Ben Green (matematiker)

De flesta av Greens forskningsområden är analytisk talteori och additiv kombinatorik, men han har också resultat inom harmonisk analys och gruppteori. Hans mest kända sats, som han bevisade tillsammans med sin frekventa medarbetare Terence Tao, anger att det finns godtyckligt långa aritmetiska progressionsförlopp i primtalen: detta är numera känt som Green-Tao-satsen.

Bland Greens tidiga resultat inom additiv kombinatorik återfinns en förbättring av ett resultat av Jean Bourgain om storleken på aritmetiska progressionsförlopp i summauppsättningar, samt ett bevis för Cameron-Erdős gissning om summafria uppsättningar av naturliga tal. Han bevisade också ett aritmetiskt regularitetslemma för funktioner definierade på de första N {\displaystyle N} naturliga talen, något analogt med Szemerédi-regularitetslemmat för grafer.

Från 2004-2010 utvecklade han i samarbete med Terence Tao och Tamar Ziegler så kallad Fourieranalys av högre ordning. Denna teori relaterar Gowers-normer till objekt som kallas nilsekvenser. Teorin har fått sitt namn från dessa nilsekvenser, som spelar en analog roll till den roll som tecken spelar i klassisk Fourieranalys. Green och Tao använde Fourieranalys av högre ordning för att presentera en ny metod för att räkna antalet lösningar till simultana ekvationer i vissa uppsättningar av heltal, inklusive i primtalen. Detta är en generalisering av det klassiska tillvägagångssättet med hjälp av Hardy–Littlewood-cirkelmetoden. Många aspekter av denna teori, inklusive de kvantitativa aspekterna av det omvända teoremet för Gowers normer, är fortfarande föremål för pågående forskning.

Green har också samarbetat med Emmanuel Breuillard om ämnen inom gruppteori. I synnerhet har de tillsammans med Terence Tao bevisat en struktursats för approximativa grupper, som generaliserar Freiman-Ruzsa-satsen för helheter med liten fördubbling. Green har också arbetat, tillsammans med Kevin Ford och Sean Eberhard, med teorin om den symmetriska gruppen, särskilt om hur stor andel av dess element som fixerar en mängd av storlek k {\displaystyle k} .

Green och Tao har också skrivit en artikel om algebraisk kombinatorisk geometri, där de löser Dirac-Motzkins gissning (se Sylvester-Gallai-teoremet). De bevisar särskilt att om n {\displaystyle n} är tillräckligt stort måste det finnas minst n / 2 {\displaystyle n/2} linjer i planet som innehåller exakt två av punkterna, om n {\displaystyle n} är tillräckligt stor, givet en samling av n {\displaystyle n} punkter i planet som inte alla är kollinjära.

Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard och Terence Tao har, först i två separata forskargrupper och sedan i kombination, förbättrat den nedre gränsen för storleken på det längsta gapet mellan två på varandra följande primtal med en storlek på högst X {\displaystyle X} . Formen för den tidigare mest kända gränsen, som i huvudsak berodde på Rankin, hade inte förbättrats på 76 år.

Mer nyligen har Green övervägt frågor inom aritmetisk Ramsey-teori. Tillsammans med Tom Sanders bevisade han att om ett tillräckligt stort ändligt fält av prima ordning är färgat med ett fast antal färger, så har fältet element x , y {\displaystyle x,y} så att x , y , x + y , x y {\displaystyle x,y,x{+}y,xy} alla har samma färg.

Green har också varit involverad i Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijts nya utveckling av Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt om tillämpning av en polynomisk metod för att begränsa storleken på delmängder av ett ändligt vektorrum utan lösningar på linjära ekvationer. Han anpassade dessa metoder för att i funktionsfält bevisa en stark version av Sárkozys sats.