Bode-plot, förstärkningsmarginal och fasmarginal (plus diagram)

Vad är en Bode-plot

En Bode-plot är ett diagram som vanligen används inom reglerteknik för att bestämma stabiliteten hos ett reglersystem. En Bode-plot kartlägger systemets frekvensrespons med hjälp av två grafer – Bode magnitudplot (som uttrycker magnituden i decibel) och Bode-fasplot (som uttrycker fasförskjutningen i grader).

Bode-plots introducerades för första gången på 1930-talet av Hendrik Wade Bode när han arbetade på Bell Labs i USA. Även om Bode-plottar erbjuder en relativt enkel metod för att beräkna systemstabilitet kan de inte hantera överföringsfunktioner med singulariteter i det högra halvplanet (till skillnad från Nyquists stabilitetskriterium).

Förståelse av förstärkningsmarginaler och fasmarginaler är avgörande för att förstå Bode-plottar. Dessa termer definieras nedan.

Förstärkningsmarginal

Desto större förstärkningsmarginal (GM), desto större är systemets stabilitet. Förstärkningsmarginalen avser den mängd förstärkning, som kan ökas eller minskas utan att systemet blir instabilt. Den uttrycks vanligen som en storlek i dB.

Vi kan vanligen avläsa förstärkningsmarginalen direkt från Bode-plotten (enligt diagrammet ovan). Detta görs genom att beräkna det vertikala avståndet mellan magnitudkurvan (på Bode magnituddiagrammet) och x-axeln vid den frekvens där Bode fasdiagrammet = 180°. Denna punkt är känd som fasövergångsfrekvensen.

Det är viktigt att inse att förstärkningen och förstärkningsmarginalen inte är samma sak. Faktum är att förstärkningsmarginalen är den negativa delen av förstärkningen (i decibel, dB). Detta blir begripligt när vi tittar på formeln för förstärkningsmarginalen.

Formeln för förstärkningsmarginalen

Formeln för förstärkningsmarginalen (GM) kan uttryckas som:

Varvid G är förstärkningen. Detta är storleken (i dB) som avläses från den vertikala axeln i magnituddiagrammet vid fasövergångsfrekvensen.

I vårt exempel som visas i diagrammet ovan är Gain (G) 20. Med hjälp av vår formel för förstärkningsmarginal är förstärkningsmarginalen lika med 0 – 20 dB = -20 dB (instabil).

Fasmarginal

Desto större fasmarginal (PM), desto större blir systemets stabilitet. Fasmarginalen avser den mängd fas, som kan ökas eller minskas utan att systemet blir instabilt. Den uttrycks vanligtvis som en fas i grader.

Vi kan vanligtvis avläsa fasmarginalen direkt från Bode-plotten (enligt diagrammet ovan). Detta görs genom att beräkna det vertikala avståndet mellan faskurvan (på Bode-fasdiagrammet) och x-axeln vid den frekvens där Bode- magnituddiagrammet = 0 dB. Denna punkt är känd som förstärkningens övergångsfrekvens.

Det är viktigt att inse att fasfördröjningen och fasmarginalen inte är samma sak. Detta blir begripligt när vi tittar på formeln för fasmarginalen.

Formeln för fasmarginalen

Formeln för fasmarginalen (PM) kan uttryckas som:

Varvid är fasfördröjningen (ett tal mindre än 0). Detta är fasen som avläses från den vertikala axeln i fasdiagrammet vid förstärkningens övergångsfrekvens.

Som ett annat exempel kan nämnas att om en förstärkares open-loop förstärkning passerar 0 dB vid en frekvens där fasfördröjningen är -120°, så är fasfördröjningen -120°. Därför är fasmarginalen för detta återkopplingssystem -120° – (-180°) = 60° (stabil).

Bode-plots stabilitet

Nedan följer en sammanfattad lista över kriterier som är relevanta för att rita Bode-plots (och beräkna deras stabilitet):

1. Förstärkningsmarginal: Större kommer förstärkningsmarginalen att öka systemets stabilitet. Den avser den mängd förstärkning som kan ökas eller minskas utan att systemet blir instabilt. Den uttrycks vanligen i dB.
2. Fasmarginal: Större fasmarginal: Större blir systemets stabilitet. Den avser den fas som kan ökas eller minskas utan att systemet blir instabilt. Den uttrycks vanligtvis i fas.
3. Gain Crossover Frequency: Den avser den frekvens vid vilken magnitudkurvan skär noll dB-axeln i bode-plotten.
4. Fasövergångsfrekvens: Den avser den frekvens vid vilken faskurvan skär den negativa gånger 180o-axeln i denna plot.
5. Corner Frequency: Den avser den frekvens vid vilken faskurvan skär den negativa gånger 180o-axeln i denna plot: Frekvensen vid vilken de två asymptoterna skär eller möter varandra kallas brytfrekvens eller hörnfrekvens.
6. Resonansfrekvens: Det frekvensvärde vid vilket G-modulen (jω) har ett toppvärde kallas resonansfrekvens.
7. Faktorer: Varje loopöverföringsfunktion {i.e. G(s) × H(s)} produkt av olika faktorer som konstant term K, integralfaktorer (jω), första ordningens faktorer ( 1 + jωT)(± n) där n är ett heltal, andra ordningens eller kvadratiska faktorer.
8. Lutning: Det finns en lutning som motsvarar varje faktor och lutningen för varje faktor uttrycks i dB per decennium.
9. Vinkel: Det finns en vinkel som motsvarar varje faktor och vinkeln för varje faktor uttrycks i grader.

