Apollonius de Perga

Uma elipse (verde sombreado) foi uma das secções cónicas estudadas e nomeada por Apollonius.

Apollonius de Perga (Pergaeus) (ca. 262 a.C.E. – ca. 190 a.C.E.) foi um geômetro grego e astrônomo da escola alexandrina, notável por seus escritos sobre seções cônicas. Sua metodologia inovadora e terminologia, especialmente no campo das cónicas, influenciou muitos estudiosos posteriores, incluindo Ptolomeu, Francesco Maurolico, Isaac Newton e René Descartes.

Uma parábola (verde sombreado) é outra secção cónica descrita por Apolónio.

Uma hipérbole (verde sombreado) é uma terceira secção cónica estudada por Apollonius.

Foi Apollonius quem deu à elipse, à parábola, e à hipérbole os nomes pelos quais são agora conhecidas. Também lhe são atribuídas as hipóteses de órbitas excêntricas, ou deferentes e epiciciclos, para explicar o movimento aparente dos planetas e a velocidade variável da Lua. O teorema de Apollonius demonstra que dois modelos podem ser equivalentes, dados os parâmetros certos. Ptolomeu descreve este teorema no Almagest 12.1. Apollonius também pesquisou a teoria lunar, que ele chamou de Epsilon (ε). A cratera de Apolônio na Lua foi nomeada em sua homenagem.

Vida e obra maior

Apollonius nasceu cerca de 262 a.C.E., cerca de 25 anos depois de Arquimedes. Ele floresceu sob os reinados de Ptolomeu Euergetes e Ptolomeu Filósofo (247-205 A.C.E.). Seu tratado sobre cônica lhe rendeu seu nome, “O Grande Geômetro”, uma conquista que garantiu sua fama.

De todos os seus tratados, somente Cônica sobrevive. Dos outros, os historiadores têm títulos e algumas indicações de seu conteúdo graças a escritores posteriores, especialmente Pappus. Após a primeira edição do livro Conics de oito livros, Apolônio trouxe uma segunda edição por sugestão de Eudemus de Pergamum. Ao revisar cada um dos três primeiros livros, Apolônio enviou um exemplar a Eudemus; as mudanças mais consideráveis vieram nos dois primeiros livros. Eudemus morreu antes da conclusão do resto da revisão, então Apolônio dedicou os últimos cinco livros ao rei Attalus I (241-197 a.C.E.). Apenas quatro livros sobreviveram em grego; outros três estão em árabe; o oitavo nunca foi descoberto.

Embora tenha sido encontrado um fragmento de uma tradução do latim do século XIII do árabe, não foi até 1661, que Giovanni Alfonso Borelli e Abraham Ecchellensis fizeram uma tradução dos Livros 5-7 para o latim. Embora eles tenham usado Abu ‘l-Fath da versão árabe de Ispahan de 983, que foi preservada em um manuscrito florentino, a maioria dos estudiosos agora concorda que os melhores renderings árabes são os de Hilal ibn Abi Hilal para Livros 1-4 e Thabit ibn Qurra para Livros 5-7.

Apollonius estava preocupado com matemática pura. Quando lhe perguntaram sobre a utilidade de alguns de seus teoremas no Livro 4 dos Cônicos ele orgulhosamente afirmou que “eles são dignos de aceitação por causa das próprias manifestações, da mesma forma que aceitamos muitas outras coisas na matemática por isso e por nenhuma outra razão”. E como muitos de seus resultados não eram aplicáveis à ciência ou engenharia de sua época, Apolônio argumentou ainda no prefácio do quinto livro de Cônicas que “o assunto é um daqueles que parecem dignos de estudo para seu próprio bem”.”

Cônicas

Apollonius afirma que nos livros 1-4, ele trabalha a geração das curvas e suas propriedades fundamentais apresentadas no Livro 1 mais completamente do que nos tratados anteriores, e que vários teoremas do Livro 3 e a maior parte do Livro 4 são novos. Alusões às obras dos predecessores, como os quatro livros de Euclides sobre Cônica, mostram uma dívida não só para com Euclides, mas também para com Conon e Nicoteles.

A generalidade do tratamento de Apolônio é notável. Ele define e nomeia as seções cônicas, parábola, elipse e hipérbole. Ele vê cada uma destas curvas como uma propriedade cônica fundamental que é equivalente a uma equação (mais tarde chamada equação cartesiana) aplicada a eixos oblíquos – por exemplo, eixos que consistem de um diâmetro e a tangente em sua extremidade – que são obtidos pelo corte de um cone circular oblíquo. (Um cone circular oblíquo é aquele no qual o eixo não forma um ângulo de 90 graus com a directriz. Em contraste, um cone circular direito é aquele em que o eixo forma um ângulo de 90 graus com a directriz). A forma como o cone é cortado, afirma ele, não importa. Ele mostra que os eixos oblíquos são apenas um caso particular, depois de demonstrar que a propriedade cônica básica pode ser expressa na mesma forma com referência a qualquer novo diâmetro e a tangente na sua extremidade. Assim, os Livros 5-7 são claramente originais.

