Graficul Bode, marja de câștig și marja de fază (plus diagrame)

BY admin
|

Contenit

Ce este un grafic Bode

Un grafic Bode este un grafic utilizat în mod obișnuit în ingineria sistemelor de control pentru a determina stabilitatea unui sistem de control. Un grafic Bode cartografiază răspunsul în frecvență al sistemului prin intermediul a două grafice – graficul de magnitudine Bode (care exprimă magnitudinea în decibeli) și graficul de fază Bode (care exprimă defazajul în grade).

Ploșele Bode au fost introduse pentru prima dată în anii 1930 de Hendrik Wade Bode în timp ce lucra la Bell Labs în Statele Unite. Deși diagramele Bode oferă o metodă relativ simplă de a calcula stabilitatea sistemului, acestea nu pot gestiona funcțiile de transfer cu singularități în jumătatea dreaptă a planului (spre deosebire de criteriul de stabilitate Nyquist).

Marja de câștig și marja de fază afișate pe o diagramă Bode

Înțelegerea marjelor de câștig și a marjelor de fază sunt esențiale pentru înțelegerea diagramelor Bode. Acești termeni sunt definiți mai jos.

Marja de câștig

Cu cât marja de câștig (GM) este mai mare, cu atât mai mare este stabilitatea sistemului. Marja de câștig se referă la cantitatea de câștig, care poate fi crescută sau scăzută fără a face sistemul instabil. De obicei, este exprimată ca o mărime în dB.

De obicei, putem citi marja de câștig direct din graficul Bode (așa cum se arată în diagrama de mai sus). Acest lucru se face prin calcularea distanței verticale dintre curba de magnitudine (pe graficul de magnitudine Bode) și axa x la frecvența la care graficul de fază Bode = 180°. Acest punct este cunoscut sub numele de frecvența de încrucișare a fazelor.

Este important să realizăm că câștigul și marja de câștig nu sunt aceleași lucruri. De fapt, marja de câștig este negativul câștigului (în decibeli, dB). Acest lucru va avea sens atunci când ne vom uita la formula Marjei de câștig.

Formula Marjei de câștig

Formula Marjei de câștig (GM) poate fi exprimată astfel:

Unde G este câștigul. Aceasta este magnitudinea (în dB) așa cum se citește de pe axa verticală a graficului de magnitudine la frecvența de încrucișare a fazelor.

În exemplul nostru prezentat în graficul de mai sus, câștigul (G) este 20. Prin urmare, folosind formula noastră pentru marja de câștig, marja de câștig este egală cu 0 – 20 dB = -20 dB (instabil).

Marja de fază

Cu cât mai mare este marja de fază (PM), cu atât mai mare va fi stabilitatea sistemului. Marja de fază se referă la cantitatea de fază, care poate fi crescută sau scăzută fără a face sistemul instabil. De obicei, este exprimată ca o fază în grade.

De obicei, putem citi marja de fază direct din graficul Bode (așa cum se arată în diagrama de mai sus). Acest lucru se face prin calcularea distanței verticale dintre curba de fază (pe graficul de fază Bode) și axa x la frecvența la care graficul de magnitudine Bode = 0 dB. Acest punct este cunoscut sub numele de frecvența de încrucișare a câștigului.

Este important să realizăm că decalajul de fază și marja de fază nu sunt aceleași lucruri. Acest lucru va avea sens atunci când ne vom uita la formula marjei de fază.

Formula Marjei de fază

Formula pentru Marja de fază (PM) poate fi exprimată astfel:

Unde este decalajul de fază (un număr mai mic decât 0). Aceasta este faza așa cum este citită de pe axa verticală a graficului de fază la frecvența de încrucișare a câștigului.

Ca un alt exemplu, dacă câștigul în buclă deschisă al unui amplificator trece de 0 dB la o frecvență la care decalajul de fază este -120°, atunci decalajul de fază -120°. Prin urmare, marja de fază a acestui sistem de reacție este -120° – (-180°) = 60° (stabilă).

Stabilitatea diagramei Bode

Mai jos este o listă rezumată de criterii relevante pentru desenarea diagramelor Bode (și calcularea stabilității lor):

  1. Marja de câștig: Mai mare va fi marja de câștig mai mare va fi stabilitatea sistemului. Se referă la cantitatea de câștig, care poate fi crescută sau scăzută fără a face sistemul instabil. Se exprimă de obicei în dB.
  2. Marja de fază: Mai mare va fi marja de fază mai mare va fi stabilitatea sistemului. Se referă la faza care poate fi mărită sau micșorată fără a face sistemul instabil. Se exprimă de obicei în fază.
  3. Gain Crossover Frequency (Frecvența de încrucișare a câștigului): Se referă la frecvența la care curba de mărime taie axa zero dB în diagrama Bode.
  4. Frecvența de încrucișare a fazei: Se referă la frecvența la care curba de fază taie axa de 180o ori negativă în acest grafic.
  5. Corner Frequency: Frecvența la care cele două asimptote se taie sau se întâlnesc este cunoscută ca frecvență de rupere sau frecvență de colț.
  6. Frecvența de rezonanță: Valoarea frecvenței la care modulul lui G (jω) are o valoare de vârf este cunoscută sub numele de frecvență de rezonanță.
  7. Factori: Fiecare funcție de transfer în buclă {i.e. G(s) × H(s)} produsul a diverși factori cum ar fi termenul constant K, factorii integrali (jω), factorii de ordinul întâi ( 1 + jωT)(± n) unde n este un număr întreg, factorii de ordinul doi sau factorii pătratici.
  8. Pantă: Există o pantă corespunzătoare fiecărui factor, iar panta pentru fiecare factor este exprimată în dB pe decadă.
  9. Unghi: Fiecărui factor îi corespunde un unghi, iar unghiul pentru fiecare factor este exprimat în grade.