Nu finns det några resultat som man bör komma ihåg för att kunna plotta Bode-kurvan. Dessa resultat är skrivna nedan:

• Konstant term K: Denna faktor har en lutning på noll dB per decennium. Det finns ingen hörnfrekvens som motsvarar denna konstanta term. Fasvinkeln som är associerad med denna konstanta term är också noll.
• Integralfaktor 1/(jω)n: Denna faktor har en lutning på -20 × n (där n är ett heltal)dB per decennium. Det finns ingen hörnfrekvens som motsvarar denna integralfaktor. Fasvinkeln som är associerad med denna integralfaktor är -90 × n. Här är n också ett heltal.
• Faktor av första ordningen 1/(1+jωT): Denna faktor har en lutning på -20 dB per decennium. Hörnfrekvensen som motsvarar denna faktor är 1/T radian per sekund. Fasvinkeln som är associerad med denna första faktor är -tan- 1(ωT).
• Faktor av första ordningen (1+jωT): Denna faktor har en lutning på 20 dB per decennium. Hörnfrekvensen som motsvarar denna faktor är 1/T radian per sekund. Fasvinkeln som hör samman med denna första faktor är tan- 1(ωT) .
• Andra ordningens eller kvadratisk faktor : : Denna faktor har en lutning på -40 dB per decennium. Hörnfrekvensen som motsvarar denna faktor är ωn radian per sekund. Fasvinkeln som är associerad med denna första faktor är
  

  

Hur man ritar Bode-plot

Med alla ovanstående punkter i åtanke kan vi rita en Bode-plot för alla typer av styrsystem. Låt oss nu diskutera förfarandet för att rita en Bode-plot:

1. Sätt in s = jω i överföringsfunktionen för den öppna slingan G(s) × H(s).
2. Hitta motsvarande hörnfrekvenser och tabulera dem.
3. Nu krävs det att man i en semiloggraf väljer ett frekvensintervall så att plotten ska börja med den frekvens som är lägre än den lägsta hörnfrekvensen. Markera vinkelfrekvenser på x-axeln, markera lutningar på vänster sida av y-axeln genom att markera en noll-lutning i mitten och på höger sida markera fasvinkeln genom att ta -180o i mitten.
4. Beräkna förstärkningsfaktorn och systemets ordningstyp.
5. Beräkna nu lutningen som motsvarar varje faktor.

För att rita Bode magnituddiagrammet:

• Markera hörnfrekvensen på det halvlogiska diagrampappret.
• Tabellera dessa faktorer som rör sig från toppen till botten i den givna ordningen.
  1. Konstant term K.
  2. Integralfaktor
  3. Första ordningens faktor
  4. Första ordningens faktor (1+jωT).
  5. Faktor av andra ordningen eller kvadratisk faktor:
     

     

• Skissa nu linjen med hjälp av motsvarande lutning för den givna faktorn. Ändra lutningen vid varje hörnfrekvens genom att lägga till lutningen för nästa faktor. Du får magnituddiagrammet.
• Beräkna förstärkningsmarginalen.

För att rita Bode-fasdiagrammet:

1. Beräkna fasfunktionen genom att lägga till alla faktorernas faser.
2. Substituera olika värden till ovanstående funktion för att ta reda på fasen vid olika punkter och rita en kurva. Du får en faskurva.
3. Beräkna fasmarginalen.

Bode stabilitetskriterium

Stabilitetsvillkor ges nedan:

1. För ett stabilt system:
2. För ett stabilt system: Båda marginalerna ska vara positiva eller fasmarginalen ska vara större än förstärkningsmarginalen.
3. För ett marginellt stabilt system: För ett marginellt stabilt system:
4. Båda marginalerna ska vara noll eller fasmarginalen ska vara lika med förstärkningsmarginalen.
5. För instabilt system: För instabilt system: Båda marginalerna ska vara noll eller fasmarginalen ska vara lika med förstärkningsmarginalen: Om någon av dem är negativ eller fasmarginalen bör vara mindre än förstärkningsmarginalen.

Fördelar med en Bode-plot

1. Den är baserad på den asymptotiska approximationen, vilket ger en enkel metod för att plotta den logaritmiska magnitudkurvan.
2. Multiplikationen av olika magnituder som förekommer i överföringsfunktionen kan behandlas som en addition, medan divisionen kan behandlas som en subtraktion, eftersom vi använder en logaritmisk skala.
3. Med hjälp av endast denna plott kan vi direkt kommentera systemets stabilitet utan att göra några beräkningar.
4. Bode-plottar ger relativ stabilitet i termer av förstärkningsmarginal och fasmarginal.
5. Den täcker också från lågfrekvens till högfrekvensområde.