Geometrie analitică

Geometrie analitică elementară

Apollonius din Perga (c. 262-190 î.Hr.), cunoscut de contemporanii săi ca „Marele Geometru”, a prefigurat dezvoltarea geometriei analitice cu peste 1800 de ani prin cartea sa Conics. El a definit o conică drept intersecția dintre un con și un plan (a se vedea figura). Utilizând rezultatele lui Euclid cu privire la triunghiurile similare și la secantele cercurilor, a găsit o relație satisfăcută de distanțele de la orice punct P al unei conice la două linii perpendiculare, axa majoră a conicei și tangenta la un punct final al axei. Aceste distanțe corespund coordonatelor lui P, iar relația dintre aceste coordonate corespunde unei ecuații pătratice a conicei. Apollonius a folosit această relație pentru a deduce proprietățile fundamentale ale conicelor. Vezi secțiunea conică.

Dezvoltarea ulterioară a sistemelor de coordonate (vezi figura) în matematică a apărut abia după ce algebra s-a maturizat sub conducerea matematicienilor islamici și indieni. (Vezi matematică: Lumea islamică (secolele VIII-XV) și Matematică, Asia de Sud). La sfârșitul secolului al XVI-lea, matematicianul francez François Viète a introdus prima notație algebrică sistematică, folosind litere pentru a reprezenta cantități numerice cunoscute și necunoscute, și a dezvoltat metode generale puternice pentru a lucra cu expresii algebrice și a rezolva ecuații algebrice. Cu puterea notației algebrice, matematicienii nu mai erau complet dependenți de figurile geometrice și de intuiția geometrică pentru a rezolva problemele. Cei mai îndrăzneți au început să lase în urmă modul standard de gândire geometrică, în care variabilele liniare (prima putere) corespundeau lungimilor, pătratele (a doua putere) ariilor și cuburile (a treia putere) volumelor, puterile superioare fiind lipsite de interpretare „fizică”. Doi francezi, matematicianul-filozof René Descartes și avocatul-matematician Pierre de Fermat, au fost printre primii care au făcut acest pas îndrăzneț.

Descartes și Fermat au fondat independent geometria analitică în anii 1630 prin adaptarea algebrei lui Viète la studiul locurilor geometrice. Ei au depășit în mod decisiv pe Viète prin utilizarea literelor pentru a reprezenta distanțe care sunt variabile în loc de fixe. Descartes a folosit ecuații pentru a studia curbele definite geometric și a subliniat necesitatea de a lua în considerare curbele algebrice generale – grafice de ecuații polinomiale în x și y de toate gradele. El și-a demonstrat metoda pe o problemă clasică: găsirea tuturor punctelor P astfel încât produsul distanțelor de la P la anumite drepte să fie egal cu produsul distanțelor la alte drepte. A se vedea geometrie: Geometria carteziană.

Fermat a subliniat că orice relație între coordonatele x și y determină o curbă (vezi figura). Folosind această idee, el a reformulat argumentele lui Apollonius în termeni algebrici și a refăcut opera pierdută. Fermat a indicat că orice ecuație pătratică în x și y poate fi pusă în forma standard a uneia dintre secțiunile conice.

Fermat nu și-a publicat lucrarea, iar Descartes a făcut-o în mod deliberat greu de citit pentru a descuraja „băgătorii de seamă”. Ideile lor au căpătat o acceptare generală doar prin eforturile altor matematicieni în a doua jumătate a secolului al XVII-lea. În special, matematicianul olandez Frans van Schooten a tradus scrierile lui Descartes din franceză în latină. El a adăugat materiale explicative esențiale, la fel ca și avocatul francez Florimond de Beaune și matematicianul olandez Johan de Witt. În Anglia, matematicianul John Wallis a popularizat geometria analitică, folosind ecuații pentru a defini conicele și a deriva proprietățile acestora. El a folosit liber coordonatele negative, deși Isaac Newton a fost cel care a folosit fără echivoc două axe (oblice) pentru a împărți planul în patru cadrane, așa cum se arată în figură.

Geometria analitică a avut cel mai mare impact asupra matematicii prin intermediul calculului. Fără a avea acces la puterea geometriei analitice, matematicienii greci clasici, cum ar fi Arhimede (c. 285-212/211 î.Hr.), au rezolvat cazuri speciale ale problemelor de bază ale calculului: găsirea tangentelor și a punctelor extreme (calcul diferențial) și a lungimilor de arc, suprafețelor și volumelor (calcul integral). Matematicienii renascentiști au fost readuși la aceste probleme de necesitățile astronomiei, opticii, navigației, războiului și comerțului. Ei au căutat în mod natural să folosească puterea algebrei pentru a defini și analiza o gamă tot mai largă de curbe.

Fermat a dezvoltat un algoritm algebric pentru a găsi tangenta la o curbă algebrică într-un punct prin găsirea unei drepte care are o dublă intersecție cu curba în acel punct – în esență, inventând calculul diferențial. Descartes a introdus un algoritm similar, dar mai complicat, folosind un cerc. Fermat a calculat ariile de sub curbele y = axk pentru toate numerele raționale k ≠ -1 prin însumarea ariilor dreptunghiurilor înscrise și circumscrise. (Vezi epuizare, metoda epuizării.) Pentru restul secolului al XVII-lea, bazele calculului au fost continuate de mulți matematicieni, inclusiv francezul Gilles Personne de Roberval, italianul Bonaventura Cavalieri și britanicii James Gregory, John Wallis și Isaac Barrow.

Newton și germanul Gottfried Leibniz au revoluționat matematica la sfârșitul secolului al XVII-lea prin demonstrarea independentă a puterii calculului. Ambii bărbați au folosit coordonate pentru a dezvolta notații care au exprimat ideile calculului în deplină generalitate și au condus în mod natural la regulile de diferențiere și la teorema fundamentală a calculului (care face legătura între calculul diferențial și cel integral). Vezi analiză.

Newton a demonstrat importanța metodelor analitice în geometrie, în afară de rolul lor în calcul, când a afirmat că orice curbă cubică sau algebrică de gradul trei are una dintre cele patru ecuații standard,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, pentru axe de coordonate adecvate. Matematicianul scoțian James Stirling a demonstrat această afirmație în 1717, probabil cu ajutorul lui Newton. Newton a împărțit cubicele în 72 de specii, un total corectat ulterior la 78.

Newton a arătat, de asemenea, cum să exprime o curbă algebrică în apropierea originii în termenii seriei de puteri fracționare y = a1x1/k + a2x2/k + … pentru un număr întreg pozitiv k. Matematicienii au folosit de atunci această tehnică pentru a studia curbele algebrice de toate gradele.