Grupo Abeliano

BY admin

| Novembro 24, 2021

Este artigo é sobre uma definição básica em teoria de grupo. O texto do artigo pode, no entanto, conter material avançado.
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Este artigo define uma propriedade do grupo que é pivotal (ou seja, importante) entre propriedades de grupo existentes
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História

Origem do termo

O termo grupo abeliano vem de Niels Henrick Abel, um matemático que trabalhou com grupos mesmo antes da teoria formal ter sido estabelecida, a fim de provar a insolvabilidade do quíntico.

A palavra abelian é normalmente iniciada com um pequeno a.

wikinote: Alguns conteúdos mais antigos no wiki usam A maiúsculo para Abelian. Estamos tentando atualizar este conteúdo.

Definição

Um grupo abeliano é um grupo onde quaisquer dois elementos se comutam. Nos símbolos, um grupo $G$ é denominado abeliano se para qualquer elemento $x$ e $y$ em $G$ , $xy = yx$ (aqui $xy$ denota o produto de $x$ e $y$ em $G$ ). Note que $x,y$ podem ser iguais, embora elementos iguais se comutem de qualquer forma, por isso podemos restringir a atenção se quisermos elementos desiguais.

Definição completa

Um grupo abeliano é um conjunto $G$ equipado com uma operação binária (infix) $+$ (chamada operação de adição ou de grupo), um elemento de identidade $0$ e uma operação unária (prefixo) $-$ , chamada de mapa inverso ou mapa de negação, satisfazendo o seguinte:

Para qualquer $a,b,c \em G$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ . Esta propriedade é denominada associatividade.
Para qualquer $a \em G$ , $a + 0 = 0 + a = a$ . $0$ assim desempenha o papel de um elemento de identidade aditivo ou elemento neutro.
Para qualquer $a \em G$ , $a + (-a) = (-a) + a = 0$ . Assim, $a$ é um elemento inverso a $a$ com respeito a $+$ .
Para qualquer $a,b \em G$ , $a + b = b + a$ . Esta propriedade é denominada comutatividade.

Formulações equivalentes

Um grupo $G$ é denominada abeliana se satisfizer as seguintes condições equivalentes:

Seu centro $Z(G)$ é o grupo inteiro.
Seu subgrupo derivado $G' =$ é trivial.
(Escolha um grupo gerador $S$ para $G$ ). Para quaisquer elementos $a,b \em S$ , $ab = ba$ .
O subgrupo diagonal $\{(g,g) \mid g \ em G \}$ é um subgrupo normal dentro de $G \ times G$ .

Notação

Quando $G$ é um grupo abeliano, nós tipicamente usamos notação aditiva e terminologia. Assim, a multiplicação do grupo é denominada adição e o produto de dois elementos é denominado soma.

O operador infix $+$ é utilizado para a multiplicação do grupo, portanto a soma de dois elementos $a$ e $b$ é denotada por $a + b$ . A multiplicação do grupo é denominada adição e o produto de dois elementos é denominado soma.
O elemento de identidade é tipicamente denotado como $0$ e denominado zero
O inverso de um elemento é denominado seu inverso negativo ou aditivo. O inverso de $a$ é denotado $-a$
$a + a + \ldots + a$ feito $n$ vezes é denotado $na$ , (onde $n \mathbb{N}$ ) enquanto $(-a) + (-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a)$ feito $n$ vezes é indicado $(-n)a$ .

Esta convenção é tipicamente seguida numa situação em que estamos a lidar com o grupo abeliano $G$ isoladamente, em vez de como um subgrupo de um grupo possivelmente não abeliano. Se estamos trabalhando com subgrupos em um grupo não-abeliano, tipicamente usamos notação multiplicativa mesmo que o subgrupo seja abeliano.

Exemplos

VISÃO: grupos que satisfazem esta propriedade | grupos que não satisfazem esta propriedade
VISÃO: Satisfações de propriedades do grupo relacionadas | insatisfações de propriedades do grupo relacionadas

alguns exemplos infinitos

O grupo aditivo de inteiros $\mathbb{Z}$ , o grupo aditivo de números racionais $\mathbb{Q}$ , o grupo aditivo de números reais $\mathbb{R}$ , o grupo multiplicativo de racionalidades não-zero $\mathbb{Q}^*$ , e o grupo multiplicativo de números reais não-zero $\mathbb{R}^*$ são alguns exemplos de grupos abelianos.

(Mais geralmente, para qualquer campo, o grupo aditivo, e o grupo multiplicativo de elementos não zeros, são grupos abelianos).

