Brahmagupta

AlgebraEdit

Brahmagupta a dat soluția ecuației liniare generale în capitolul optsprezece din Brahmasphutasiddhānta,

Diferența dintre rupe, atunci când este inversată și împărțită la diferența dintre cele două necunoscute, este necunoscuta din ecuație. Rupas este sub cea din care urmează să se scadă pătratul și necunoscuta.

care este o soluție pentru ecuația bx + c = dx + e, unde rupas se referă la constantele c și e. Soluția dată este echivalentă cu x = x = e – c – c/b – d. El a dat, de asemenea, două soluții echivalente pentru ecuația pătratică generală

18.44. Diminuează cu mijlocul rădăcina pătrată a ruptelor înmulțită cu de patru ori pătratul și mărită cu pătratul mijlocului ; împarte restul cu de două ori pătratul. mijlocului .
18.45. Oricare ar fi rădăcina pătrată a rupas înmulțită cu pătratul mărit cu pătratul a jumătate din necunoscută, se diminuează cu jumătate din necunoscută se împarte cu pătratul ei. necunoscută.

care sunt, respectiv, soluții pentru ecuația ax2 + bx = c echivalente cu,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}}-b}}{2a}}}}.

și

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}}{a}}

A continuat să rezolve sisteme de ecuații nedeterminate simultane afirmând că variabila dorită trebuie mai întâi izolată, iar apoi ecuația trebuie împărțită cu coeficientul variabilei dorite. În special, el a recomandat utilizarea „pulverizatorului” pentru a rezolva ecuații cu mai multe necunoscute.

18.51. Scădeți culorile diferite de prima culoare. împărțită la prima este măsura primei. doi la doi considerați divizori asemănători, în mod repetat. Dacă sunt mulți , pulverizatorul .

Ca și algebra lui Diophantus, algebra lui Brahmagupta era sincopată. Adăugarea era indicată prin așezarea numerelor una lângă alta, scăderea prin plasarea unui punct deasupra subtragerii, iar împărțirea prin plasarea divizorului sub dividend, similar cu notația noastră, dar fără bară. Înmulțirea, evoluția și cantitățile necunoscute erau reprezentate prin abrevieri ale termenilor corespunzători. Gradul de influență grecească asupra acestei sincope, dacă a existat, nu este cunoscut și este posibil ca atât sincopa grecească, cât și cea indiană să fie derivate dintr-o sursă babiloniană comună.

AritmeticăEdit

Cele patru operații fundamentale (adunare, scădere, înmulțire și împărțire) erau cunoscute de multe culturi înainte de Brahmagupta. Acest sistem actual se bazează pe sistemul numeric arab hindus și a apărut pentru prima dată în Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta descrie înmulțirea astfel: „Multiplicandul este repetat ca o sfoară pentru vite, de câte ori există porțiuni de integrant în multiplicator și este înmulțit în mod repetat cu ele, iar produsele sunt adunate. Aceasta este înmulțirea. Sau multiplicandul se repetă de atâtea ori câte părți componente există în multiplicator”. Aritmetica indiană era cunoscută în Europa medievală sub numele de „Modus Indorum”, ceea ce înseamnă metoda indienilor. În Brahmasphutasiddhanta, înmulțirea era numită Gomutrika. La începutul capitolului al doisprezecelea din Brahmasphutasiddhānta sa, intitulat Calculul, Brahmagupta detaliază operațiile asupra fracțiilor. Se așteaptă ca cititorul să cunoască operațiile aritmetice de bază în ceea ce privește luarea rădăcinii pătrate, deși el explică cum să găsească cubul și rădăcina cubică a unui număr întreg și, mai târziu, oferă reguli care facilitează calculul pătratelor și al rădăcinilor pătrate. El oferă apoi reguli pentru tratarea a cinci tipuri de combinații de fracții: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; și a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SeriesEdit

Brahmagupta continuă apoi să dea suma pătratelor și cuburilor primelor n numere întregi.

12.20. Suma pătratelor este cea înmulțită cu de două ori pasul mărit cu unu împărțit la trei. Suma cuburilor este pătratul acelui Pile din acestea cu bile identice .

Aici Brahmagupta a găsit rezultatul în termenii sumei primelor n numere întregi, mai degrabă decât în termenii lui n, așa cum este practica modernă.

