Bravais lattice

Na geometria e cristalografia, uma malha Bravais, com o nome de Auguste Bravais (1850), é um conjunto infinito de pontos discretos gerados por um conjunto de operações de tradução discreta descritas no espaço tridimensional por:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\i1}mathbf {R} =n_{1}{1}mathbf {a} _{1}+n_{2}}mathbf {a} _{2}+n_{3}{3}\i1}mathbf {a} _{3}}

(1)

onde os ni são quaisquer inteiros e ai são vectores primitivos que se encontram em direcções diferentes (não necessariamente mutuamente perpendiculares) e atravessam a malha. A escolha dos vetores primitivos para uma determinada malha de Bravais não é única. Um aspecto fundamental de qualquer malha de Bravais é que, para qualquer escolha de direção, a malha aparecerá exatamente a mesma de cada um dos pontos discretos da malha ao olhar naquela direção escolhida.

Na cristalografia, o conceito da malha de Bravais de um conjunto infinito de pontos discretos é expandido usando o conceito de uma célula unitária que inclui o espaço entre os pontos discretos da malha, bem como quaisquer átomos naquele espaço. Existem dois tipos principais de células unitárias: células unitárias primitivas e células unitárias não-primitivas.

Uma célula unitária primitiva para uma determinada malha de Bravais pode ser escolhida em mais de uma forma (cada forma tem uma forma diferente), mas cada forma terá o mesmo volume e cada forma terá a propriedade de que uma correspondência um-para-um pode ser estabelecida entre as células unitárias primitivas e os pontos da malha discreta. A célula primitiva óbvia a associar a uma escolha particular de vetores primitivos é o paralelepípedo formado por eles. Ou seja, o conjunto de todos os pontos r da forma:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 onde 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}mathbf {a} _{1}+x_{2}mathbf {a} _{2}+x_{3}mathbf {a} _{3}qquad {\i} _{3}qquad {\i}}0{leq x_{i}<1}

(2)

Usando o paralelepípedo definido pelos vetores primitivos, uma vez que a célula unitária tem a desvantagem em alguns casos de não revelar claramente a simetria total da malha. Uma solução para isto é usar a célula primitiva de Wigner-Seitz (que consiste de todos os pontos no espaço que estão mais próximos do ponto dado da malha do que de qualquer outro ponto da malha) que exibe a simetria completa da malha. Outra solução é usar uma célula unitária não-primitiva que exibe a simetria completa da malha. O volume da célula unitária não-primitiva será um múltiplo inteiro do volume da célula unitária primitiva.

A célula unitária, primitiva ou não, quando replicada uma vez para cada ponto discreto da árvore, deve preencher exatamente todo o espaço sem sobreposição e sem lacunas.

O conceito de árvore Bravais expandida, incluindo a célula unitária, é usado para definir formalmente uma disposição cristalina e suas fronteiras (finitas). Um cristal é composto por uma disposição periódica de um ou mais átomos (a base ou o motivo) ocorrendo exatamente uma vez em cada célula unitária primitiva. A base pode ser constituída por átomos, moléculas ou cordões de polímeros de matéria sólida. Conseqüentemente, o cristal parece o mesmo quando visto em qualquer direção a partir de qualquer ponto equivalente em duas células unitárias diferentes (dois pontos em duas células unitárias diferentes da mesma malha são equivalentes se tiverem a mesma posição relativa em relação aos limites das suas células unitárias individuais).

Duas redes Bravais são frequentemente consideradas equivalentes se tiverem grupos de simetria isomórfica. Neste sentido, existem 14 possíveis árvores Bravais no espaço tridimensional. Os 14 grupos de simetria possíveis das árvores Bravais são 14 dos 230 grupos espaciais. No contexto da classificação dos grupos espaciais, as árvores Bravais também são chamadas classes Bravais, classes aritméticas Bravais, ou bandos Bravais.