Apollonius av Perga

En ellips (skuggad grön) var en av de koniska sektioner som Apollonius studerade och namngav.

Apollonius av Perga (Pergaeus) (ca 262 f.Kr. – ca 190 f.Kr.) var en grekisk geometer och astronom från den alexandrinska skolan, känd för sina skrifter om koniska sektioner. Hans innovativa metodik och terminologi, särskilt när det gäller koniska sektioner, påverkade många senare forskare, däribland Ptolemaios, Francesco Maurolico, Isaac Newton och René Descartes.

En parabel (skuggad grön) är en annan konisk sektion som beskrivs av Apollonius.

En hyperbola (skuggad grön) är en tredje konisk sektion som studerades av Apollonius.

Det var Apollonius som gav ellipsen, parabeln och hyperbeln de namn som de nu är kända under. Hypotesen om excentriska banor, eller deferent och epicykel, för att förklara planeternas skenbara rörelse och månens varierande hastighet, tillskrivs också honom. Apollonius’ teorem visar att två modeller kan vara likvärdiga med rätt parametrar. Ptolemaios beskriver denna sats i Almagest 12.1. Apollonius undersökte också månteorin, som han kallade Epsilon (ε). Apolloniuskratern på månen har fått sitt namn till hans ära.

Liv och huvudverk

Apollonius föddes omkring 262 f.Kr., cirka 25 år efter Arkimedes. Han blomstrade under Ptolemaios Euergetes och Ptolemaios Philopator (247-205 f.Kr.). Hans avhandling om konikerna gav honom namnet ”Den store geometern”, vilket gjorde honom berömd.

Av alla hans avhandlingar finns endast Konikerna bevarad. Av de övriga har historikerna titlar och en viss indikation på deras innehåll tack vare senare författare, särskilt Pappus. Efter den första upplagan av den åtta böcker långa Conics gav Apollonius ut en andra upplaga på förslag av Eudemus av Pergamon. När han reviderade var och en av de tre första böckerna skickade Apollonius en kopia till Eudemus; de mest betydande förändringarna skedde i de två första böckerna. Eudemus dog innan resten av revideringen var klar, så Apollonius tillägnade de sista fem böckerna till kung Attalus I (241-197 f.Kr.). Endast fyra böcker har överlevt på grekiska; ytterligare tre finns bevarade på arabiska; den åttonde har aldrig upptäckts.

Och även om ett fragment har hittats av en latinsk översättning från arabiska från 1200-talet, var det inte förrän 1661 som Giovanni Alfonso Borelli och Abraham Ecchellensis gjorde en översättning av böckerna 5-7 till latin. Även om de använde Abu ’l-Fath av Ispahans arabiska version från 983, som finns bevarad i ett florentinskt manuskript, är de flesta forskare nu överens om att de bästa arabiska återgivningarna är Hilal ibn Abi Hilals för böckerna 1-4 och Thabit ibn Qurras för böckerna 5-7.

Apollonius ägnade sig åt ren matematik. När han tillfrågades om användbarheten av några av sina teorem i bok 4 av Konikerna hävdade han stolt att ”de är värda att accepteras för demonstrationernas egen skull, på samma sätt som vi accepterar många andra saker inom matematiken för detta och för inget annat skäl”. Och eftersom många av hans resultat inte var tillämpliga på sin tids vetenskap eller teknik, hävdade Apollonius vidare i förordet till den femte boken om konikerna att ”ämnet är ett av dem som verkar värda att studeras för sin egen skull”.”

Konik

Apollonius uppger att han i bok 1-4 arbetar ut genereringen av kurvorna och deras grundläggande egenskaper som presenteras i bok 1 mer utförligt än vad tidigare avhandlingar gjorde, och att ett antal satser i bok 3 och större delen av bok 4 är nya. Anspelningar på föregångares arbeten, såsom Euklides fyra böcker om konikerna, visar på en skuld inte bara till Euklides utan också till Conon och Nicoteles.

Apollonius’ allmänna behandling är anmärkningsvärd. Han definierar och namnger de koniska sektionerna, parabeln, ellipsen och hyperbeln. Han ser var och en av dessa kurvor som en grundläggande konisk egenskap som är ekvivalent med en ekvation (senare kallad den kartesiska ekvationen) som tillämpas på sneda axlar – till exempel axlar som består av en diameter och tangenten vid dess yttersta punkt – som erhålls genom att skära av en snedställd cirkulär kon. (En sned cirkelkon är en kon där axeln inte bildar en 90-graders vinkel med direktrixen. Däremot är en rätcirkelformad kon en kon där axeln bildar en 90-graders vinkel med riktlinjen). Han hävdar att det inte spelar någon roll hur konen skärs ut. Han visar att de sneda axlarna bara är ett specialfall, efter att ha visat att den grundläggande koniska egenskapen kan uttryckas i samma form med hänvisning till vilken ny diameter som helst och tangenten vid dess extremitet. Böckerna 5-7 är således klart originella.

