Abelisk grupp

BY admin

| november 24, 2021

Denna artikel handlar om en grundläggande definition inom gruppteori. Artikeltexten kan dock innehålla avancerat material.
VIDARE: Definitioner som bygger på detta | Fakta om detta: (fakta som är nära relaterade till abelisk grupp, alla fakta som är relaterade till abelisk grupp) |Omvärldsartiklar om detta |Omvärldsartiklar om definitioner som bygger på detta
ÖVERSIKT RELATERAD: Analogier till detta | Variationer av detta | Motsatser till detta |

I denna artikel definieras en gruppegenskap som är central (dvs, viktig) bland existerande gruppegenskaper
Se en lista över pivotala gruppegenskaper | Se en fullständig lista över gruppegenskaper

Historia

Termens ursprung

Termens abeliska grupp kommer från Niels Henrick Abel, en matematiker som arbetade med grupper redan innan den formella teorin var fastställd, för att bevisa att kvintkvinkeln var olösbar.

Ordet abeliska börjar vanligtvis med ett litet a.

wikinote: I en del äldre innehåll på wikin används stort A för abeliska. Vi försöker uppdatera detta innehåll.

Definition

En abelisk grupp är en grupp där två element pendlar. I symboler kallas en grupp $G$ för abelisk om för alla element $x$ och $y$ i $G$ , $xy = yx$ (här betecknar $xy$ produkten av $x$ och $y$ i $G$ ). Observera att $x,y$ tillåts vara lika, även om lika element pendlar ändå, så vi kan begränsa uppmärksamheten om vi vill till ojämna element.

Fullständig definition

En abelisk grupp är en mängd $G$ utrustad med en (infix) binär operation $+$ (kallad additions- eller gruppoperationen), ett identitetselement $0$ och en (prefix) unär operation $-$ , kallad den omvända kartan eller negationskartan, som uppfyller följande:

För varje $a,b,c \in G$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ . Denna egenskap kallas associativitet.
För varje $a \in G$ , $a + 0 = 0 + a = a$ . $0$ spelar således rollen som ett additivt identitetselement eller neutralt element.
För varje $a \in G$ , $a + (-a) = (-a) + a = 0$ . Således är $-a$ ett omvänt element till $a$ med avseende på $+$ .
För varje $a,b \in G$ är $a + b = b + a$ . Denna egenskap kallas kommutativitet.

Ekvivalenta formuleringar

En grupp $G$ kallas abelisk om den uppfyller följande ekvivalenta villkor:

Dess centrum $Z(G)$ är hela gruppen.
Dess härledda undergrupp $G' =$ är trivial.
(Välj en genererande mängd $S$ för $G$ ). För alla element $a,b \in S$ är $ab = ba$ .
Den diagonala undergruppen $\{ (g,g) \mid g \in G \}$ är en normal undergrupp inom $G \times G$ .

Notation

När $G$ är en abelisk grupp använder vi vanligtvis additiv notation och terminologi. Gruppens multiplikation benämns således addition och produkten av två element benämns summan.

Infixoperatören $+$ används för gruppmultiplikationen, så summan av två element $a$ och $b$ betecknas med $a + b$ . Gruppmultiplikationen benämns addition och produkten av två element benämns summan.
Identitetselementet betecknas vanligen som $0$ och kallas noll
Ett elements inversa betecknas som dess negativa eller additiva inversa. Inversen av $a$ betecknas $-a$
$a + a + \ldots + a$ gjort $n$ gånger betecknas $na$ , (där $n \in \mathbb{N}$ ) medan $(-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a)$ gjort $n$ gånger betecknas $(-n)a$ .

Denna konvention följs typiskt i en situation där vi behandlar den abeliska gruppen $G$ isolerat, snarare än som en undergrupp till en eventuellt icke-abelisk grupp. Om vi arbetar med undergrupper i en icke-abelisk grupp använder vi vanligtvis multiplikativ notation även om undergruppen råkar vara abelisk.

Exempel

VIEW: grupper som uppfyller denna egenskap | grupper som inte uppfyller denna egenskap
VIEW: Relaterade gruppegenskaper som tillfredsställer | Relaterade gruppegenskaper som inte tillfredsställer

Några oändliga exempel

Den additiva gruppen av heltal $\mathbb{Z}$ , den additiva gruppen av rationella tal $\mathbb{Q}$ , den additiva gruppen av reella tal $\mathbb{R}$ , den multiplikativa gruppen av rationella tal som inte är noll $\mathbb{Q}^*$ , och den multiplikativa gruppen av reella tal som inte är noll $\mathbb{R}^*$ är några exempel på abeliska grupper.