El dă suma pătratelor primelor n numere naturale ca n(n + 1)(2n + 1)/6 și suma cuburilor primelor n numere naturale ca (n(n + 1)/2)2
.

ZeroEdit

Brahmagupta’s Brahmasphuṭasiddhānta a lui Brahmasphuṭasiddhānta este prima carte care oferă reguli pentru manipulări aritmetice care se aplică la zero și la numerele negative. Brahmasphutasiddhānta este primul text cunoscut care tratează zero ca pe un număr de sine stătător, mai degrabă decât ca o simplă cifră de rezervă în reprezentarea unui alt număr, așa cum făceau babilonienii, sau ca un simbol al lipsei de cantitate, așa cum făceau Ptolemeu și romanii. În capitolul optsprezece din lucrarea sa Brahmasphutasiddhānta, Brahmagupta descrie operațiile asupra numerelor negative. El descrie mai întâi adunarea și scăderea,

18.30. a două pozitive este pozitivă, a două negative este negativă; a unui pozitiv și a unui negativ este diferența lor; dacă acestea sunt egale este zero. Suma unui negativ și a unui zero este negativă, a unui pozitiv și a unui zero pozitivă, a două zerouri zero.

18.32. Un negativ minus zero este negativ, un pozitiv pozitiv; zero este zero. Când un pozitiv trebuie să fie sustras dintr-un negativ sau un negativ dintr-un pozitiv, atunci trebuie să fie adunat.

În continuare, el descrie înmulțirea,

18.33. Produsul dintre un negativ și un pozitiv este negativ, dintre două negative este pozitiv, iar dintre pozitive este pozitiv; produsul dintre zero și un negativ, dintre zero și un pozitiv sau dintre două zerouri este zero.

Dar descrierea sa a împărțirii cu zero diferă de înțelegerea noastră modernă:

18.34. Un pozitiv împărțit la un pozitiv sau un negativ împărțit la un negativ este pozitiv; un zero împărțit la un zero este zero; un pozitiv împărțit la un negativ este negativ; un negativ împărțit la un pozitiv este negativ.
18.35. Un negativ sau un pozitiv împărțit la zero îl are ca divizor, sau zero împărțit la un negativ sau la un pozitiv . Pătratul unui negativ sau al unui pozitiv este pozitiv; al lui zero este zero. Ceea ce este pătrat este rădăcină pătrată.

Aici Brahmagupta afirmă că 0/0 = 0 și în ceea ce privește întrebarea a/0 unde a ≠ 0 el nu s-a angajat. Regulile sale de aritmetică privind numerele negative și zero sunt destul de apropiate de înțelegerea modernă, cu excepția faptului că în matematica modernă diviziunea cu zero este lăsată nedefinită.

Analiză diofantinăEdit

Triplete pitagoreiceEdit

În capitolul al doisprezecelea din lucrarea sa Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta oferă o formulă utilă pentru a genera triplete pitagoreice:

12.39. Înălțimea unui munte înmulțită cu un multiplicator dat reprezintă distanța până la un oraș; ea nu se șterge. Când este împărțită la multiplicatorul mărit cu doi, este saltul unuia dintre cei doi care fac același drum.

Orice, cu alte cuvinte, dacă d = mx/x + 2, atunci un călător care „sare” pe verticală o distanță d din vârful unui munte de înălțime m și apoi călătorește în linie dreaptă până la un oraș aflat la o distanță orizontală mx de la baza muntelui, parcurge aceeași distanță ca și unul care coboară pe verticală pe munte și apoi călătorește pe orizontală până la oraș. Exprimat geometric, acest lucru spune că, dacă un triunghi dreptunghic are baza de lungime a = mx și altitudinea de lungime b = m + d, atunci lungimea, c, a ipotenuzei sale este dată de c = m(1 + x) – d. Și, într-adevăr, manipularea algebrică elementară arată că a2 + b2 = c2 ori de câte ori d are valoarea indicată. De asemenea, dacă m și x sunt raționale, la fel sunt d, a, b și c. Prin urmare, o triplă pitagoreică poate fi obținută din a, b și c prin înmulțirea fiecăruia dintre ele cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor lor.

