Bode Plot, Margem de Ganho e Margem de Fase (Mais Diagramas)

O que é um Bode Plot

Um Bode Plot é um gráfico comumente usado na engenharia de sistemas de controle para determinar a estabilidade de um sistema de controle. Um gráfico de Bode mapeia a resposta de freqüência do sistema através de dois gráficos – o gráfico de magnitude Bode (expressando a magnitude em decibéis) e o gráfico de fase Bode (expressando o deslocamento de fase em graus).

Bode plots foram introduzidos pela primeira vez na década de 1930 por Hendrik Wade Bode enquanto ele trabalhava no Bell Labs nos Estados Unidos. Embora os gráficos de Bode ofereçam um método relativamente simples para calcular a estabilidade do sistema, eles não podem lidar com funções de transferência com singularidades de meio plano direito (ao contrário do critério de estabilidade Nyquist).

>

As margens de ganho e as margens de fase são cruciais para entender os gráficos de Bode. Estes termos são definidos abaixo.

Margem de Ganho

Quanto maior a Margem de Ganho (GM), maior é a estabilidade do sistema. A margem de ganho refere-se à quantidade de ganho, que pode ser aumentada ou diminuída sem tornar o sistema instável. É normalmente expressa como uma magnitude em dB.

Podemos ler a margem de ganho diretamente do gráfico do Bode (como mostrado no diagrama acima). Isto é feito calculando a distância vertical entre a curva de magnitude (no gráfico de magnitude de Bode) e o eixo x na freqüência em que o gráfico de fase de Bode = 180°. Este ponto é conhecido como frequência de cruzamento de fases.

É importante perceber que o Ganho e a Margem de Ganho não são as mesmas coisas. Na verdade, a Margem de Ganho é o negativo do ganho (em decibéis, dB). Isto fará sentido quando olharmos para a fórmula da Margem de Ganho.

Fórmula da Margem de Ganho

A fórmula da Margem de Ganho (GM) pode ser expressa como:

Onde G é o ganho. Esta é a magnitude (em dB) como lida a partir do eixo vertical do gráfico de magnitude na frequência de cruzamento de fases.

No nosso exemplo mostrado no gráfico acima, o Ganho (G) é 20. Assim, usando nossa fórmula para margem de ganho, a margem de ganho é igual a 0 – 20 dB = -20 dB (instável).

Margem de Fase

Quanto maior a Margem de Fase (PM), maior será a estabilidade do sistema. A Margem de Fase refere-se à quantidade de fase, que pode ser aumentada ou diminuída sem tornar o sistema instável. Normalmente é expressa como uma fase em graus.

Podemos ler a margem de fase diretamente do gráfico do Bode (como mostrado no diagrama acima). Isto é feito calculando a distância vertical entre a curva de fase (no gráfico de fase do Bode) e o eixo x na freqüência em que o gráfico de magnitude do Bode = 0 dB. Este ponto é conhecido como frequência de cruzamento de ganho.

É importante perceber que o atraso de fase e a Margem de Fase não são as mesmas coisas. Isto fará sentido quando olharmos para a fórmula da margem de fase.

Fórmula da Margem de Fase

A fórmula da Margem de Fase (PM) pode ser expressa como:

Onde é o desfasamento de fase (um número inferior a 0). Esta é a fase lida do eixo vertical do gráfico de fase na freqüência de cruzamento de ganho.

Como outro exemplo, se o ganho de um amplificador em loop aberto cruza 0 dB em uma freqüência onde a defasagem de fase é -120°, então a defasagem de fase é -120°. Assim a margem de fase deste sistema de feedback é -120° – (-180°) = 60° (estável).

Estabilidade do gráfico de Bode Plot

Below é uma lista resumida de critérios relevantes para desenhar gráficos de Bode (e calcular a sua estabilidade):

1. Margem de Ganho: Maior será a margem de ganho maior será a estabilidade do sistema. Refere-se à quantidade de ganho, que pode ser aumentada ou diminuída sem tornar o sistema instável. É normalmente expressa em dB.
2. Margem de Fase: Maior será a margem de fase maior será a estabilidade do sistema. Refere-se à fase que pode ser aumentada ou diminuída sem que o sistema se torne instável. Normalmente é expressa em fase.
3. Ganho de Frequência de Cruzamento: Refere-se à freqüência na qual a curva de magnitude corta o eixo de zero dB no gráfico do bode.
4. Fase Frequência de Cruzamento: Refere-se à freqüência na qual a curva de fase corta os tempos negativos do eixo de 180o neste gráfico.
5. Freqüência de cruzamento de fases: A frequência com que as duas assímptotas cortam ou se encontram é conhecida como frequência de ruptura ou frequência de canto.
6. Frequência ressonante: O valor da freqüência na qual o módulo de G (jω) tem um valor de pico é conhecido como freqüência ressonante.
7. Fatores: Cada função de transferência de laço {i.e. G(s) × H(s)} produto de vários fatores como o termo constante K, fatores integrais (jω), fatores de primeira ordem ( 1 + jωT)(± n) onde n é um fator inteiro, de segunda ordem ou quadrático.
8. Inclinação: Há uma inclinação correspondente a cada fator e a inclinação para cada fator é expressa em dB por década.
9. Ângulo: Há um ângulo correspondente a cada fator e o ângulo para cada fator é expresso nos graus.

