Brahmagupta

AlgebraEdit

Brahmagupta gav lösningen på den allmänna linjära ekvationen i kapitel 18 i Brahmasphutasiddhānta,

Skillnaden mellan rupor, när den inverteras och divideras med skillnaden mellan de okända, är den okända i ekvationen. Rupas ligger under den från vilken kvadraten och den okända ska subtraheras.

vilket är en lösning för ekvationen bx + c = dx + e där rupas avser konstanterna c och e. Den givna lösningen är ekvivalent med x = e – c/b – d. Han gav vidare två ekvivalenta lösningar till den allmänna kvadratiska ekvationen

18,44. Minska med mitten kvadratroten av ruporna multiplicerat med fyra gånger kvadraten och ökat med kvadraten av mitten ; dividera återstoden med två gånger kvadraten. mitten .
18.45. Vad som än är rupornas kvadratrot multiplicerat med kvadraten ökat med kvadraten på hälften av det okända, minska det med hälften av det okända dividera med dess kvadrat. det okända.

som är respektive lösningar för ekvationen ax2 + bx = c motsvarande,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}}

och

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}}

Han fortsatte med att lösa system av simultana obestämda ekvationer och konstaterade att den önskade variabeln först måste isoleras, och att ekvationen sedan måste divideras med den önskade variabelns koefficient. Han rekommenderade särskilt att använda ”pulveriseraren” för att lösa ekvationer med flera okända.

18.51. Subtrahera de färger som skiljer sig från den första färgen. dividerad med den första är måttet på den första. två gånger två ansågs liknande divisorer, upprepade gånger. Om det finns många , pulveriseraren .

Likt Diophantus algebra var Brahmaguptas algebra synkoperad. Addition angavs genom att siffrorna placerades sida vid sida, subtraktion genom att en punkt placerades över subtrahend, och division genom att divisorn placerades under dividend, likt vår notation men utan streck. Multiplikation, evolution och okända kvantiteter representerades genom förkortningar av lämpliga termer. Omfattningen av det grekiska inflytandet på denna synkopering, om något, är inte känt och det är möjligt att både grekisk och indisk synkopering kan härröra från en gemensam babylonisk källa.

AritmetikRedigera

De fyra grundläggande operationerna (addition, subtraktion, multiplikation och division) var kända för många kulturer före Brahmagupta. Detta nuvarande system är baserat på det hinduiska arabiska talsystemet och dök först upp i Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta beskriver multiplikationen på följande sätt: ”Multiplikanden upprepas som ett snöre för boskap, så ofta som det finns integrerande delar i multiplikatorn och multipliceras upprepade gånger med dem och produkterna adderas. Det är multiplikation. Eller så upprepas multiplikanden så många gånger som det finns integrerande delar i multiplikatorn”. Den indiska aritmetiken var känd i det medeltida Europa som ”Modus Indorum”, vilket betyder indianernas metod. I Brahmasphutasiddhanta kallades multiplikation för Gomutrika. I början av kapitel tolv i sin Brahmasphutasiddhānta, med titeln Beräkning, beskriver Brahmagupta operationer på bråkdelar. Läsaren förväntas känna till de grundläggande aritmetiska operationerna så långt som att ta kvadratroten, även om han förklarar hur man hittar kuben och kubroten av ett heltal och senare ger regler som underlättar beräkningen av kvadrater och kvadratrötter. Därefter ger han regler för att hantera fem typer av kombinationer av bråk: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; och a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SeriesEdit

Brahmagupta fortsätter sedan med att ge summan av kvadraterna och kuberna av de första n heltalen.

12.20. Summan av kvadraterna är det multiplicerat med två gånger steget ökat med ett dividerat med tre. Summan av kuberna är kvadraten på att Högar av dessa med identiska bollar .

Här fann Brahmagupta resultatet i termer av summan av de första n heltalen, snarare än i termer av n som är modern praxis.

