Módulo 1 — Escolhendo um Eixo de Rotação e Descrevendo a Direção da Rotação

De PER wiki

Metas de aprendizagem

Após trabalhar com este módulo, você deverá ser capaz de:

• Descrever a rotação de um corpo rígido sobre um eixo fixo.
• Definir a velocidade angular em termos da taxa de variação da posição angular.
• Indicar o sentido de rotação de um objecto rígido e aplicar a regra da direita.

A rotação de um objecto rígido sob a forma de spin pode ocorrer em combinação com o movimento translacional. Vamos deixar a descrição do movimento translacional e rotacional combinados para mais tarde. Neste módulo vamos concentrar-nos na descrição do movimento translacional puro. O movimento de rotação puro pode ser muito complicado e alguns casos estão fora do escopo de qualquer aula de física introdutória.

Para simplificar as ideias de movimento angular vamos fazer as seguintes restrições:

1. O corpo rígido gira em torno de um eixo fixo de rotação.
2. Vamos considerar objetos que são finos, por exemplo o disco na figura a) ou a haste na figura b).
3. A rotação é no plano onde o objeto está contido, por exemplo, o plano xy na figura abaixo.
4. O eixo de rotação é perpendicular ao plano onde o objeto está contido, o eixo z nas figuras abaixo.

Um corpo rígido limitado a girar sobre um eixo fixo

O caso mais simples de movimento de rotação é um corpo rígido como o disco ou a barra mostrada acima que pode girar sobre um eixo ou dobradiça que está fixo no espaço. O eixo ou a dobradiça não traduz, mas permite a rotação. Este caso ilustra claramente a noção de um eixo de rotação. Imagine um ponto que fica no centro do disco ou no fim da barra, ponto Q, na figura abaixo. À medida que o corpo gira, este ponto não se move de todo. Qualquer outro ponto como o ponto B irá mover-se à medida que a rotação ocorre. Imagine uma linha reta passando pelo ponto Q e perpendicular ao plano onde o disco ou haste estão contidos, o plano xy na figura. Esta linha não se move enquanto o corpo gira. Qualquer outra linha que passe por qualquer outro ponto do objeto, como a linha azul que passa pelo ponto B, irá se mover. Esta única linha fixa é o eixo de rotação.

Em resumo, quando falamos de um eixo fixo de rotação precisamos imaginar uma linha perpendicular ao plano onde o corpo rígido está girando. Em geral vamos considerar o objeto contido e girando dentro do plano xy, portanto o eixo de rotação será paralelo ao eixo z. O ponto de intersecção entre esta linha e o plano, o ponto Q na figura acima, também será fixo no espaço.

Movimento Rotacional de um Corpo Rígido Girando em torno de um Eixo Fixo

Considerar um disco girando em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro. Um ponto B no disco, uma distância r do centro estará se movendo em uma trajetória circular de raio r, o círculo de traço na figura a).

Posição angular

A posição do ponto B pode ser descrita em termos do ângulo θ(t) medido a partir do eixo +x. O ângulo θ é chamado de posição angular do ponto.

Convenção: a posição angular é definida positivamente quando medida no sentido anti-horário em relação ao eixo +x.

Velocidade angular

A velocidade do ponto B, bem como a velocidade de todos os pontos dentro do disco dependerá da taxa de mudança das suas posições angulares. Se o disco girar um ângulo dθ = 25o no sentido anti-horário num intervalo de tempo dt =1 seg, os pontos B, C e todos os pontos dentro do disco girarão a mesma quantidade no mesmo intervalo de tempo, figura c).

A velocidade angular é definida como a taxa de mudança da posição angular e é anotada pela letra ω:

> > > Unidades: = rad.s-1

Aceleração angular

A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular.

> > Unidades: = rad.s-2

Direcção

Seramente especificar um eixo e a velocidade de rotação não é suficiente para descrever completamente o movimento de rotação. Também precisamos discutir a direção. Uma vez escolhido um eixo, as possíveis direcções de rotação foram reduzidas a duas possibilidades – o objecto pode rodar no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio ou no sentido dos ponteiros do relógio como visto de cima do plano (convencionalmente a partir de um local + z). Estas duas situações estão descritas nas figuras abaixo. É importante ter cuidado aqui, no entanto, pois o sentido de rotação no sentido anti-horário ou no sentido horário depende da posição do observador. Um disco que gira no sentido anti-horário quando visto de cima girará no sentido horário quando visto de baixo.

Como trabalhamos para uma descrição matemática da rotação, descreveremos a rotação em termos de um vetor. Acontece (como veremos) que uma convenção muito útil é atribuir os eixos de coordenadas +z para se situar ao longo do eixo de rotação e pensar nas duas possibilidades de rotação em sentido anti-horário e em sentido horário como rotações positivas e negativas sobre este eixo. Assim, o vector de velocidade angular correspondente à rotação do disco na situação mostrada nas figuras acima será:

Para a rotação anti-horária:

θ aumenta com o tempo,ω = dθ/dt > 0 então a velocidade angular aponta para o eixo +z.

Para a rotação no sentido horário:

θ diminui com o tempo,ω = dθ/dt < 0 depois a velocidade angular aponta para o eixo -z:

A regra da mão direita

Esta convenção é chamada de regra da direita. Para utilizá-la, enrole os dedos da sua mão direita. Alinhe sua mão com o objeto girando (neste caso, o disco) de modo que seguindo seus dedos desde os nós dos dedos até a ponta dos dedos dê a mesma rotação que o objeto experimenta. Seu polegar mostrará então a “direção” da rotação.

A regra da mão direita e (x,y,z)

Quando se utiliza uma coordenada cartesiana para descrever o movimento num plano, é importante utilizar um sistema de coordenadas de mão direita para que a definição de várias grandezas rotacionais seja definida em termos do produto vectorial. No exemplo acima, isto significa que se você colocar a mão direita de modo que os dedos estendidos coincidam com o eixo + x, então torça o pulso de modo que seus dedos se movam em direção ao eixo y enquanto você fecha a mão em um punho, o resultado será que seu polegar aponta ao longo de +z. Isto será consistente com a convenção usual para medir o ângulo começando com o eixo x e considerando um deslocamento angular no sentido anti-horário para ser positivo.

Desenhar um Sistema Rotativo

O ponto de vista deve estar alinhado com o eixo de rotação.

Ao desenhar um sistema rotativo é importante alinhar o seu ponto de vista com o eixo de rotação. Em outras palavras, você deve desenhar o sistema como se você estivesse olhando ao longo do eixo.

Representar os vectores que apontam directamente para si ou directamente para longe de si.

Porque desenhamos sistemas rotativos como se estivéssemos a olhar ao longo do eixo, é impossível desenhar uma seta a representar o eixo. O eixo linear parecerá um ponto do nosso ponto de vista. Por esta razão, existe uma convenção para desenhar uma flecha que aponta diretamente para o observador ou diretamente para longe dele. A convenção é que uma flecha apontando diretamente para o observador é desenhada como um ponto circulado. Uma flecha apontando diretamente para longe é desenhada como um “x” circulado.

Imaginando vectores alinhados com o observador: porta de cima e de baixo.

Imagem: Uma porta é mostrada juntamente com o eixo de rotação escolhido de várias perspectivas.

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