Exemplos finitos

Grupos cíclicos são bons exemplos de grupos abelianos, onde o grupo cíclico de ordem $n$ é o grupo de inteiros modulo $n$ .

Outros, qualquer produto direto dos grupos cíclicos também é um grupo abeliano. Além disso, cada grupo abeliano finitamente gerado é obtido desta forma. Este é o famoso teorema da estrutura dos grupos abelianos finitos.

O teorema da estrutura pode ser usado para gerar uma lista completa dos grupos abelianos finitos, como descrito aqui: classificação dos grupos abelianos finitos.

Sem exemplos

Nem todos os grupos são abelianos. O menor grupo não-abeliano é o grupo simétrico em três letras: o grupo de todas as permutações em três letras, em composição. O fato de ser não-abeliano depende do fato de que a ordem em que as permutações são realizadas importa.

Fatos

Ocorrência como subgrupos

Todos os grupos cíclicos são abelianos. Como cada grupo é gerado por seus subgrupos cíclicos, cada grupo é gerado por uma família de subgrupos abelianos. Uma pergunta mais difícil é: existem subgrupos normais abelianos? Um bom candidato para um subgrupo normal abeliano é o centro, que é a coleção de elementos do grupo que se deslocam com cada elemento do grupo.

Ocorrência como quociente

O quociente máximo abeliano de qualquer grupo é chamado de sua abelianização, e este é o quociente pelo subgrupo derivado. Um subgrupo é um subgrupo abeliano-quociente (ou seja, normal com grupo de quociente abeliano) se e somente se o subgrupo contiver o subgrupo derivado.

Metaproperties

Nome da metapropriedade	Satisfeito?	Prova	Declaração com símbolos
Propriedade do grupo varietal	Sim		A colecção de grupos abelianos forma uma subvariedade da variedade de grupos. Em particular, ela é fechada em subgrupos, quocientes, e produtos directos arbitrários
propriedade do subgrupo fechado	Sim	abelianidade é um subgrupo fechado	Se $G$ é um grupo abeliano e $H$ é um subgrupo de $G$ , então $H$ é abeliano.
é um subgrupo de grupo fechado	Sim	é um grupo abeliano fechado	se $G$ é um grupo abeliano e $H$ é um subgrupo normal de $G$ , o grupo do quociente $G/H$ é abeliano.
propriedade do grupo produto directo-fechado	Sim	a abelianidade é produto directo-fechado	Suponha que $G_i, i \ I$ , são grupos abelianos. Então, o produto directo externo $>prod_{i }in I} G_i$ também é abeliano.

Relação com outras propriedades

Propriedades mais fortes

Propriedade	Significado	Prova de implicação	Prova de rigor (falha de implicação inversa)	Noções intermediárias
grupo cíclico	gerado por um elemento	cíclico implica abeliano	abeliano não implica cíclico (ver também lista de exemplos)	grupo epabeliano, Grupo cíclico local, Grupo residualmente cíclico\|LISTA TOTAL, MAIS INFO
grupo homocíclico	produto direto de grupos cíclicos isomórficos		(ver também lista de exemplos)	\|LISTA TOTAL, MAIS INFO
grupo residualmente cíclico	cada elemento não-identidade está fora de um subgrupo normal com um grupo de quociente cíclico		(ver também lista de exemplos)	\|LISTA TOTAL, MAIS INFO
grupo local cíclico	todo subgrupo finitamente gerado é cíclico		(ver também lista de exemplos)	grupo Epabelian\|FULL LIST, MAIS INFO
grupo epabeliano	grupo abeliano cujo quadrado exterior é o grupo trivial		(ver também lista de exemplos)	\|LISTA TOTAL, MAIS INFO
grupo finito abeliano	grupo finito abeliano e um grupo finito		(ver também lista de exemplos)	\|LISTA TOTAL, MAIS INFO
grupo abeliano gerado finitamente	grupo abeliano e um grupo gerado finitamente		(ver também lista de exemplos)	Grupo exclusivamente cíclico\|LISTA COMPLETA, MAIS INFO