(Mer allmänt, för varje fält, är den additiva gruppen och den multiplikativa gruppen av element som inte är noll, abelska grupper).

Finita exempel

Cykliska grupper är goda exempel på abelska grupper, där den cykliska gruppen av ordningen $n$ är gruppen av heltal modulo $n$ .

För övrigt är varje direkt produkt av cykliska grupper också en abelisk grupp. Vidare erhålls varje ändligt genererad abelisk grupp på detta sätt. Detta är den berömda struktursatsen för ändligt genererade abeliska grupper.

Struktursatsen kan användas för att generera en fullständig förteckning över ändliga abeliska grupper, vilket beskrivs här: classification of finite Abelian groups.

Intexempel

Inte alla grupper är abeliska. Den minsta icke-abeliska gruppen är den symmetriska gruppen på tre bokstäver: gruppen av alla permutationer på tre bokstäver, under komposition. Att den är icke-abelisk beror på att det spelar roll i vilken ordning permutationerna utförs.

Fakta

Förekomst som undergrupper

Alla cykliska grupper är abeliska. Eftersom varje grupp genereras av sina cykliska undergrupper genereras varje grupp av en familj av abeliska undergrupper. En svårare fråga är: finns det abeliska normala undergrupper? En bra kandidat för en abelisk normal undergrupp är centrum, som är samlingen av element i gruppen som kommuterar med varje element i gruppen.

Förekomst som kvotienter

Den maximala abeliska kvoten av en grupp kallas för dess abelianisering, och detta är kvoten av den härledda undergruppen. En undergrupp är en abelisk-kvoterad undergrupp (dvs. normal med abelisk kvotgrupp) om och endast om undergruppen innehåller den härledda undergruppen.

Metoegenskaper

Metoegenskapens namn	Tillfredsställd?	Bevis	Uttalande med symboler
Varietetsgruppsegenskap	Ja		Samlingen av abelska grupper bildar en undervariant till varieteten av grupper. I synnerhet är den sluten under tagande av undergrupper, kvotienter, och godtyckliga direkta produkter
undergruppsägd gruppegenskap	Ja	abelianitet är undergruppsägd	Om $G$ är en abelisk grupp och $H$ är en undergrupp till $G$ , så är $H$ abelisk.
kvotient-closed group property	Ja	abelianess is quotient-closed	Om $G$ är en abelisk grupp och $H$ är en normal undergrupp till $G$ , så är kvotgruppen $G/H$ abelisk.
direkt produktsluten gruppegenskap	Ja	abelianitet är direkt produktsluten	Antag att $G_i, i \in I$ , är abeliska grupper. Då är den externa direktprodukten $\prod_{i \in I} G_i$ också abelisk.

Relation till andra egenskaper

Starkare egenskaper

Egenskap	Betydelse	Bevis för implikation	Bevis för stränghet (omvänt implikationsfel)	Mellanliggande begrepp	Jämförelse
cyklisk grupp	som genereras av ett element	cyklisk innebär abelisk	abelisk innebär inte cyklisk (se även lista med exempel)	Epabelisk grupp, Lokalt cyklisk grupp, Residuellt cyklisk grupp\|FULL LISTA, MER INFO
homocyklisk grupp	direktprodukt av isomorfa cykliska grupper		(se även exempel)	\|FULL LISTA, MER INFO
restcyklisk grupp	varje icke-identitetselement ligger utanför en normal undergrupp med en cyklisk kvotgrupp			(se även lista med exempel)	\|FULL LIST, MER INFO
lokalt cyklisk grupp	varje ändligt genererad undergrupp är cyklisk			(se även en lista med exempel)	Epabelisk grupp\|FULL LIST, MER INFO
epabelisk grupp	abelisk grupp vars yttre kvadrat är den triviala gruppen			(se även lista med exempel)	\|FULL LIST, MER INFO
ändlig abelisk grupp	abelisk och en ändlig grupp			(se även lista med exempel)	\|FULL LIST, MER INFO
ändligt genererad abelisk grupp	abelisk och en ändligt genererad grupp		(se även en lista med exempel)	Residuellt cyklisk grupp\|FULL LIST, MER INFO

