Modulul 1 — Alegerea unei axe de rotație și descrierea sensului de rotație

De la PER wiki

Obiective de învățare

După parcurgerea acestui modul, ar trebui să fiți capabili să:

• Descrieți rotația unui corp rigid în jurul unei axe fixe.
• Să definiți viteza unghiulară în termeni de viteză de variație a poziției unghiulare.
• Să indicați sensul de rotație al unui obiect rigid și să aplicați regula mâinii drepte.

Rotația unui obiect rigid sub formă de rotație poate avea loc în combinație cu mișcarea de translație. Vom lăsa pentru mai târziu descrierea mișcării de translație și de rotație combinate. În acest modul ne vom concentra pe descrierea mișcării de translație pură. Mișcarea de rotație pură poate fi foarte complicată, iar unele cazuri ies din sfera de aplicare a oricărui curs introductiv de fizică.

Pentru a simplifica ideile de mișcare unghiulară vom face următoarele restricții:

1. Corpul rigid se rotește în jurul unei axe fixe de rotație.
2. Vom considera obiecte care sunt subțiri, de exemplu discul din figura a) sau tija din figura b).
3. Rotația se face în planul în care este conținut obiectul, de exemplu planul xy din figura de mai jos.
4. Axa de rotație este perpendiculară pe planul în care este conținut obiectul, axa z în figurile de mai jos.

Un corp rigid constrâns să se rotească în jurul unei axe fixe

Cel mai simplu caz de mișcare de rotație este un corp rigid, cum ar fi discul sau bara prezentată mai sus, care se poate roti în jurul unei axe sau balama care este fixă în spațiu. Axa sau balama nu se deplasează, dar permite rotația. Acest caz ilustrează în mod clar noțiunea de axă de rotație. Imaginați-vă un punct care se află în centrul discului sau la capătul barei, punctul Q, în figura de mai jos. Pe măsură ce corpul se rotește, acest punct nu se mișcă deloc. Orice alt punct, cum ar fi punctul B, se va deplasa pe măsură ce are loc rotația. Imaginați-vă o linie dreaptă care trece prin punctul Q și este perpendiculară pe planul în care se află discul sau bara, planul xy din figură. Această dreaptă nu se mișcă în timp ce corpul se rotește. Orice altă linie care trece prin orice alt punct al obiectului, cum ar fi linia albastră care trece prin punctul B, se va mișca. Această linie fixă unică este axa de rotație.

În rezumat, când vorbim despre o axă fixă de rotație trebuie să ne imaginăm o linie perpendiculară pe planul în care se rotește corpul rigid. În general, vom considera că obiectul este conținut și se rotește în planul xy, prin urmare, axa de rotație va fi paralelă cu axa z. Punctul de intersecție dintre această dreaptă și plan, punctul Q din figura de mai sus, va fi de asemenea fix în spațiu.

Mișcarea de rotație a unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe

Considerăm un disc care se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său. Un punct B din disc, aflat la o distanță r de centru, se va deplasa pe o traiectorie circulară de rază r, cercul cu liniuțe din figura a).

Poziție unghiulară

Poziția punctului B poate fi descrisă în termenii unghiului θ(t) măsurat de la axa +x. Unghiul θ se numește poziția unghiulară a punctului.

Convenție: poziția unghiulară este definită pozitivă atunci când este măsurată în sens invers acelor de ceasornic față de axa +x.

Viteza unghiulară

Viteza punctului B, precum și viteza tuturor punctelor din interiorul discului vor depinde de viteza de variație a pozițiilor lor unghiulare. Dacă discul se rotește cu un unghi dθ = 25o în sens invers acelor de ceasornic într-un interval de timp dt =1 sec, punctele B, C și toate punctele din interiorul discului se vor roti la fel de mult în același interval de timp, figura c).

Viteza unghiulară este definită ca rata de variație a poziției unghiulare și se notează cu litera ω:

Unități: = rad.s-1

Accelerația unghiulară

Accelerația unghiulară este rata de variație a vitezei unghiulare.

