstotliwości zwrotnicy wzmocnienia.

Jako inny przykład, jeśli wzmocnienie wzmacniacza w otwartej pętli przecina 0 dB przy częstotliwości, gdzie opóźnienie fazowe wynosi -120°, to opóźnienie fazowe -120°. Stąd margines fazy tego układu sprzężenia zwrotnego wynosi -120° – (-180°) = 60° (stabilny).

Stabilność wykresu Bode’a

Poniżej znajduje się skrócona lista kryteriów istotnych przy rysowaniu wykresów Bode’a (i obliczaniu ich stabilności):

1. Margines wzmocnienia: Większy będzie margines wzmocnienia większa będzie stabilność systemu. Odnosi się do wielkości wzmocnienia, które może być zwiększone lub zmniejszone bez uczynienia systemu niestabilnym. Zazwyczaj wyrażany jest w dB.
2. Margines fazy: Większy będzie margines fazy większa będzie stabilność systemu. Odnosi się on do fazy, która może być zwiększona lub zmniejszona bez uczynienia systemu niestabilnym. Zazwyczaj jest on wyrażany w fazie.
3. Częstotliwość zwrotnicy wzmocnienia: Odnosi się do częstotliwości, przy której krzywa magnitudy przecina oś zero dB w wykresie bode’a.
4. Phase Crossover Frequency: Odnosi się do częstotliwości, przy której krzywa fazy przecina ujemne razy oś 180o w tym wykresie.
5. Corner Frequency: Częstotliwość, przy której dwie asymptoty przecina lub spotkać się ze sobą jest znany jako częstotliwość break lub corner frequency.
6. Resonant Frequency: Wartość częstotliwości, przy której moduł G (jω) ma wartość szczytową, jest znana jako częstotliwość rezonansowa.
7. Faktory: Każda funkcja przenoszenia pętli {i.e. G(s) × H(s)} iloczyn różnych czynników, takich jak stały człon K, współczynniki całkowe (jω), współczynniki pierwszego rzędu ( 1 + jωT)(± n), gdzie n jest liczbą całkowitą, współczynniki drugiego rzędu lub kwadratowe.
8. Nachylenie: Istnieje nachylenie odpowiadające każdemu czynnikowi, a nachylenie dla każdego czynnika jest wyrażone w dB na dekadę.
9. Kąt: Każdemu czynnikowi odpowiada kąt, a kąt dla każdego czynnika jest wyrażony w stopniach.

Teraz są pewne wyniki, które należy zapamiętać, aby wykreślić krzywą Bode’a. Wyniki te są zapisane poniżej:

• Stała K: Ten czynnik ma nachylenie zero dB na dekadę. Nie ma żadnej częstotliwości narożnej odpowiadającej temu stałemu członowi. Kąt fazowy związany z tym stałym członem jest również równy zero.
• Współczynnik całkowy 1/(jω)n: Współczynnik ten ma nachylenie -20 × n (gdzie n jest liczbą całkowitą)dB na dekadę. Nie ma częstotliwości narożnej odpowiadającej temu współczynnikowi integralnemu. Kąt fazowy związany z tym współczynnikiem całkowym wynosi -90 × n. Tutaj n jest również liczbą całkowitą.
• Współczynnik pierwszego rzędu 1/ (1+jωT): Czynnik ten ma nachylenie -20 dB na dekadę. Częstotliwość narożna odpowiadająca temu czynnikowi wynosi 1/T radianów na sekundę. Kąt fazowy związany z tym pierwszym czynnikiem wynosi -tan- 1(ωT).
• Czynnik pierwszego rzędu (1+jωT): Czynnik ten ma nachylenie 20 dB na dekadę. Częstotliwość narożna odpowiadająca temu czynnikowi wynosi 1/T radianów na sekundę. Kąt fazowy związany z tym pierwszym czynnikiem wynosi tan- 1(ωT) .
• Czynnik drugiego rzędu lub czynnik kwadratowy : : Czynnik ten ma nachylenie -40 dB na dekadę. Częstotliwość narożna odpowiadająca temu czynnikowi wynosi ωn radianów na sekundę. Kąt fazowy związany z tym pierwszym czynnikiem wynosi
  

  

How to Draw Bode Plot

Pamiętając o wszystkich powyższych punktach, jesteśmy w stanie narysować wykres Bode’a dla każdego rodzaju układu sterowania. Teraz omówmy procedurę rysowania wykresu Bode’a:

1. Zastąpić s = jω w funkcji przenoszenia pętli otwartej G(s) × H(s).
2. Znaleźć odpowiadające im częstotliwości narożne i zapisać je w tabeli.
3. Teraz wymagany jest jeden wykres półlogiczny wybiera taki zakres częstotliwości, że wykres powinien zaczynać się od częstotliwości, która jest niższa od najniższej częstotliwości narożnej. Zaznacz częstotliwości kątowe na osi x, zaznacz nachylenia po lewej stronie osi y zaznaczając zerowe nachylenie w środku, a po prawej stronie zaznacz kąt fazowy biorąc -180o w środku.
4. Oblicz współczynnik wzmocnienia i rodzaj rzędu układu.
5. Teraz oblicz nachylenie odpowiadające każdemu współczynnikowi.

Dla narysowania wykresu wielkości Bode’a:

• Zaznacz częstotliwość narożną na papierze wykresu półlogicznego.
• Tablica tych współczynników przesuwając się od góry do dołu w podanej kolejności.
  1. Wyraz stały K.
  2. Współczynnik całkowy
  3. Współczynnik pierwszego rzędu
  4. Współczynnik pierwszego rzędu (1+jωT).
  5. Czynnik drugiego rzędu lub kwadratowy:
     

     

• Następnie naszkicuj linię za pomocą odpowiedniego nachylenia danego czynnika. Zmieniaj nachylenie przy każdej częstotliwości narożnej, dodając nachylenie kolejnego czynnika. Otrzymasz wykres wielkości.
• Oblicz margines wzmocnienia.

Do rysowania wykresu fazy Bode’a:

1. Oblicz funkcję fazy dodając wszystkie fazy czynników.
2. Zastąp różne wartości do powyższej funkcji, aby znaleźć fazę w różnych punktach i wykreślić krzywą. Otrzymasz krzywą fazową.
3. Oblicz margines fazy.

Kryterium stabilności Bode’a

Warunki stabilności są podane poniżej:

1. Dla stabilnego systemu: Oba marginesy powinny być dodatnie lub margines fazy powinien być większy od marginesu wzmocnienia.
2. Dla Układu Stabilnego Marginalnie: Oba marginesy powinny być zerowe lub margines fazy powinien być równy marginesowi wzmocnienia.
3. Dla Układu Niestabilnego: Jeśli którykolwiek z nich jest ujemny lub margines fazy powinien być mniejszy niż margines wzmocnienia.

Zalety wykresu Bode’a

1. Opiera się on na przybliżeniu asymptotycznym, które zapewnia prostą metodę wykreślania logarytmicznej krzywej wielkości.
2. Mnożenie różnych wielkości pojawiających się w funkcji przenoszenia może być traktowane jako dodawanie, natomiast dzielenie może być traktowane jako odejmowanie, ponieważ używamy skali logarytmicznej.
3. Z pomocą tej działki tylko możemy bezpośrednio komentować stabilność systemu bez wykonywania jakichkolwiek obliczeń.
4. Działki Bode’a zapewniają względną stabilność pod względem marginesu wzmocnienia i marginesu fazy.
5. Obejmuje również od niskiej częstotliwości do zakresu wysokiej częstotliwości.

.