Ecuația lui PellEdit

Brahmagupta a continuat să ofere o relație de recurență pentru generarea soluțiilor la anumite cazuri de ecuații diofantine de gradul al doilea, cum ar fi Nx2 + 1 = y2 (numită ecuația lui Pell), folosind algoritmul euclidian. Algoritmul euclidian îi era cunoscut sub numele de „pulverizatorul”, deoarece descompune numerele în bucăți din ce în ce mai mici.

Natura pătratelor:
18.64. de două ori rădăcina pătrată a unui pătrat dat cu un multiplicator și mărit sau micșorat cu un număr arbitrar . Produsul primului , înmulțit cu multiplicatorul, cu produsul celui dintâi , este ultimul calculat.
18.65. Suma produselor trăsăturilor este primul. Aditivul este egal cu produsul aditivilor. Cele două rădăcini pătrate, împărțite cu aditivul sau cu substratul, sunt ruptele aditivului.

Cheia soluției sale a fost identitatea,

( x 1 2 – N y 1 2 2 ) ( x 2 2 2 – N y 2 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

care este o generalizare a unei identități care a fost descoperită de Diophantus,

( x 1 2 – y 1 2 2 ) ( x 2 2 2 – y 2 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Utilizându-și identitatea și faptul că dacă (x1, y1) și (x2, y2) sunt soluții ale ecuațiilor x2 – Ny2 = k1 și, respectiv, x2 – Ny2 = k2, atunci (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y1) este o soluție a lui x2 – Ny2 = k1k2, el a reușit să găsească soluții integrale ale ecuației lui Pell printr-o serie de ecuații de forma x2 – Ny2 = ki. Brahmagupta nu a reușit să aplice soluția sa în mod uniform pentru toate valorile posibile ale lui N, ci a reușit doar să demonstreze că, dacă x2 – Ny2 = k are o soluție întreagă pentru k = ±1, ±2 sau ±4, atunci x2 – Ny2 = 1 are o soluție. Soluția ecuației generale a lui Pell va trebui să aștepte până la Bhaskara II în jurul anului 1150 d.Hr.

GeometrieEdit

Formula lui BrahmaguptaEdit

Cel mai faimos rezultat al lui Brahmagupta în geometrie este formula sa pentru cvadrilateralele ciclice. Date fiind lungimile laturilor oricărui cuadrilater ciclic, Brahmagupta a dat o formulă aproximativă și una exactă pentru aria figurii,

12,21. Aria aproximativă este produsul dintre jumătățile sumelor laturilor și laturilor opuse ale unui triunghi și ale unui cuadrilater. Aria exactă este rădăcina pătrată din produsul jumătăților sumelor jumătăților laturilor micșorate cu câte un lat al cvadrilaterului.

Atunci, date fiind lungimile p, q, r și s ale unui cvadrilater ciclic, aria aproximativă este p + r/2 – q + s/2, în timp ce, lăsând t = p + q + r + s/2, aria exactă este

√(t – p)(t – q)(t – r)(t – s)(t – s).

Deși Brahmagupta nu afirmă în mod explicit că aceste cvadrilaterale sunt ciclice, din regulile sale reiese că acesta este cazul. Formula lui Heron este un caz special al acestei formule și poate fi derivată prin stabilirea uneia dintre laturi ca fiind egală cu zero.

TriunghiuriEdit

Brahmagupta a dedicat o parte substanțială din opera sa geometriei. Una dintre teoreme oferă lungimile celor două segmente în care este împărțită baza unui triunghi prin altitudinea acestuia:

12,22. Baza a scăzut și a crescut prin diferența dintre pătratele laturilor împărțite la bază; atunci când sunt împărțite la doi, ele sunt segmentele adevărate. Perpendiculara este rădăcina pătrată din pătratul unei laturi micșorată cu pătratul segmentului său.

Atunci lungimile celor două segmente sunt 1/2(b ± c2 – a2/b).

În continuare dă o teoremă despre triunghiurile raționale. Un triunghi cu laturile raționale a, b, c și aria rațională este de forma:

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {\displaystyle a={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{v}}+v\right),\ \ \ b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\ \ c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}}{w}}}-w\right)}

pentru anumite numere raționale u, v și w.

Teorema lui BrahmaguptaEdit

Brahmagupta continuă,

12.23. Rădăcina pătrată a sumei celor doi produși ai laturilor și laturilor opuse ale unui cuadrilater neuniform este diagonala. Pătratul diagonalei se micșorează cu pătratul a jumătate din suma bazei și vârfului; rădăcina pătrată este perpendiculara .

