Binära operationer

Vi är ganska bekanta med aritmetiska operationer som addition, subtraktion, division och multiplikation. Dessutom känner vi till exponentialfunktionen, logfunktionen osv. Idag ska vi lära oss om binära operationer. Som namnet antyder står binär för två. Betyder det att vi kan använda två funktioner samtidigt med hjälp av binär operation? Låt oss ta reda på det.

Föreslagna videor

Binär operation

Just när vi får ett tal när två tal antingen adderas eller subtraheras eller multipliceras eller delas. De binära operationerna associerar två valfria element i en mängd. Resultatet av de två är i samma mängd. Binära operationer på en mängd är beräkningar som kombinerar två element i mängden (kallade operander) för att producera ett annat element i samma mängd.

De binära operationerna * på en icke-tom mängd A är funktioner från A × A till A. Den binära operationen, *: A × A → A. Det är en operation av två element i mängden vars domäner och co-domäner finns i samma mängd.

Addition, subtraktion, multiplikation, division, exponential är några av de binära operationerna.

Ladda ner Relations fuskblad PDF genom att klicka på Ladda ner-knappen nedan

Egenskaper för binär operation

• Slutningsegenskap: En operation * på en icke-tom mängd A har stängningsegenskap, om a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
• Additioner är de binära operationerna på var och en av mängderna naturliga tal (N), heltal (Z), rationella tal (Q), reella tal (R), komplexa tal (C).

Additionerna på mängden av alla irrationella tal är inte binära operationer.

• Multiplikation är en binär operation på var och en av mängderna naturliga tal (N), heltal (Z), rationella tal (Q), reella tal(R), komplexa tal(C).

Multiplikation på mängden av alla irrationella tal är inte en binär operation.

• Subtraktion är en binär operation på var och en av mängderna heltal (Z), rationella tal (Q), reella tal (R), komplexa tal (C).

Subtraktion är inte en binär operation på mängden naturliga tal (N).

• En division är inte en binär operation på mängden naturliga tal (N), heltal (Z), rationella tal (Q), reella tal(R), komplexa tal(C).
• Exponentialoperation (x, y) → xy är en binär operation på mängden naturliga tal (N) och inte på mängden heltal (Z).

Typer av binära operationer

Kommutativ

En binär operation * på en mängd A är kommutativ om a * b = b * a, för alla (a, b) ∈ A (icke-tom mängd). Låt addition vara den kommutativa binära operationen för a = 8 och b = 9, a + b = 17 = b + a.

Se fler ämnen under Relationer och funktioner

• Relationer
• Funktioner
• Typer av relationer
• Typer av funktioner
• Representation av funktioner
• Sammansättning. of Functions and Invertible Function
• Algebra of Real Functions
• Cartesian Product of Sets
• Binary Operations

Associative

Den associativa egenskapen hos binära operationer gäller om, för en icke-tom mängd A kan vi skriva (a * b) *c = a*(b * c). Antag att N är mängden naturliga tal och multiplikation är den binära operationen. Låt a = 4, b = 5 c = 6. Vi kan skriva (a × b) × c = 120 = a × (b × c).

Distributiv

Låt * och o vara två binära operationer definierade på en icke-tom mängd A. De binära operationerna är distributiva om a*(b o c) = (a * b) o (a * c) eller (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Betrakta * som multiplikation och o som subtraktion. Och a = 2, b = 5, c = 4. Då är a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. Och (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identitet

Om A är en icke-tom mängd och * är en binär operation på A. Ett element e är identitetselement för a ∈ A, om a * e = a = e * a. Om den binära operationen är addition(+) är e = 0 och för * är multiplikation(×) är e = 1.

Invers

Om en binär operation * på en mängd A som uppfyller a * b = b * a = e, för alla a, b ∈ A. a-1 är inverterbar om för a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 är inverterbar när * är multiplikation.

Löst exempel för dig

Fråga 1: Visa att division inte är en binär operation i N och inte heller subtraktion i N.

Svar : Låt a, b ∈ N

Fall 1: Binär operation * = division(÷)

-: N × N→N givet genom (a, b) → (a/b) ∉ N (som 5/3 ∉ N)

Fall 2: Binäroperation * = Subtraktion(-)

-: N × N→N givet genom (a, b)→ a – b ∉ N (eftersom 3 – 2 = 1 ∈ N men 2-3 = -1 ∉ N).

Fråga 2: Är alla binära operationer slutna?

Svar: Många mängder som du kanske känner till är slutna under vissa binära operationer, medan många inte är det. Sålunda förblir mängden udda heltal slutna under multiplikation. Mängden udda heltal är till exempel inte sluten vid addition, eftersom summan av två udda tal inte alltid är udda, den är faktiskt aldrig udda.

Fråga 3: Är kvadratroten en binär operation?

Svar: En icke-binär operation avser en matematisk process som endast kräver ett tal för att uppnå något. Addition, subtraktion, multiplikation och division är exempel på binära operationer. På samma sätt består exempel på icke-binära operationer av kvadratrötter, faktorier samt absoluta värden.

Fråga 4: Vad är identitetselementet i en binär operation?

Svar: Ett identitetselement eller neutralt element i en binär operation avser en särskild typ av element i en mängd med avseende på en binär operation på den mängden, som lämnar ett element i mängden opåverkat när det kombineras med det. Vi använder detta begrepp i algebraiska strukturer som grupper och ringar.

Fråga 5: Vad är det binära överflödet?

Svar: Svar: Överflöde sker när storleken på ett tal överskrider det område som tillåts av bitfältets storlek. Summan av två identiskt signerade tal kan mycket väl överskrida området för bitfältet för dessa två tal, och därför kan överflöde vara en möjlighet i detta fall.