Grup abelian

BY admin

| noiembrie 24, 2021

Acest articol se referă la o definiție de bază în teoria grupurilor. Cu toate acestea, textul articolului poate conține materiale avansate.
VIDEO: Definiții construite pe această | Fapte despre acest lucru: (fapte strâns legate de grupul abelian, toate faptele legate de grupul abelian) | Articole de sondaj despre acest lucru | Articole de sondaj despre definiții construite pe acest lucru
VIEW RELATED: Analogii ale acesteia | Variații ale acesteia | Variante ale acesteia | Opuse ale acesteia |

Acest articol definește o proprietate a grupului care este pivotală (i.e., importantă) printre proprietățile de grup existente
Vezi o listă de proprietăți de grup pivotale | Vezi lista completă a proprietăților de grup

Istorie

Originea termenului

Termenul de grup abelian provine de la Niels Henrick Abel, un matematician care a lucrat cu grupuri chiar înainte de a fi stabilită teoria formală, pentru a demonstra nesoluționabilitatea quinticelor.

Cuvântul abelian începe de obicei cu un a mic.

wikinote: Unele conținuturi mai vechi de pe wiki folosesc A majuscul pentru Abelian. Încercăm să actualizăm acest conținut.

Definiție

Un grup abelian este un grup în care oricare două elemente se comută. În simboluri, un grup $G$ se numește abelian dacă pentru orice elemente $x$ și $y$ din $G$ , $xy = yx$ (aici $xy$ reprezintă produsul dintre $x$ și $y$ din $G$ ). Rețineți că $x,y$ se permite ca $x,y$ să fie egale, deși elementele egale se comută oricum, astfel încât ne putem restrânge atenția, dacă dorim, la elementele inegale.

Definiție completă

Un grup abelian este un ansamblu $G$ dotat cu o operație binară (infix) $+$ (numită operație de adunare sau operație de grup), un element identitate $0$ și o operație unară (prefix) $-$ , numită hartă inversă sau hartă de negație, care satisface următoarele:

Pentru orice $a,b,c \în G$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ . Această proprietate se numește asociativitate.
Pentru orice $a \în G$ , $a + 0 = 0 + a = a$ . $0$ joacă astfel rolul unui element aditiv de identitate sau element neutru.
Pentru orice $a \în G$ , $a + (-a) = (-a) + a = 0$ . Astfel, $-a$ este un element invers față de $a$ în raport cu $+$ .
Pentru orice $a,b \în G$ , $a + b = b + a$ . Această proprietate se numește comutativitate.

Formulări echivalente

Un grup $G$ se numește abelian dacă satisface următoarele condiții echivalente:

Centrul său $Z(G)$ este întregul grup.
Subgrupul său derivat $G' =$ este trivial.
(Alegeți un grup generator $S$ pentru $G$ ). Pentru orice elemente $a,b \în S$ , $ab = ba$ .
Subgrupul diagonal $\{ (g,g) \mid g \în G \}$ este un subgrup normal în interiorul lui $G \ ori G$ .

Notație

Când $G$ este un grup abelian, folosim în mod obișnuit notația și terminologia aditivă. Astfel, înmulțirea grupului se numește adunare, iar produsul a două elemente se numește sumă.

Operatorul infix $+$ este utilizat pentru înmulțirea grupului, astfel că suma a două elemente $a$ și $b$ se notează cu $a + b$ . Înmulțirea de grup se numește adunare, iar produsul a două elemente se numește sumă.
Elementul identitate se notează de obicei cu $0$ și se numește zero
Inversul unui element se numește inversul său negativ sau inversul aditiv. Inversul lui $a$ se notează $-a$
$a + a + a + \ldots + a$ făcut de $n$ ori se notează $na$ , (unde $n \în \mathbb{N}$ ) în timp ce $(-a) + (-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a)$ făcut de $n$ ori se notează $(-n)a$ .

Această convenție este urmată în mod obișnuit într-o situație în care avem de-a face cu grupul abelian $G$ în mod izolat, mai degrabă decât ca subgrup al unui grup eventual neabelian. Dacă lucrăm cu subgrupuri dintr-un grup neabelian, folosim de obicei notația multiplicativă chiar dacă subgrupul se întâmplă să fie abelian.

Exemple

VEZI: grupuri care satisfac această proprietate | grupuri care nu satisfac această proprietate
VEZI: Grupuri care satisfac această proprietate: Grupuri înrudite care satisfac această proprietate | Grupuri înrudite care nesatisfac proprietatea

Câteva exemple infinite

Grupul aditiv al numerelor întregi $\mathbb{Z}$ , grupul aditiv al numerelor raționale $\mathbb{Q}$ , grupul aditiv al numerelor reale $\mathbb{R}$ , grupul multiplicativ al numerelor raționale nenule $\mathbb{Q}^*$ și grupul multiplicativ al numerelor reale nenule $\mathbb{R}^*$ sunt câteva exemple de grupuri abeliene.

