Ben Green (matematician)
Majoritatea cercetărilor lui Green se desfășoară în domeniile teoriei analitice a numerelor și combinatoricii aditive, dar are rezultate și în analiza armonică și în teoria grupurilor. Cea mai cunoscută teoremă a sa, demonstrată împreună cu colaboratorul său frecvent Terence Tao, afirmă că există progresii aritmetice arbitrar de lungi în numerele prime: aceasta este cunoscută acum sub numele de teorema Green-Tao.
Printre primele rezultate ale lui Green în combinatorica aditivă se numără o îmbunătățire a unui rezultat al lui Jean Bourgain privind mărimea progresiilor aritmetice în ansambluri de sume, precum și o demonstrație a conjecturei Cameron-Erdős privind ansamblurile fără sumă de numere naturale. De asemenea, a demonstrat o lemă de regularitate aritmetică pentru funcțiile definite pe primele N {\displaystyle N} numere naturale, oarecum analogă cu lema de regularitate Szemerédi pentru grafuri.
În perioada 2004-2010, în cadrul unei lucrări comune cu Terence Tao și Tamar Ziegler, a dezvoltat așa-numita analiză Fourier de ordin superior. Această teorie pune în legătură normele Gowers cu obiecte cunoscute sub numele de nilsequence. Teoria își trage numele de la aceste nil-secvențe, care joacă un rol analog cu rolul pe care îl joacă caracterele în analiza Fourier clasică. Green și Tao au folosit analiza Fourier de ordin superior pentru a prezenta o nouă metodă de numărare a numărului de soluții la ecuații simultane în anumite seturi de numere întregi, inclusiv în cele prime. Aceasta generalizează abordarea clasică folosind metoda cercului Hardy–Littlewood. Multe aspecte ale acestei teorii, inclusiv aspectele cantitative ale teoremei inverse pentru normele lui Gowers, fac încă obiectul unor cercetări în curs de desfășurare.
Green a colaborat, de asemenea, cu Emmanuel Breuillard pe teme din teoria grupurilor. În special, împreună cu Terence Tao, au demonstrat o teoremă de structură pentru grupuri aproximative, generalizând teorema Freiman-Ruzsa pe seturi de numere întregi cu dublare mică. Green are, de asemenea, o lucrare, în comun cu Kevin Ford și Sean Eberhard, asupra teoriei grupului simetric, în special asupra proporției de elemente ale acestuia care fixează un set de dimensiune k {\displaystyle k} .
Green și Tao au, de asemenea, o lucrare asupra geometriei combinatorii algebrice, rezolvând conjectura Dirac-Motzkin (vezi teorema Sylvester-Gallai). În special, ei demonstrează că, dată fiind orice colecție de n {\displaystyle n} puncte din plan care nu sunt toate coliniare, dacă n {\displaystyle n} este suficient de mare, atunci trebuie să existe cel puțin n / 2 {\displaystyle n/2} linii în plan care conțin exact două dintre puncte.
Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard și Terence Tao, inițial în două grupuri de cercetare separate și apoi în combinație, au îmbunătățit limita inferioară pentru mărimea celui mai lung decalaj dintre două numere prime consecutive de dimensiune cel mult X {\displaystyle X} . Forma celei mai cunoscute limite anterioare, datorată în esență lui Rankin, nu mai fusese îmbunătățită de 76 de ani.
Mai recent, Green a luat în considerare întrebări din teoria aritmetică Ramsey. Împreună cu Tom Sanders a demonstrat că, dacă un câmp finit suficient de mare de ordin prim este colorat cu un număr fix de culori, atunci câmpul are elemente x , y {\displaystyle x,y} astfel încât x , y , x + y , x y , x y {\displaystyle x,y,x{+}y,xy} au toate aceeași culoare.
Green a fost, de asemenea, implicat în noile dezvoltări ale lui Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt privind aplicarea unei metode polinomiale pentru a delimita dimensiunea subansamblurilor unui spațiu vectorial finit fără soluții la ecuații liniare. El a adaptat aceste metode pentru a demonstra, în câmpuri de funcții, o versiune puternică a teoremei lui Sárközy.
.