Os poderes curiosos de 1 + sqrt 2

Recentemente no mathstodon.xyz, Colin Wright postou o seguinte enigma:

Qual é o 99º dígito à direita do ponto decimal na expansão decimal de ?

O claro, é simples o suficiente usar um computador para encontrar a resposta; qualquer linguagem ou sistema de software que possa computar com números reais de precisão arbitrária pode encontrar a resposta correta em uma fração de segundo. Mas essa não é obviamente a questão! Podemos usar o raciocínio lógico para deduzir ou provar a resposta correta, sem fazer muitos cálculos? Mesmo que encontremos a resposta computacionalmente, podemos explicar porque é a resposta certa? A resolução deste puzzle levou-me para uma fascinante toca de coelho que gostaria de partilhar convosco no próximo post ou três ou oito.

Por agora vou deixar-vos pensar no puzzle. Embora usar um computador para simplesmente calcular a resposta seja trapaça, eu encorajo o uso de um computador ou calculadora para tentar exemplos menores e procurar por padrões. Não é muito difícil ver um padrão e conjeturar a resposta certa; a parte interessante, claro, é descobrir porque este padrão acontece, e provar que ele continua.