Apollonius din Perga

O elipsă (umbrită cu verde) a fost una dintre secțiunile conice studiate și denumite de Apollonius.

Apollonius din Perga (Pergaeus) (cca. 262 î.Hr. – cca. 190 î.Hr.) a fost un geometru și astronom grec din școala alexandrină, cunoscut pentru scrierile sale despre secțiunile conice. Metodologia și terminologia sa inovatoare, în special în domeniul secțiunilor conice, au influențat mulți savanți de mai târziu, inclusiv pe Ptolemeu, Francesco Maurolico, Isaac Newton și René Descartes.

O parabolă (umbrită cu verde) este o altă secțiune conică descrisă de Apollonius.

O hiperbolă (umbrită în verde) este o a treia secțiune conică studiată de Apollonius.

Apollonius a fost cel care a dat elipsei, parabolei și hiperbolei numele sub care sunt cunoscute în prezent. Ipotezele orbitelor excentrice, sau deferent și epiciclurile, pentru a explica mișcarea aparentă a planetelor și viteza variabilă a Lunii, îi sunt, de asemenea, atribuite. Teorema lui Apollonius demonstrează că două modele pot fi echivalente, având în vedere parametrii potriviți. Ptolemeu descrie această teoremă în Almagestul 12.1. Apollonius a cercetat, de asemenea, teoria lunară, pe care a numit-o Epsilon (ε). Craterul Apollonius de pe Lună a fost numit în onoarea sa.

Viața și opera majoră

Apollonius s-a născut în jurul anului 262 î.e.n., la aproximativ 25 de ani după Arhimede. A înflorit sub domniile lui Ptolemeu Euergetes și Ptolemeu Filopator (247-205 î.Hr.). Tratatul său despre conice i-a adus numele de „Marele Geometru”, o realizare care i-a asigurat faima.

Dintre toate tratatele sale, doar Conicele a supraviețuit. Despre celelalte, istoricii au titlurile și unele indicații despre conținutul lor datorită scriitorilor de mai târziu, în special lui Pappus. După prima ediție a celor opt cărți Conics, Apollonius a scos o a doua ediție la sugestia lui Eudemus din Pergamum. Pe măsură ce a revizuit fiecare dintre primele trei cărți, Apollonius i-a trimis lui Eudemus o copie; cele mai considerabile modificări au apărut în primele două cărți. Eudemus a murit înainte de finalizarea restului revizuirii, așa că Apollonius a dedicat ultimele cinci cărți regelui Attalus I (241-197 î.Hr.). Doar patru cărți au supraviețuit în limba greacă; alte trei există în arabă; cea de-a opta nu a fost descoperită niciodată.

Deși a fost găsit un fragment dintr-o traducere latină din arabă din secolul al XIII-lea, abia în 1661, Giovanni Alfonso Borelli și Abraham Ecchellensis au realizat o traducere a Cărților 5-7 în latină. Deși au folosit versiunea arabă a lui Abu ‘l-Fath din Ispahan din 983, care a fost păstrată într-un manuscris florentin, majoritatea cercetătorilor sunt acum de acord că cele mai bune interpretări arabe sunt cele ale lui Hilal ibn Abi Hilal pentru Cărțile 1-4 și ale lui Thabit ibn Qurra pentru Cărțile 5-7.

Apollonius a fost preocupat de matematică pură. Când a fost întrebat despre utilitatea unora dintre teoremele sale din Cartea 4 a Conicelor, el a afirmat cu mândrie că „ele sunt demne de a fi acceptate de dragul demonstrațiilor în sine, la fel cum acceptăm multe alte lucruri în matematică pentru acest lucru și nu pentru alt motiv”. Și pentru că multe dintre rezultatele sale nu erau aplicabile științei sau ingineriei din vremea sa, Apollonius a mai susținut în prefața celei de-a cincea cărți a Conicelor că „subiectul este unul dintre cele care par demne de a fi studiate de dragul lor.”

Conicele

Apollonius afirmă că, în Cărțile 1-4, el elaborează generarea curbelor și proprietățile lor fundamentale prezentate în Cartea 1 mai complet decât au făcut-o tratatele anterioare și că un număr de teoreme din Cartea 3 și cea mai mare parte a Cărții 4 sunt noi. Aluziile la lucrările predecesorilor, cum ar fi cele patru Cărți despre conice ale lui Euclid, arată o datorie nu numai față de Euclid, ci și față de Conon și Nicoteles.

Generalitatea tratării lui Apollonius este remarcabilă. El definește și numește secțiunile conice, parabola, elipsa și hiperbola. El vede fiecare dintre aceste curbe ca pe o proprietate conică fundamentală care este echivalentă cu o ecuație (numită mai târziu ecuația carteziană) aplicată axelor oblice – de exemplu, axele formate dintr-un diametru și tangenta la extremitatea sa – care se obțin prin tăierea unui con circular oblic. (Un con circular oblic este un con în care axa nu formează un unghi de 90 de grade cu axa directoare. În schimb, un con circular drept este unul în care axa formează un unghi de 90 de grade cu axa directoare). Modul în care este tăiat conul, afirmă el, nu contează. El arată că axele oblice sunt doar un caz particular, după ce demonstrează că proprietatea conică de bază poate fi exprimată în aceeași formă cu referire la orice nou diametru și la tangenta la extremitatea sa. Astfel, Cărțile 5-7 sunt în mod clar originale.