Apollonius genialitet når sina största höjder i bok 5. Här behandlar han matematiska normaler (en normal är en rät linje som dras vinkelrätt mot en yta eller mot en annan rät linje) som minimala och maximala räta linjer som dras från givna punkter till kurvan (oberoende av tangentens egenskaper); han diskuterar hur många normaler som kan dras från vissa punkter; han finner deras fötter genom konstruktion; och han ger satser som bestämmer krökningscentrumet i vilken punkt som helst och som också leder till den kartesiska ekvationen för evoluenten av varje konisk sektion.

I Konikerna vidareutvecklade Apollonius en metod som är så lik den analytiska geometrin att hans arbete ibland anses föregå Descartes arbete med cirka 1800 år. Hans tillämpning av referenslinjer (t.ex. en diameter och en tangent) är i huvudsak densamma som vår moderna användning av en koordinatram. Till skillnad från modern analytisk geometri tog han dock inte hänsyn till negativa storheter. Dessutom överlagrade han koordinatsystemet på varje kurva efter att kurvan hade erhållits. Han härledde alltså ekvationer från kurvorna, men han härledde inte kurvor från ekvationer.

Andra verk

Pappus nämner andra avhandlingar av Apollonius. Var och en av dessa var uppdelad i två böcker, och – tillsammans med data, porismer och ytloci av Euklid och konikerna av Apollonius – ingick de enligt Pappus i den antika analysens helhet.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Skärning av ett förhållande) försökte lösa ett visst problem: Givet två räta linjer och en punkt i vardera, dra genom en tredje given punkt en rät linje som skär de två fasta linjerna på ett sådant sätt att de delar som skärs mellan de givna punkterna i dem och skärningspunkterna med denna tredje linje kan ha ett givet förhållande.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Cutting of an Area) diskuterade ett liknande problem där man krävde att den rektangel som de två skärningspunkterna innehåller skulle vara lika med en given rektangel.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Determinerad sektion) behandlar problem på ett sätt som kan kallas analytisk geometri i en dimension; med frågan om att hitta punkter på en linje som stod i ett förhållande till de andra. De specifika problemen är: Givet två, tre eller fyra punkter på en rät linje, hitta en annan punkt på linjen så att dess avstånd från de givna punkterna uppfyller villkoret att kvadraten på en punkt eller rektangeln som ingår i två punkter står i ett givet förhållande antingen (1) till kvadraten på den återstående punkten eller till rektangeln som ingår i de återstående två punkterna eller (2) till rektangeln som ingår i den återstående punkten och en annan given rät linje.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangencies) omfamnade följande allmänna problem: Givet tre saker (punkter, räta linjer eller cirklar) i position, beskriv en cirkel som passerar genom de givna punkterna och berör de givna räta linjerna eller cirklarna. Det svåraste och historiskt intressantaste fallet uppstår när de tre givna sakerna är cirklar. På 1500-talet presenterade Vieta detta problem (ibland känt som det apollinska problemet) för Adrianus Romanus, som löste det med en hyperbel. Vieta föreslog därefter en enklare lösning, vilket så småningom ledde till att han återställde hela Apollonius’ avhandling i det lilla verket Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

Syftet med De Inclinationibus (Inklinationer) var att visa hur en rak linje av en given längd, som sträcker sig mot en given punkt, kan införas mellan två givna (raka eller cirkulära) linjer.

De Locis Planis

De Locis Planis (Plane Loci) är en samling satser som rör loci som antingen är raka linjer eller cirklar.

Legat

Apollonius är känd som ”den store geometern”, och hans arbeten har i hög grad påverkat matematikens utveckling. I hans berömda bok Konikerna introducerades termerna parabel, ellips och hyperbola. Han utformade hypotesen om excentriska banor för att förklara planeternas skenbara rörelse och månens varierande hastighet. Ytterligare ett bidrag till matematiken är Apollonius’ sats, som visar att två modeller kan vara likvärdiga med rätt parametrar.

Notes

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. och Sabetai Unguru. Apollonius av Perga’s Conica: Text, kontext, undertext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

Alla länkar hämtade 8 april 2016.

• Apollonius av Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius’ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• PDF-scanningar av Heibergs utgåva av Apollonius av Pergas Conic Sections (public domain). www.wilbourhall.org.