Apollonius atinge as suas maiores alturas no Livro 5. Aqui ele trata as normais matemáticas (uma normal é uma reta traçada perpendicularmente a uma superfície ou a outra reta) como retas mínimas e máximas traçadas de determinados pontos para a curva (independentemente das propriedades tangentes); discute quantas normais podem ser traçadas de determinados pontos; encontra seus pés por construção; e dá proposições que determinam o centro da curvatura em qualquer ponto e também leva à equação cartesiana da evolução de qualquer seção cônica.

Em Cónica, Apollonius desenvolveu um método que é tão semelhante à geometria analítica que o seu trabalho é por vezes considerado como antecipando o trabalho de Descartes por cerca de 1800 anos. A sua aplicação de linhas de referência (como um diâmetro e uma tangente) é essencialmente a mesma que o nosso uso moderno de uma moldura coordenada. No entanto, ao contrário da geometria analítica moderna, ele não levou em conta as magnitudes negativas. Além disso, ele sobrepôs o sistema de coordenadas em cada curva após a curva ter sido obtida. Assim, ele derivou equações das curvas, mas ele não derivou curvas de equações.

Outros trabalhos

Pappus menciona outros tratados de Apollonius. Cada um deles foi dividido em dois livros, e – com os Dados, os Porismos, e os Logos superficiais de Euclides, e os Cônicos de Apolônio – foram, segundo Papo, incluídos no corpo da análise antiga.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Corte de uma Relação) procurou resolver um certo problema: Dada duas linhas retas e um ponto em cada uma, desenhe através de um terceiro ponto uma linha reta cortando as duas linhas fixas de tal forma que as partes interceptadas entre os pontos dados nelas e os pontos de intersecção com esta terceira linha possam ter uma determinada relação.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Corte de uma Área) discutiu um problema semelhante que requer que o retângulo contido pelas duas intercepções seja igual a um determinado retângulo.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Determinate Section) lida com problemas de uma forma que pode ser chamada de geometria analítica de uma dimensão; com a questão de encontrar pontos em uma linha que estavam em uma relação com as outras. Os problemas específicos são: Dado dois, três, ou quatro pontos numa recta, encontrar outro ponto sobre ela de tal forma que as suas distâncias em relação aos pontos dados satisfaçam a condição de que o quadrado sobre um ou o rectângulo contido por dois tenha uma dada razão, (1) para o quadrado sobre o restante ou para o rectângulo contido pelos restantes dois ou, (2) para o rectângulo contido pelo restante e outra recta dada.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangências) abraçou o seguinte problema geral: Dadas três coisas (pontos, retas ou círculos) em posição, descreva um círculo passando pelos pontos dados e tocando as retas ou círculos dados. O caso mais difícil e historicamente interessante surge quando as três coisas dadas são círculos. No século XVI, Vieta apresentou este problema (às vezes conhecido como o Problema Apoloniano) a Adrianus Romanus, que o resolveu com uma hiperbola. Vieta propôs uma solução mais simples, eventualmente levando-o a restaurar todo o tratado de Apollonius na pequena obra Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

O objetivo de De Inclinationibus (Inclinações) era demonstrar como uma linha reta de um determinado comprimento, tendendo para um determinado ponto, poderia ser inserida entre duas linhas dadas (retas ou circulares).

De Locis Planis

De Locis Planis (Plane Loci) é um conjunto de proposições relativas a loci que são linhas rectas ou círculos.

Legacy

Known como “O Grande Geómetro”, os trabalhos de Apollonius influenciaram grandemente o desenvolvimento da matemática. Seu famoso livro, Conics, introduziu os termos parábola, elipse e hipérbole. Ele concebeu a hipótese de órbitas excêntricas para explicar o movimento aparente dos planetas e a variação da velocidade da Lua. Uma outra contribuição para o campo da matemática é o teorema de Apolônio, que demonstra que dois modelos podem ser equivalentes dados os parâmetros certos.

Notas

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. e Sabetai Unguru. Apollonius de Perga’s Conica: Texto, Contexto, Subtexto. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Tratado sobre as Seções Cônicas. W. Heffer & Sons, 1961.

Todos os links recuperados 8 de abril, 2016.

• Apollonius of Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius’ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• PDF scans of Heiberg’s edition of Apollonius of Perga’s Conic Sections (domínio público). www.wilbourhall.org.