Geniul lui Apollonius atinge cele mai mari culmi în Cartea 5. Aici el tratează normalele matematice (o normală este o linie dreaptă trasată perpendicular pe o suprafață sau pe o altă linie dreaptă) ca linii drepte minime și maxime trasate din puncte date la curbă (independent de proprietățile tangentei); discută câte normale pot fi trasate din anumite puncte; găsește picioarele lor prin construcție; și oferă propoziții care determină centrul de curbură în orice punct și conduce, de asemenea, la ecuația carteziană a evoluției oricărei secțiuni conice.

În Conice, Apollonius a dezvoltat în continuare o metodă care este atât de asemănătoare cu geometria analitică încât lucrarea sa este uneori considerată ca anticipând lucrarea lui Descartes cu aproximativ 1800 de ani. Aplicarea de către el a liniilor de referință (cum ar fi un diametru și o tangentă) este în esență aceeași cu utilizarea noastră modernă a unui cadru de coordonate. Cu toate acestea, spre deosebire de geometria analitică modernă, el nu a luat în considerare mărimile negative. De asemenea, el a suprapus sistemul de coordonate pe fiecare curbă după ce aceasta a fost obținută. Astfel, el a derivat ecuațiile din curbe, dar nu a derivat curbele din ecuații.

Alte lucrări

Pappus menționează alte tratate ale lui Apollonius. Fiecare dintre acestea a fost împărțit în două cărți și – împreună cu Datele, Porismele și Societățile de suprafață ale lui Euclid și Conicele lui Apollonius – au fost, potrivit lui Pappus, incluse în corpul analizei antice.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Tăierea unui raport) a căutat să rezolve o anumită problemă: date două drepte și un punct în fiecare, trasați printr-un al treilea punct dat o dreaptă care să taie cele două drepte fixe astfel încât părțile interceptate între punctele date în ele și punctele de intersecție cu această a treia dreaptă să aibă un raport dat.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Tăierea unei suprafețe) a discutat o problemă similară care cere ca dreptunghiul conținut de cele două intersecții să fie egal cu un dreptunghi dat.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Secțiunea Determinată) tratează probleme într-o manieră care poate fi numită geometrie analitică de o dimensiune; cu problema găsirii punctelor de pe o dreaptă care se aflau într-un raport cu celelalte. Problemele specifice sunt: Date două, trei sau patru puncte de pe o dreaptă, găsiți un alt punct de pe aceasta astfel încât distanțele sale față de punctele date să satisfacă condiția ca pătratul de pe unul dintre ele sau dreptunghiul conținut de două să aibă un raport dat fie, (1) față de pătratul de pe celălalt, fie față de dreptunghiul conținut de celelalte două, fie, (2) față de dreptunghiul conținut de celălalt și de o altă dreaptă dată.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangențe) a îmbrățișat următoarea problemă generală: Date trei lucruri (puncte, linii drepte sau cercuri) în poziție, descrieți un cerc care trece prin punctele date și atinge liniile drepte sau cercurile date. Cazul cel mai dificil și cel mai interesant din punct de vedere istoric apare atunci când cele trei lucruri date sunt cercuri. În secolul al XVI-lea, Vieta a prezentat această problemă (cunoscută uneori sub numele de Problema Apolloniană) lui Adrianus Romanus, care a rezolvat-o cu ajutorul unei hiperbole. Vieta a propus apoi o soluție mai simplă, ceea ce l-a determinat în cele din urmă să redea întregul tratat al lui Apollonius în mica lucrare Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

Obiectul lucrării De Inclinationibus (Înclinații) a fost de a demonstra cum o linie dreaptă de o lungime dată, care tinde spre un punct dat, poate fi inserată între două linii date (drepte sau circulare).

De Locis Planis

De Locis Planis (Loci plane) este o colecție de propoziții referitoare la loci care sunt fie linii drepte, fie cercuri.

Legat

Cunoscut ca „Marele geometru”, lucrările lui Apollonius au influențat foarte mult dezvoltarea matematicii. Celebra sa carte, Conics, a introdus termenii de parabolă, elipsă și hiperbolă. El a conceput ipoteza orbitelor excentrice pentru a explica mișcarea aparentă a planetelor și viteza variabilă a Lunii. O altă contribuție în domeniul matematicii este teorema lui Apollonius, care demonstrează că două modele pot fi echivalente, având în vedere parametrii potriviți.

Note

• Boyer, Carl B. O istorie a matematicii. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. și Sabetai Unguru. Conica lui Apollonius din Perga: Text, Context, Subtext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

Toate linkurile recuperate la 8 aprilie 2016.

• Apollonius of Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius’ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• PDF scans of Heiberg’s edition of Apollonius of Perga’s Conic Sections (public domain). www.wilbourhall.org.