svagare egenskaper

Egenskap	Betydelse	Bevis för implikation	Bevis för stränghet (omvänt implikationsfel)	Mellanliggande begrepp
nilpotent grupp	lägre central serie når identitet, övre central serie når hela gruppen	abelian innebär nilpotent	nilpotent innebär inte abelian (se även lista med exempel)	Grupp där klass är lika med maximalt subnormalt djup, Grupp av nilpotensklass tre, Grupp av nilpotensklass två, Grupp av nilpotensklass två vars kommutatorkarta är dubbeln av en alternerande bihomomorfism som ger klass två, UL-ekvivalentgrupp\|FULL LISTA, MER INFO
lösbar grupp	härledd serie når identitet, har normal serie med abeliska faktorgrupper	abelisk innebär lösbar	lösbar innebär inte abelisk (se även lista med exempel)	Metabelisk grupp, Metanilpotent grupp, Nilpotent grupp\|FULL LISTA, MER INFO
metabelisk grupp	har abelisk normal undergrupp med abelisk kvotgrupp		(se även lista med exempel)	Grupp av nilpotensklass två\|FULL LISTA, MER INFO
virtuellt abelisk grupp	har abelisk undergrupp med ändligt index		(se även lista med exempel)	FZ-grupp\|FULL LIST, MER INFO
FZ-grupp	center har ändligt index		(se även lista med exempel)	\|FULL LIST, MER INFO
FC-grupp	varje konjugationsklass är ändlig		(se även lista med exempel)	FZ-grupp, Grupp med ändlig härledd undergrupp\|FULL LISTA, MER INFO

Inkomparabla egenskaper

Supersolvable group är en grupp som har en normal serie där alla successiva kvotgrupper är cykliska grupper. En abelisk grupp är supersolvable om och endast om den är ändligt genererad.
Polycyklisk grupp är en grupp som har en subnormal serie där alla successiva kvotgrupper är cykliska grupper. En abelisk grupp är polycyklisk om och endast om den är ändligt genererad.

Formalismer

I termer av diagonal-i-kvadrat-operatören

Denna egenskap erhålls genom att tillämpa diagonal-i-kvadrat-operatören på egenskapen: normal subgroup
Se andra egenskaper som erhålls genom att tillämpa operatören diagonal-i-kvadrat

En grupp $G$ är en abelisk grupp om och endast om den diagonala subgruppen $\{ (g,g) \mid g \in G \}$ är en normal subgrupp i den externa direktprodukten $G \times G$ .

Testning

Testningsproblemet

Fördjupad information:

Problemet med testning av abelianitet är problemet med att testa om en grupp (som beskrivs med hjälp av någon gruppbeskrivningsregel, t.ex. en kodning av en grupp eller en multi-kodning av en grupp) är abelian.

Algoritmer för problemet med testning av abelianitet sträcker sig från den brutala blackbox-algoritmen för testning av abelianitet (som innebär att man för varje par element testar om de pendlar, och som är kvadratisk i gruppens ordning) till den generationsmängdsbaserade blackbox-algoritmen för testning av abelianitet (som innebär att man endast testar en generationsmängd, och som är kvadratisk i storleken på generationsmängden).

GAP-kommando

Denna gruppegenskap kan testas med hjälp av inbyggd funktionalitet i Groups, Algorithms, Programming (GAP).
GAP-kommandot för denna gruppegenskap är:IsAbelian
Klassen för alla grupper med denna egenskap kan refereras till med det inbyggda kommandot: AbelianGroups
Se GAP-testbara gruppegenskaper

För att testa om en grupp är abelisk är GAP-syntaxen:

IsAbelian (group)

där group antingen definierar gruppen eller ger namnet på en tidigare definierad grupp.

Studie av detta begrepp

Matematisk ämnesklassificering

Under matematisk ämnesklassificering hör studien av detta begrepp till klassen: 20K

Läroboksreferenser

Bok	Sidnummer	Kapitel och avsnitt	Kontextuell information	Visa
Abstrakt algebra av David S. Dummit och Richard M. Foote, 10-siffrigt ISBN 0471433349, 13-siffrigt ISBN 978-0471433347Mer info	17	Formell definition (definition som punkt (2) i den allmänna definitionen av en grupp)
Groups and representations by Jonathan Lazare Alperin and Rowen B. Bell, ISBN 0387945261Mer info	2	1.1 (Rudiments of Group Theory/Review)	definition introducerad i punkt	Google Books
Algebra av Michael Artin, ISBN 0130047635, 13-siffrigt ISBN 978-0130047632Mer info	42		definition införd i stycket (omedelbart efter definitionen av grupp)
Topics in Algebra av I. N. HersteinMer info	28		Formell definition
A Course in the Theory of Groups av Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613Mer info	2	1.1 (Binary Operations, Semigroups, and Groups)	formell definition	Google Books
Finite Group Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) av Michael Aschbacher, ISBN 0521786754Mer info	1	1.1 (Elementär gruppteori)	definition införd i stycket	Google Books