Geometria analítica
Geometria analítica elementar
Apollonius de Perga (c. 262-190 bc), conhecido pelos seus contemporâneos como o “Grande Geómetro”, prefigurou o desenvolvimento da geometria analítica por mais de 1.800 anos com o seu livro Conics. Ele definiu uma cónica como a intersecção de um cone e de um plano (ver figura). Usando os resultados de Euclides em triângulos semelhantes e em secantes de círculos, ele encontrou uma relação satisfeita pelas distâncias de qualquer ponto P de uma cónica a duas linhas perpendiculares, o eixo principal da cónica e a tangente a um ponto final do eixo. Estas distâncias correspondem às coordenadas de P, e a relação entre estas coordenadas corresponde a uma equação quadrática da cónica. Apollonius utilizou esta relação para deduzir propriedades fundamentais das cónicas. Ver secção cónica.
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Outros desenvolvimentos de sistemas de coordenadas (ver figura) em matemática só surgiram após a álgebra ter amadurecido sob matemática islâmica e indiana. (Veja Matemática: O mundo islâmico (séculos 8-15) e a matemática, Sul da Ásia). No final do século XVI, o matemático francês François Viète introduziu a primeira notação algébrica sistemática, usando letras para representar quantidades numéricas conhecidas e desconhecidas, e desenvolveu poderosos métodos gerais para trabalhar com expressões algébricas e resolver equações algébricas. Com o poder da notação algébrica, os matemáticos não eram mais completamente dependentes de figuras geométricas e da intuição geométrica para resolver problemas. Os mais ousados começaram a deixar para trás a forma padrão de pensar geométrico em que variáveis lineares (primeira potência) correspondiam a comprimentos, quadrados (segunda potência) a áreas e cúbicos (terceira potência) a volumes, com potências superiores sem interpretação “física”. Dois franceses, o matemático-filósofo René Descartes e o advogado matemático Pierre de Fermat, foram dos primeiros a dar este passo ousado.
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Descartes e Fermat fundaram independentemente a geometria analítica na década de 1630, adaptando a álgebra de Viète ao estudo dos loci geométricos. Eles foram decisivamente além de Viète, usando letras para representar distâncias que são variáveis em vez de fixas. Descartes usou equações para estudar curvas definidas geometricamente e enfatizou a necessidade de considerar curvas algébricas gerais – gráficos de equações polinomiais em x e y de todos os graus. Ele demonstrou seu método sobre um problema clássico: encontrar todos os pontos P de modo que o produto das distâncias de P a certas linhas seja igual ao produto das distâncias a outras linhas. Ver geometria: Geometria cartesiana.
Fermat enfatizou que qualquer relação entre as coordenadas x e y determina uma curva (veja figura). Usando esta idéia, ele reformulou os argumentos do Apollonius em termos algébricos e restaurou o trabalho perdido. Fermat indicou que qualquer equação quadrática em x e y pode ser colocada na forma padrão de uma das secções cónicas.
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Fermat não publicou o seu trabalho, e Descartes dificultou deliberadamente a sua leitura a fim de desencorajar os “dabblers”. Suas idéias ganharam aceitação geral somente através dos esforços de outros matemáticos na segunda metade do século XVII. O matemático holandês Frans van Schooten, em particular, traduziu os escritos de Descartes do francês para o latim. Ele acrescentou material explicativo vital, assim como o advogado francês Florimond de Beaune, e o matemático holandês Johan de Witt. Na Inglaterra, o matemático John Wallis popularizou a geometria analítica, usando equações para definir as cónicas e derivar as suas propriedades. Ele usou livremente coordenadas negativas, embora tenha sido Isaac Newton quem inequivocamente usou dois eixos (oblíquos) para dividir o plano em quatro quadrantes, como mostra a figura.
A geometria analítica teve o seu maior impacto na matemática através do cálculo. Sem acesso ao poder da geometria analítica, matemáticos gregos clássicos como Arquimedes (c. 285-212/211 bc) resolveram casos especiais dos problemas básicos do cálculo: encontrar tangentes e pontos extremos (cálculo diferencial) e comprimentos, áreas e volumes do arco (cálculo integral). Os matemáticos renascentistas foram levados de volta a estes problemas pelas necessidades da astronomia, ótica, navegação, guerra e comércio. Eles naturalmente procuraram usar o poder da álgebra para definir e analisar uma gama crescente de curvas.
Fermat desenvolveu um algoritmo algébrico para encontrar a tangente a uma curva algébrica em um ponto, encontrando uma linha que tem uma intersecção dupla com a curva no ponto na essência, inventando o cálculo diferencial. Descartes introduziu um algoritmo semelhante, mas mais complicado, usando um círculo. Fermat calculou áreas sob as curvas y = axk para todos os números racionais k ≠ -1 pela soma de áreas de rectângulos inscritos e circunscritos. (Ver exaustão, método de.) Para o resto do século XVII, o trabalho de base para o cálculo foi continuado por muitos matemáticos, incluindo o francês Gilles Personne de Roberval, o italiano Bonaventura Cavalieri, e os britânicos James Gregory, John Wallis, e Isaac Barrow.
Newton e o alemão Gottfried Leibniz revolucionaram a matemática no final do século XVII, demonstrando independentemente o poder do cálculo. Ambos os homens usaram coordenadas para desenvolver notações que expressavam as idéias de cálculo em toda generalidade e levaram naturalmente às regras de diferenciação e ao teorema fundamental do cálculo (conectando cálculo diferencial e integral). Ver análise.
Newton demonstrou a importância dos métodos analíticos na geometria, além do seu papel no cálculo, quando afirmou que qualquer curva cúbico-ou, algébrica de grau três tem uma das quatro equações padrão,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, para eixos de coordenadas adequadas. O matemático escocês James Stirling provou esta afirmação em 1717, possivelmente com a ajuda de Newton. Newton dividiu os cúbicos em 72 espécies, um total posteriormente corrigido para 78,
Newton também mostrou como expressar uma curva algébrica próxima à origem em termos da série de potências fracionais y = a1x1/k + a2x2/k + … para um inteiro positivo k. Os matemáticos têm desde então usado esta técnica para estudar curvas algébricas de todos os graus.