(Mai general, pentru orice câmp, grupul aditiv și grupul multiplicativ al elementelor nenule sunt grupuri abeliene).

Exemple finite

Grupurile ciclice sunt exemple bune de grupuri abeliene, unde grupul ciclic de ordinul $n$ este grupul de numere întregi modulo $n$ .

În plus, orice produs direct de grupuri ciclice este, de asemenea, un grup abelian. Mai mult, orice grup abelian finit generat se obține în acest fel. Aceasta este faimoasa teoremă de structură pentru grupurile abeliene finit generate.

Teorema de structură poate fi folosită pentru a genera o listă completă a grupurilor abeliene finite, așa cum este descrisă aici: Clasificarea grupurilor abeliene finite.

Nu sunt exemple

Nu orice grup este abelian. Cel mai mic grup neabelian este grupul simetric pe trei litere: grupul tuturor permutărilor pe trei litere, sub compunere. Faptul că este non-abelian se bazează pe faptul că ordinea în care se efectuează permutările contează.

Fapte

Occident ca subgrupuri

Care grup ciclic este abelian. Deoarece fiecare grup este generat de subgrupurile sale ciclice, fiecare grup este generat de o familie de subgrupuri abeliene. O întrebare mai delicată este: există subgrupuri normale abeliene? Un bun candidat pentru un subgrup normal abelian este centrul, care este colecția de elemente ale grupului care comută cu fiecare element al grupului.

Ocurența ca și cupluri

Cuplul abelian maxim al oricărui grup se numește abelianizarea sa, iar acesta este cuplul cu subgrupul derivat. Un subgrup este un subgrup abelian-cotitor (adică normal cu grup abelian cotitor) dacă și numai dacă subgrupul conține subgrupul derivat.

Metaproprietăți

Denumirea metaproprietății	Satisfăcută?	Demonstrație	Enunț cu simboluri
proprietatea grupului varietal	Da			Ansamblul grupurilor abeliene formează o subvariantă a varietății de grupuri. În particular, este închisă sub luare de subgrupuri, cuante, și produse directe arbitrare
proprietate de grup subgrup închis	Da	abelianitatea este subgrup închis	Dacă $G$ este un grup abelian și $H$ este un subgrup al lui $G$ , atunci $H$ este abelian.
Proprietatea de grup quotient-închis	Da	abelianitatea este quotient-închisă	Dacă $G$ este un grup abelian și $H$ este un subgrup normal al lui $G$ , grupul cotitor $G/H$ este abelian.
proprietatea de grup direct produs-închis	Da	abelianitatea este direct produs-închis	Să presupunem că $G_i, i \în I$ , sunt grupuri abeliene. Atunci, produsul direct extern $\prod_{i \în I} G_i$ este, de asemenea, abelian.

Relație cu alte proprietăți

Proprietăți mai puternice

Proprietate	Semnificație	Dovada implicării	Dovada stricteții (eșecul implicării inverse)	. Noțiuni intermediare	Comparație
grup ciclic	generat de un element	ciclic implică abelian	abelian nu implică ciclic (vezi și lista de exemple)	grup epabelian, Locally cyclic group, Residually cyclic group\|FULL LIST, MORE INFO
homocyclic group	direct product of isomorphic cyclic groups		(vezi și lista de exemple)		\|FULL LIST, MAI MULTE INFORMAȚII
grup ciclic rezidual	fiecare element neidentitar este în afara unui subgrup normal cu un grup cotitor ciclic		(vezi și lista de exemple)	\|FULL LIST, MAI MULTE INFORMAȚII
grup local ciclic	orice subgrup finit generat este ciclic		(vezi și lista de exemple)	grup epabelian\|FULL LIST, MORE INFO
grup epabelian	grup abelian al cărui pătrat exterior este grupul trivial		(vezi și lista de exemple)	\|FULL LIST, MORE INFO
grup abelian finit	abelian și un grup finit			(vezi și lista de exemple)		\|FULL LIST, MORE INFO
grup abelian finit generat	abelian și un grup finit generat		(vezi și lista de exemple)	Grup ciclic rezidual\|FULL LIST, MAI MULTE INFORMAȚII

