Analytisk geometri

Analytisk geometri i elementär form

Apollonius av Perga (ca 262-190 f.Kr.), känd av sina samtida som ”den store geometern”, förebådade den analytiska geometrins utveckling med mer än 1 800 år i och med sin bok Konikerna. Han definierade en konisk linje som skärningspunkten mellan en kon och ett plan (se figuren). Med hjälp av Euklids resultat om likartade trianglar och cirkels sekanter fann han ett samband som uppfylls av avstånden från varje punkt P på en konisk linje till två vinkelräta linjer, konikens huvudaxel och tangenten vid axelns slutpunkt. Dessa avstånd motsvarar koordinater för P, och förhållandet mellan dessa koordinater motsvarar en kvadratisk ekvation för koniken. Apollonius använde detta förhållande för att härleda grundläggande egenskaper hos konikerna. Se konisk sektion.

Den fortsatta utvecklingen av koordinatsystem (se figuren) inom matematiken uppstod först efter att algebra hade mognat under islamiska och indiska matematiker. (Se matematik: Det är en av de viktigaste frågorna i den islamiska världen (8-1500-talet) och matematik i Sydasien). I slutet av 1500-talet introducerade den franske matematikern François Viète den första systematiska algebraiska notationen, där bokstäver användes för att representera kända och okända numeriska kvantiteter, och han utvecklade kraftfulla allmänna metoder för att arbeta med algebraiska uttryck och lösa algebraiska ekvationer. Med den algebraiska notationens kraft var matematikerna inte längre helt beroende av geometriska figurer och geometrisk intuition för att lösa problem. De mer djärva började lämna det geometriska standardtänkandet där linjära (första potensen) variabler motsvarade längder, kvadrater (andra potensen) areor och kubik (tredje potensen) volymer, där högre potenser saknade ”fysisk” tolkning. Två fransmän, matematikern och filosofen René Descartes och advokaten och matematikern Pierre de Fermat, var bland de första som tog detta djärva steg.

Descartes och Fermat grundade oberoende av varandra den analytiska geometrin på 1630-talet genom att anpassa Viètes algebra till studiet av geometriska loci. De gick avgörande längre än Viète genom att använda bokstäver för att representera avstånd som är variabla i stället för fasta. Descartes använde ekvationer för att studera geometriskt definierade kurvor, och han betonade behovet av att betrakta allmänna algebraiska kurvor – grafer av polynomekvationer i x och y av alla grader. Han demonstrerade sin metod på ett klassiskt problem: att hitta alla punkter P så att produkten av avstånden från P till vissa linjer är lika med produkten av avstånden till andra linjer. Se geometri:

Fermat betonade att varje förhållande mellan x- och y-koordinater bestämmer en kurva (se figur). Med hjälp av denna idé omarbetade han Apollonius argument i algebraiska termer och återställde det förlorade arbetet. Fermat visade att varje kvadratisk ekvation i x och y kan sättas in i standardformen för en av de koniska sektionerna.

Fermat publicerade inte sitt arbete, och Descartes gjorde medvetet sitt arbete svårt att läsa för att avskräcka ”dabblers”. Deras idéer fick allmän acceptans först genom andra matematikers insatser under 1600-talets senare hälft. Särskilt den holländske matematikern Frans van Schooten översatte Descartes skrifter från franska till latin. Han lade till viktiga förklaringar, liksom den franske juristen Florimond de Beaune och den nederländske matematikern Johan de Witt. I England populariserade matematikern John Wallis den analytiska geometrin genom att använda ekvationer för att definiera koniska figurer och härleda deras egenskaper. Han använde fritt negativa koordinater, även om det var Isaac Newton som entydigt använde två (sneda) axlar för att dela in planet i fyra kvadranter, enligt figuren.

Analytisk geometri fick sitt största inflytande på matematiken via kalkylen. Utan tillgång till den analytiska geometrins kraft löste klassiska grekiska matematiker som Arkimedes (ca 285-212/211 f.Kr.) specialfall av kalkylens grundproblem: att hitta tangenter och extrempunkter (differentialkalkalkyl) och båglängder, areor och volymer (integralkalkyl). Renässansens matematiker fördes tillbaka till dessa problem av behoven inom astronomi, optik, navigation, krigföring och handel. De försökte naturligtvis använda algebrans kraft för att definiera och analysera ett växande antal kurvor.

Fermat utvecklade en algebraisk algoritm för att hitta tangenten till en algebraisk kurva i en punkt genom att hitta en linje som har en dubbel skärningspunkt med kurvan i punkten – i huvudsak uppfann han differentialräkning. Descartes införde en liknande men mer komplicerad algoritm med hjälp av en cirkel. Fermat beräknade areor under kurvorna y = axk för alla rationella tal k ≠ -1 genom att summera areor av inskrivna och omskrivna rektanglar. (Se uttömmande, metod för.) Under resten av 1600-talet fortsatte grundarbetet för kalkyl av många matematiker, däribland fransmannen Gilles Personne de Roberval, italienaren Bonaventura Cavalieri och britterna James Gregory, John Wallis och Isaac Barrow.

Newton och tysken Gottfried Leibniz revolutionerade matematiken i slutet av 1600-talet genom att oberoende av varandra demonstrera kalkylens kraft. Båda männen använde koordinater för att utveckla notationer som uttryckte kalkylens idéer i full generalitet och som på ett naturligt sätt ledde till differentieringsregler och kalkylens fundamentala sats (som förbinder differential- och integralkalkyl). Se analys.

Newton demonstrerade betydelsen av analytiska metoder inom geometrin, bortsett från deras roll i kalkylen, när han hävdade att varje kubisk eller algebraisk kurva av tredje graden har en av fyra standardekvationer,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, för lämpliga koordinataxlar. Den skotske matematikern James Stirling bevisade detta påstående 1717, möjligen med Newtons hjälp. Newton delade in kubikerna i 72 arter, en siffra som senare korrigerades till 78.

Newton visade också hur man kan uttrycka en algebraisk kurva nära ursprunget i termer av den bråkformiga potensserien y = a1x1/k + a2x2/k + … för ett positivt heltal k. Matematiker har sedan dess använt denna teknik för att studera algebraiska kurvor av alla grader.