Propriedades do fraco

Propriedade	Significado	Prova de implicação	Prova de rigor (falha de implicação inversa)	Noções intermédias
grupo nilpotente	a série central inferior atinge a identidade, A série central superior atinge todo o grupo	abelian implica nilpotente	nilpotente não implica abelian (ver também lista de exemplos)	Grupo no qual a classe é igual à profundidade subnormal máxima, Grupo de nilpotência classe três, Grupo de nilpotência classe dois, Grupo de nilpotência classe dois, cujo mapa de comutação é o dobro de um biomorfismo alternado dando classe dois, UL-equivalente grupo\|FULL LISTA TOTAL, MAIS INFO
grupo solvível	série derivada atinge a identidade, tem séries normais com grupos de factores abelianos	abeliano implica solvível	solvível não implica abeliano (ver também lista de exemplos)	grupo metabeliano, Metanilpotente grupo, Nilpotente grupo\|FULL LIST, MAIS INFO
metabeliano grupo	tem subgrupo normal abeliano com quociente abeliano grupo		(ver também lista de exemplos)	Grupo de classe nilpotência dois\|FULL LIST, MAIS INFO
grupo praticamente abeliano	tem subgrupo abeliano de índice finito		(ver também lista de exemplos)	grupo FZ\|LISTA TOTAL, MAIS INFO
grupo FZ	centro tem índice finito		(ver também lista de exemplos)	\|LISTA TOTAL, MAIS INFO
FC-group	cada classe conjugal é finita		(ver também lista de exemplos)	FZ-group, Grupo com subgrupo derivado finito\|LISTA TOTAL, MAIS INFO

Incomparáveis propriedades

Grupo supersolúvel é um grupo que tem uma série normal onde todos os sucessivos grupos quocientes são grupos cíclicos. Um grupo abeliano é supersolúvel se e somente se for finitamente gerado.
Grupo policíclico é um grupo que tem uma série subnormal onde todos os sucessivos grupos quocientes são grupos cíclicos. Um grupo abeliano é policíclico se e somente se for finitamente gerado.

Formalismos

Em termos do operador diagonal-em-quadrado

Esta propriedade é obtida pela aplicação do operador diagonal-em-quadrado à propriedade: normal subgrupo
Ver outras propriedades obtidas pela aplicação do operador diagonal-na-quadrado

A grupo $G$ é um grupo abeliano se e somente se, no produto direto externo $G \G \G \G \G$ , o subgrupo diagonal $\G \G \G \G$ é um subgrupo normal.

Teste

O problema do teste

Outras informações: Abelianness testing problem

O problema do teste de abelianidade é o problema de testar se um grupo (descrito usando alguma regra de descrição de grupo, como uma codificação de um grupo ou uma codificação múltipla de um grupo) é abeliano.

Algoritmos para o intervalo do problema de teste de abelianidade desde o algoritmo de grupo de caixa preta de força bruta para teste de abelianidade (que envolve testar para cada par de elementos se eles se comutam, e é quadrático na ordem do grupo) até o algoritmo de grupo de caixa preta baseado no conjunto gerador para teste de abelianidade (que envolve testar apenas em um conjunto gerador, e é quadrático no tamanho do conjunto gerador).

Comando GAP

Esta propriedade de grupo pode ser testada usando a funcionalidade embutida de Grupos, Algoritmos, Programação (GAP).
O comando GAP para esta propriedade de grupo é:IsAbelian
A classe de todos os grupos com esta propriedade pode ser referenciada com o comando embutido: AbelianGroups
Ver propriedades do grupo GAP-testable

Para testar se um grupo é abeliano, a sintaxe do GAP é:

IsAbelian (group)

onde group define o grupo ou dá o nome a um grupo previamente definido.

Estudo desta noção

Classificação de temas matemáticos

Na classificação de temas matemáticos, o estudo desta noção está sob a classe: 20K

Referências de livros de texto

Livro	Número de página	Capítulo e secção	Informação contextual	Vista
Álgebra abstrata de David S. Dummit e Richard M. Foote, 10 dígitos ISBN 0471433349, 13 dígitos ISBN 978-0471433347Mais informações	17	Definição formal (definição como ponto (2) em definição geral de grupo)
Grupos e representações de Jonathan Lazare Alperin e Rowen B. Bell, ISBN 0387945261Mais informações	2	1.1 (Rudimentos da Teoria do Grupo/Revisão)	definição introduzida no parágrafo	Google Books
Álgebra de Michael Artin, ISBN 0130047635, 13 dígitos ISBN 978-0130047632Mais informações	42		definição introduzida no parágrafo (imediatamente após a definição de grupo)
Tópicos em Álgebra por I. N. HersteinMais informações	> 28		Definição formal
Um Curso na Teoria dos Grupos por Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613Mais informações	2		1.1 (Operações Binárias, Semigrupos e Grupos)	definição formal	Google Books
Teoria de Grupos Finitos (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) por Michael Aschbacher, ISBN 0521786754Mais informações	1	1.1 (Teoria elementar de grupos)	definição introduzida no parágrafo	Google Books