Există acum câteva rezultate pe care trebuie să le reținem pentru a trasa curba Bode. Aceste rezultate sunt scrise mai jos:

  • Termenul constant K: Acest factor are o pantă de zero dB pe decadă. Nu există o frecvență de colț care să corespundă acestui termen constant. Unghiul de fază asociat cu acest termen constant este, de asemenea, zero.
  • Factorul integral 1/(jω)n: Acest factor are o pantă de -20 × n (unde n este un număr întreg)dB pe decadă. Nu există o frecvență de colț care să corespundă acestui factor integral. Unghiul de fază asociat acestui factor integral este -90 × n. Aici n este de asemenea un număr întreg.
  • Factor de ordinul întâi 1/(1+jωT): Acest factor are o pantă de -20 dB pe decadă. Frecvența de colț corespunzătoare acestui factor este de 1/T radiani pe secundă. Unghiul de fază asociat cu acest prim factor este -tan- 1(ωT).
  • Factor de prim ordin (1+jωT): Acest factor are o pantă de 20 dB pe decadă. Frecvența de colț corespunzătoare acestui factor este de 1/T radiani pe secundă. Unghiul de fază asociat cu acest prim factor este tan- 1(ωT) .
  • Factor de ordinul al doilea sau factor pătratic : : Acest factor are o pantă de -40 dB pe decadă. Frecvența de colț corespunzătoare acestui factor este de ωn radiani pe secundă. Unghiul de fază asociat cu acest prim factor este

Cum se desenează diagrama Bode

Să ținem cont de toate punctele de mai sus, suntem capabili să desenăm o diagramă Bode pentru orice tip de sistem de control. Acum haideți să discutăm procedura de desenare a unui grafic Bode:

  1. Substituiți s = jω în funcția de transfer în buclă deschisă G(s) × H(s).
  2. Găsește frecvențele de colț corespunzătoare și tabelează-le.
  3. Acum ni se cere un grafic semi-log alege un interval de frecvență astfel încât graficul să înceapă cu frecvența care este mai mică decât cea mai mică frecvență de colț. Marcați frecvențele unghiulare pe axa x, marcați pantele pe partea stângă a axei y marcând o pantă zero în mijloc, iar pe partea dreaptă marcați unghiul de fază luând -180o în mijloc.
  4. Calculați factorul de câștig și tipul de ordin al sistemului.
  5. Calculați acum panta corespunzătoare fiecărui factor.

Pentru desenarea graficului magnitudinii Bode:

  • Marcați frecvența de colț pe hârtia grafică semilog.
  • Tabulați acești factori mișcându-vă de sus în jos în secvența dată.
    1. Termenul constant K.
    2. Factori integrali
    3. Factori de ordinul întâi
    4. Factori de ordinul întâi (1+jωT).
    5. Factor de ordinul al doilea sau factor pătratic:
  • Acum schițați dreapta cu ajutorul pantei corespunzătoare factorului dat. Modificați panta la fiecare frecvență de colț prin adăugarea pantei factorului următor. Veți obține graficul de amplitudine.
  • Calculați marja de câștig.

Pentru desenarea graficului de fază Bode:

  1. Calculați funcția de fază adăugând toate fazele factorilor.
  2. Substituiți diverse valori la funcția de mai sus pentru a afla faza în diferite puncte și trasați o curbă. Se va obține o curbă de fază.
  3. Calculați marja de fază.

Criteriul de stabilitate Bode

Condițiile de stabilitate sunt date mai jos:

  1. Pentru un sistem stabil: Ambele marje trebuie să fie pozitive sau marja de fază trebuie să fie mai mare decât marja de câștig.
  2. Pentru un Sistem Stabil Marginal: Ambele marje ar trebui să fie zero sau marja de fază ar trebui să fie egală cu marja de câștig.
  3. Pentru un sistem instabil: Dacă oricare dintre ele este negativă sau marja de fază ar trebui să fie mai mică decât marja de câștig.

Avantajele unei diagrame Bode

  1. Se bazează pe aproximarea asimptotică, care oferă o metodă simplă de a trasa curba logaritmică a mărimii.
  2. Înmulțirea diferitelor mărimi apare în funcția de transfer poate fi tratată ca o adunare, în timp ce împărțirea poate fi tratată ca o scădere, deoarece folosim o scară logaritmică.
  3. Doar cu ajutorul acestui grafic putem comenta direct stabilitatea sistemului fără a face calcule.
  4. Graficele Bode oferă stabilitate relativă în ceea ce privește marja de câștig și marja de fază.
  5. De asemenea, acoperă de la frecvențe joase până la cele înalte.