Curioasele puteri ale lui 1 + sqrt 2

Recent pe mathstodon.xyz, Colin Wright a postat următoarea enigmă:

Care este a 99-a cifră din dreapta punctului zecimal în expansiunea zecimală a lui ?

Desigur, este destul de simplu să folosești un calculator pentru a găsi răspunsul; orice limbaj sau sistem software care poate calcula cu numere reale de precizie arbitrară poate găsi răspunsul corect într-o fracțiune de secundă. Dar, evident, nu acesta este scopul! Putem folosi raționamentul logic pentru a deduce sau a dovedi răspunsul corect, fără a face o mulțime de calcule? Chiar dacă găsim răspunsul prin calcul, putem explica de ce acesta este răspunsul corect? Rezolvarea acestei enigme m-a dus într-o gaură de iepure fascinantă pe care aș dori să o împărtășesc cu voi în următoarea postare sau trei sau opt.

Pentru moment vă voi lăsa să vă gândiți la enigmă. Deși folosirea unui calculator pentru a calcula pur și simplu răspunsul este o trișare, încurajez folosirea unui calculator sau a unui calculator pentru a încerca exemple mai mici și pentru a căuta modele. Nu este prea greu să vedeți un tipar și să conjecturați răspunsul corect; partea interesantă, desigur, este să vă dați seama de ce se întâmplă acest tipar și să dovediți că el continuă.

.