Agora há alguns resultados que se deve lembrar para traçar a curva de Bode. Estes resultados estão escritos abaixo:

• Termo constante K: Este fator tem um declive de zero dB por década. Não há uma frequência de canto correspondente a este termo constante. O ângulo de fase associado a este termo constante também é zero.
• Fator integral 1/(jω)n: Este fator tem uma inclinação de -20 × n (onde n é um número inteiro)dB por década. Não há uma freqüência de canto correspondente a este fator integral. O ângulo de fase associado a este fator integral é -90 × n. Aqui n também é um número inteiro.
• Fator de primeira ordem 1/ (1+jωT): Este factor tem um declive de -20 dB por década. A freqüência de canto correspondente a este fator é de 1/T radiano por segundo. O ângulo de fase associado a este primeiro fator é -tan- 1(ωT).
• Fator de primeira ordem (1+jωT): Este factor tem um declive de 20 dB por década. A freqüência de canto correspondente a este fator é de 1/T radiano por segundo. O ângulo de fase associado a este primeiro fator é tan- 1(ωT) .
• Segundo fator de ordem ou quadrático : : Este fator tem um declive de -40 dB por década. A freqüência de canto correspondente a este fator é ωn radianos por segundo. O ângulo de fase associado a este primeiro fator é
  

  

Como desenhar um gráfico de Bode

Mantendo todos os pontos acima em mente, somos capazes de desenhar um gráfico de Bode para qualquer tipo de sistema de controle. Agora vamos discutir o procedimento de desenhar um gráfico de Bode:

1. Substituir o s = jω na função de transferência em malha aberta G(s) × H(s).
2. Localizar as frequências de canto correspondentes e tabulá-las.
3. Agora é necessário um gráfico de semi-log escolhido de tal forma que o gráfico deve começar com a frequência que é menor do que a frequência de canto mais baixa. Marque as frequências angulares no eixo x, marque os declives no lado esquerdo do eixo y marcando uma inclinação zero no meio e no lado direito marque o ângulo de fase, tomando -180o no meio.
4. Calcule o fator de ganho e o tipo de ordem do sistema.
5. Calcule agora a inclinação correspondente a cada fator.

Para desenhar o gráfico de grandeza do Bode:

• Marque a freqüência do canto no papel gráfico do semi-log.
• Tabular estes fatores movendo-se de cima para baixo na seqüência dada.
  1. Termo constante K.
  2. Fator integral
  3. Fator de ordem inicial
  4. Fator de ordem inicial (1+jωT).
  5. Segunda ordem ou fator quadrático:
     

     

• Agora desenhe a linha com a ajuda da inclinação correspondente do fator dado. Mude a inclinação em cada freqüência de canto adicionando a inclinação do próximo fator. Você obterá o gráfico de magnitude.
• Calcular a margem de ganho.

Para desenhar o gráfico de fase Bode:

1. Calcular a função de fase adicionando todas as fases dos fatores.
2. Substituir vários valores à função acima a fim de descobrir a fase em pontos diferentes e traçar uma curva. Você obterá uma curva de fase.
3. Calcule a margem de fase.

Critério de Estabilidade do Bode

As condições de estabilidade são dadas abaixo:

1. Para um Sistema Estável: Ambas as margens devem ser positivas ou a margem de fase deve ser maior que a margem de ganho.
2. Para um Sistema Estável Marginal: Ambas as margens devem ser zero ou a margem de fase deve ser igual à margem de ganho.
3. Para um Sistema Instável: Se alguma delas for negativa ou a margem de fase deve ser menor que a margem de ganho.

Vantagens de um Gráfico de Bode

1. É baseado na aproximação assimptótica, que fornece um método simples para plotar a curva de magnitude logarítmica.
2. A multiplicação de várias grandezas aparece na função de transferência pode ser tratada como uma adição, enquanto que a divisão pode ser tratada como subtração, já que estamos usando uma escala logarítmica.
3. Com a ajuda deste gráfico só podemos comentar diretamente a estabilidade do sistema sem fazer cálculos.
4. Os gráficos de Bode fornecem estabilidade relativa em termos de margem de ganho e margem de fase.
5. Também cobre desde a faixa de baixa frequência até a faixa de alta frequência.