Ben Green (matemático)

A maior parte da pesquisa de Green está nos campos da teoria dos números analíticos e combinatórias de aditivos, mas ele também tem resultados em análise harmônica e em teoria de grupo. O seu teorema mais conhecido, provado conjuntamente com o seu frequente colaborador Terence Tao, afirma que existem progressões aritméticas arbitrariamente longas nos números primos: este é agora conhecido como o teorema de Green-Tao.

Os primeiros resultados de Green na combinatória de aditivos são uma melhoria de um resultado de Jean Bourgain do tamanho das progressões aritméticas nos conjuntos de soma, bem como uma prova da conjectura Cameron-Erdős sobre conjuntos de números naturais sem soma. Ele também provou um lema de regularidade aritmética para funções definidas no primeiro N {\displaystyle N} números naturais, algo análogo ao lema de regularidade Szemerédi para gráficos.

De 2004 a 2010, em trabalho conjunto com Terence Tao e Tamar Ziegler, ele desenvolveu a chamada análise de Fourier de ordem superior. Esta teoria relaciona as normas de Gowers com objetos conhecidos como nilsequences. A teoria deriva o seu nome destas nilsequences, que desempenham um papel análogo ao que os personagens desempenham na análise clássica de Fourier. Green e Tao utilizaram a análise de Fourier de ordem superior para apresentar um novo método de contagem do número de soluções para equações simultâneas em certos conjuntos de inteiros, inclusive nos primes. Isto generaliza a abordagem clássica usando o método Hardy–Littlewood circle. Muitos aspectos desta teoria, incluindo os aspectos quantitativos do teorema inverso para as normas de Gowers, ainda são objecto de investigação em curso.

Green também colaborou com Emmanuel Breuillard em tópicos em teoria de grupo. Em particular, juntamente com Terence Tao, eles provaram um teorema de estrutura para grupos aproximados, generalizando o teorema de Freiman-Ruzsa sobre conjuntos de inteiros com pequenas dobras. Green também tem trabalho, em conjunto com Kevin Ford e Sean Eberhard, sobre a teoria do grupo simétrico, em particular sobre qual proporção de seus elementos fixam um conjunto de tamanho k {\displaystyle k} .

Green e Tao também têm um trabalho sobre a geometria algébrica combinatória, resolvendo a conjectura Dirac-Motzkin (ver teorema de Sylvester-Gallai). Em particular, eles provam que, dada qualquer coleção de n pontos no plano que não são todos colineares, se n é suficientemente grande, então deve haver pelo menos n / 2 linhas no plano contendo exatamente dois dos pontos.

Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard e Terence Tao, inicialmente em dois grupos de pesquisa separados e depois, em combinação, melhoraram o limite inferior para o tamanho do maior intervalo entre dois primes consecutivos de tamanho no máximo X {\displaystyle X} . A forma do limite anteriormente mais conhecido, essencialmente devido ao Rankin, não tinha sido melhorado durante 76 anos.

Mais recentemente Green considerou questões na teoria aritmética Ramsey. Juntamente com Tom Sanders, ele provou que, se um campo finito suficientemente grande de ordem principal é colorido com um número fixo de cores, então o campo tem elementos x , y {\i1} tal que x , y , x + y , x y {\i1}displaystyle x,y,x{+}y,xy} todos têm a mesma cor.

Green também tem estado envolvido com os novos desenvolvimentos de Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt na aplicação de um método polinomial para limitar o tamanho de subconjuntos de um espaço vectorial finito sem soluções para equações lineares. Ele adaptou estes métodos para provar, em campos de função, uma versão forte do teorema de Sárközy.