Unități: = rad.s-2

Direcție

Simpla specificare a unei axe și a vitezei de rotație nu este suficientă pentru a descrie complet mișcarea de rotație. Trebuie să discutăm și despre direcție. Odată aleasă o axă, direcțiile posibile de rotație au fost reduse la două posibilități – obiectul se poate roti în sens invers acelor de ceasornic sau în sensul acelor de ceasornic, așa cum este privit de deasupra planului (în mod convențional, dintr-o locație + z). Aceste două situații sunt descrise în figurile de mai jos. Cu toate acestea, este important să fim atenți aici, deoarece sensul invers acelor de ceasornic sau sensul acelor de ceasornic al rotației depind de poziția observatorului. Un disc care se rotește în sens invers acelor de ceasornic atunci când este privit de sus se va roti în sensul acelor de ceasornic atunci când este privit de jos.

Pe măsură ce ne îndreptăm spre o descriere matematică a rotației, vom descrie rotația în termenii unui vector. Se pare (după cum vom vedea) că o convenție foarte utilă este de a atribui axelor de coordonate +z să se situeze de-a lungul axei de rotație și de a ne gândi la cele două posibilități de rotație în sens invers acelor de ceasornic și în sensul acelor de ceasornic ca fiind rotații pozitive și negative în jurul acestei axe. Astfel, vectorul viteză unghiulară corespunzător rotației discului în situația prezentată în figurile de mai sus va fi:

Pentru rotația în sens invers acelor de ceasornic:

θ crește cu timpul,ω = dθ/dt > 0 atunci viteza unghiulară se îndreaptă spre axa +z.

Pentru rotația în sensul acelor de ceasornic:

θ scade cu timpul, ω = dθ/dt < 0 atunci viteza unghiulară indică spre axa -z:

Regula mâinii drepte

Această convenție se numește regula mâinii drepte. Pentru a o utiliza, curbați degetele mâinii drepte. Aliniați-vă mâna cu obiectul care se rotește (în acest caz, discul) astfel încât urmărindu-vă degetele de la articulații până la vârful degetelor să se obțină aceeași rotație pe care o experimentează obiectul. Degetul mare va arăta apoi „direcția” rotației.

Regula mâinii drepte și (x,y,z)

Când se folosește o coordonată carteziană pentru a descrie mișcarea într-un plan, este important să se folosească un sistem de coordonate drepte pentru ca definirea diverselor mărimi de rotație să fie definită în termeni de produs vectorial. În exemplul de mai sus, acest lucru înseamnă că, dacă plasați mâna dreaptă astfel încât degetele întinse să coincidă cu axa + x, apoi răsuciți încheietura mâinii astfel încât degetele să se deplaseze spre axa y pe măsură ce închideți mâna în pumn, rezultatul va fi că degetul mare va fi îndreptat de-a lungul +z. Acest lucru va fi în concordanță cu convenția obișnuită de a măsura unghiul pornind de la axa x și considerând că o deplasare unghiulară în sens invers acelor de ceasornic este pozitivă.

Desenarea unui sistem rotativ

Punctul de vedere trebuie să fie aliniat cu axa de rotație.

Când se desenează un sistem rotativ este important să se alinieze punctul de vedere cu axa de rotație. Cu alte cuvinte, ar trebui să desenați sistemul ca și cum ați privi chiar de-a lungul axei.

Reprezentarea vectorilor care sunt îndreptați direct spre sau direct departe de dumneavoastră.

Pentru că desenăm sisteme în rotație ca și cum am privi de-a lungul axei, este imposibil să desenăm o săgeată care să reprezinte axa. Din punctul nostru de vedere, axa liniară va arăta ca un punct. Din acest motiv, există o convenție pentru a desena o săgeată care arată direct spre sau direct departe de observator. Convenția este că o săgeată îndreptată direct spre observator este desenată ca un punct încercuit. O săgeată îndreptată direct în direcția opusă este desenată sub forma unui „x” încercuit.

Reprezentarea vectorilor aliniați cu observatorul: ușa de sus și de jos.

Imagine: O ușă este reprezentată împreună cu axa de rotație aleasă din diferite perspective.