Atunci, într-un cvadrilateral ciclic „neegal” (adică un trapez isoscel), lungimea fiecărei diagonale este √pr + qs.

El continuă să dea formule pentru lungimile și ariile figurilor geometrice, cum ar fi circumradiul unui trapez isoscel și al unui cvadrilateral scalen, precum și lungimile diagonalelor într-un cvadrilateral ciclic scalen. Acest lucru duce până la celebra teoremă a lui Brahmagupta,

12.30-31. Imaginând două triunghiuri interioare cu laturile inegale, cele două diagonale sunt cele două baze. Cele două segmente ale lor sunt separat segmentele superior și inferior de la intersecția diagonalelor. Cele două dintre cele două diagonale sunt două laturi ale unui triunghi; baza . Perpendicula sa este porțiunea inferioară a perpendicularei; porțiunea superioară a perpendicularei este jumătatea sumei perpendicularelor diminuată cu cea inferioară .

PiEdit

În versetul 40, el dă valorile lui π,

12.40. Diametrul și pătratul razei înmulțit cu 3 sunt circumferința practică și aria . Precizările sunt rădăcinile pătrate din pătratele celor două înmulțite cu zece.

Atunci Brahmagupta folosește 3 ca valoare „practică” a lui π, iar 10 ≈ 3,1622 … {\displaystyle {\sqrt {10}}}aprox 3,1622\ldots }

ca valoare „exactă” a lui π. Eroarea acestei valori „exacte” este mai mică de 1%.

Măsurători și construcțiiEdit

În unele dintre versetele dinaintea versetului 40, Brahmagupta dă construcții ale diferitelor figuri cu laturi arbitrare. În esență, el a manipulat triunghiurile dreptunghice pentru a produce triunghiuri isoscele, triunghiuri scalene, dreptunghiuri, trapezuri isoscele, trapezuri isoscele cu trei laturi egale și un cvadrilateral ciclic scalen.

După ce dă valoarea lui pi, el se ocupă de geometria figurilor plane și a solidelor, cum ar fi găsirea volumelor și a suprafețelor (sau a spațiilor goale săpate în solide). El găsește volumul prismelor dreptunghiulare, al piramidelor și al troncului unei piramide pătrate. De asemenea, el găsește adâncimea medie a unei serii de gropi. Pentru volumul unui frustum de piramidă, el dă ca valoare „pragmatică” adâncimea înmulțită cu pătratul mediei marginilor fețelor de sus și de jos și dă ca volum „superficial” adâncimea înmulțită cu aria medie a acestora.

TrigonometrieEdit

Tabel sinusoidalEdit

În capitolul 2 al lucrării sale Brahmasphutasiddhanta, intitulat Longitudini planetare adevărate, Brahmagupta prezintă un tabel sinusoidal:

2.2-5. Sinusurile: Progenitorii, gemeni; Ursa Major, gemeni, Vedele; zeii, focuri, șase; arome, zaruri, zeii; luna, cinci, cerul, luna; luna, săgeți, sori

Aici Brahmagupta folosește nume de obiecte pentru a reprezenta cifrele numerelor cu valoare locativă, așa cum era obișnuit cu datele numerice în tratatele sanscrite. Progenitorii reprezintă cei 14 progenitori („Manu”) din cosmologia indiană sau 14, „gemeni” înseamnă 2, „Ursa Major” reprezintă cele șapte stele din Ursa Major sau 7, „Vedas” se referă la cele 4 Vedas sau 4, zarurile reprezintă numărul de fețe ale zarului tradițional sau 6, și așa mai departe. Aceste informații pot fi traduse în lista de sinusuri, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 și 3270, raza fiind 3270.

Formula de interpolareEdit

În 665 Brahmagupta a conceput și a folosit un caz special al formulei de interpolare Newton-Stirling de ordinul al doilea pentru a interpola noi valori ale funcției sinus din alte valori deja tabelate. Formula oferă o estimare a valorii unei funcții f la o valoare a + xh a argumentului său (cu h > 0 și -1 ≤ x ≤ 1) atunci când valoarea sa este deja cunoscută la a – h, a și a + h.

Formula pentru estimare este:

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! . {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}}.}.