Proprietăți mai slabe

Proprietate	Semnificație	Dovada implicației	. Demonstrație de strictețe (eșecul implicării inverse)	Noțiuni intermediare
grup nilpotent	seria centrală inferioară ajunge la identitate, seria centrală superioară atinge grupul întreg	abelian implică nilpotent	nilpotent nu implică abelian (vezi și lista de exemple)		Grup în care clasa este egală cu adâncimea maximă subnormală, Grupul de clasa a treia de nilpotență, Grupul de clasa a doua de nilpotență, Grupul de clasa a doua de nilpotență a cărui hartă de comutație este dublul unui bihomorfism alternativ care dă clasa a doua, Grupul UL-equivalent\|LISTA COMPLETĂ, MAI MULTE INFORMAȚII
grup solvabil	seria derivată atinge identitatea, are serii normale cu grupuri factoriale abeliene	abelian implică solvabil	solvabil nu implică abelian (vezi și lista de exemple)	grup metabelian, Metanilpotent group, Nilpotent group\|FULL LIST, MORE INFO
metabelian group	has abelian normal subgroup with abelian quotient group			(see also list of examples)	Group of nilpotency class two\|FULL LIST, MAI MULTE INFORMAȚII
grupul virtual abelian	are subgrup abelian de indice finit		(vezi și lista de exemple)	FZ-grup\|FULL LIST, MORE INFO
FZ-grup	centru are indice finit			(vezi și lista de exemple)	\|FULL LIST, MAI MULTE INFORMAȚII
FC-grup	fiecare clasă de conjugare este finită			(vezi și lista de exemple)		FZ-grup, Grup cu subgrup derivat finit\|LISTA COMPLETĂ, MAI MULTE INFORMAȚII

Proprietăți comparabile

Un grup suprasolubil este un grup care are o serie normală în care toate grupurile cotitoare succesive sunt grupuri ciclice. Un grup abelian este supersolubil dacă și numai dacă este finit generat.
Grup policiclic este un grup care are o serie subnormală în care toate grupurile cuante succesive sunt grupuri ciclice. Un grup abelian este policiclic dacă și numai dacă este finit generat.

Formalisme

În termenii operatorului diagonală-n pătrat

Această proprietate se obține prin aplicarea operatorului diagonală-n pătrat la proprietate: subgrup normal
Vezi alte proprietăți obținute prin aplicarea operatorului diagonală în pătrat

Un grup $G$ este un grup abelian dacă și numai dacă, în produsul direct extern $G \times G$ , subgrupul diagonal $\{ (g,g) \mid g \în G \}$ este un subgrup normal.

Testări

Problema testării

Informații suplimentare: Problema testării abelianității

Problema testării abelianității este problema de a testa dacă un grup (descris cu ajutorul unei anumite reguli de descriere a grupului, cum ar fi o codificare a unui grup sau o multi-codificare a unui grup) este abelian.

Algoritmii pentru problema testării abelianității variază de la algoritmul de testare a abelianității pe bază de forță brută de tip „black-box group” (care implică testarea pentru fiecare pereche de elemente dacă acestea comută sau nu și este pătratic în ordinea grupului) până la algoritmul de testare a abelianității pe bază de set generator de grupuri „black-box” (care implică testarea numai pe un set generator și este pătratic în mărimea setului generator).

Comandă GAP

Această proprietate a grupului poate fi testată folosind funcționalitatea încorporată din Groups, Algorithms, Programming (GAP).
Comanda GAP pentru această proprietate a grupului este:IsAbelian
Clasa tuturor grupurilor cu această proprietate poate fi menționată cu ajutorul comenzii încorporate: AbelianGroups
Vezi proprietățile grupurilor care pot fi testate prin GAP

Pentru a testa dacă un grup este abelian, sintaxa GAP este:

IsAbelian (group)

unde group fie definește grupul, fie dă numele unui grup definit anterior.

Studiul acestei noțiuni

Clasificarea disciplinelor matematice

În cadrul clasificării disciplinelor matematice, studiul acestei noțiuni se încadrează în clasa: 20K

Referințe din manuale

Carte	Numărul paginii	Capitolul și secțiunea	Informații contextuale	Vezi
Algebră abstractă de David S. Dummit și Richard M. Foote, ISBN de 10 cifre 0471433349, ISBN de 13 cifre 978-0471433347Mai multe informații	17	Definiție formală (definiție ca punct (2) în definiția generală a grupului)
Groups and representations de Jonathan Lazare Alperin și Rowen B. Bell, ISBN 0387945261Mai multe informații	2	1.1 (Rudiments of Group Theory/Review)	definiția introdusă în paragraful	Google Books
Algebra de Michael Artin, ISBN 0130047635, 13-digit ISBN 978-0130047632Mai multe informații	42		definiție introdusă în paragraf (imediat după definiția grupului)
Topics in Algebra de I. N. HersteinMai multe informații	28		Definiție formală
A Course in the Theory of Groups by Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613Mai multe informații	2	1.1 (Binary Operations, Semigroups, and Groups)	definiție formală	Google Books
Finite Group Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) de Michael Aschbacher, ISBN 0521786754Mai multe informații	1	1.1 (Teoria elementară a grupurilor)	definiție introdusă în paragraful	Google Books