Han anger summan av kvadraterna av de första n naturliga talen som n(n + 1)(2n + 1)/6 och summan av kuberna av de första n naturliga talen som (n(n(n + 1)/2)2
.

NollEdit

Brahmaguptas Brahmasphuṭasiddhānta är den första boken som ger regler för aritmetiska manipulationer som gäller för noll och negativa tal. Brahmasphutasiddhānta är den tidigaste kända text som behandlar nollan som ett eget tal, snarare än som en platshållande siffra i representationen av ett annat tal, vilket gjordes av babylonierna, eller som en symbol för en brist på kvantitet, vilket gjordes av Ptolemaios och romarna. I kapitel 18 i sin Brahmasphutasiddhānta beskriver Brahmagupta operationer med negativa tal. Han beskriver först addition och subtraktion,

18.30. av två positiva är positiva, av två negativa negativa negativa; av ett positivt och ett negativt är deras skillnad; om de är lika är det noll. Summan av en negativ och en nolla är negativ, av en positiv och en nolla positiv, av två nollor noll.

18.32. En negativ minus noll är negativ, en positiv positiv; noll är noll. När ett positivt ska subtraheras från ett negativt eller ett negativt från ett positivt ska det adderas.

Han fortsätter med att beskriva multiplikation,

18.33. Produkten av en negativ och en positiv är negativ, av två negativa positiv och av positiva positiv; produkten av noll och en negativ, av noll och en positiv eller av två nollor är noll.

Men hans beskrivning av division med noll skiljer sig från vår moderna förståelse:

18.34. En positiv delad med en positiv eller en negativ delad med en negativ är positiv; en nolla delad med en nolla är noll; en positiv delad med en negativ är negativ; en negativ delad med en positiv är negativ.
18.35. En negativ eller positiv dividerad med noll har det som divisor, eller noll dividerad med en negativ eller positiv . Kvadraten av en negativ eller en positiv är positiv; kvadraten av noll är noll. Det som är kvadrat är kvadratrot.

Här anger Brahmagupta att 0/0 = 0 och vad gäller frågan om a/0 där a ≠ 0 så har han inte gjort sig skyldig till det. Hans regler för aritmetik om negativa tal och noll ligger ganska nära den moderna förståelsen, förutom att i den moderna matematiken lämnas division med noll odefinierad.

Diophantinsk analysEdit

Pythagoras tripletterEdit

I kapitel tolv i sin Brahmasphutasiddhanta ger Brahmagupta en formel som är användbar för att generera Pythagoras tripletter:

12.39. Höjden på ett berg multiplicerat med en given multiplikator är avståndet till en stad; det raderas inte. När den divideras med multiplikatorn ökad med två är det språnget för en av de två som gör samma resa.

Och, med andra ord, om d = mx/x + 2, så reser en resenär som ”hoppar” vertikalt uppåt en sträcka d från toppen av ett berg med höjden m, och sedan reser i en rak linje till en stad som ligger på ett horisontellt avstånd mx från bergets fot, samma sträcka som en resenär som går vertikalt nerför berget och sedan reser längs horisontalen till staden. Geometriskt uttryckt säger detta att om en rätvinklig triangel har en bas med längden a = mx och en höjd med längden b = m + d, så är längden c på hypotenusan given genom c = m(1 + x) – d. Och i själva verket visar elementär algebraisk manipulation att a2 + b2 = c2 närhelst d har det angivna värdet. Om m och x är rationella, är d, a, b och c det också. En pythagorisk trippel kan därför erhållas från a, b och c genom att multiplicera var och en av dem med den minsta gemensamma multiplikatorn av deras nämnare.

Pells ekvationRedigera

Brahmagupta fortsatte med att ge en återkomstrelation för att generera lösningar till vissa fall av diophantiska ekvationer av andra graden såsom Nx2 + 1 = y2 (kallad Pells ekvation) med hjälp av den euklidiska algoritmen. Den euklidiska algoritmen var känd för honom som ”pulverisatorn” eftersom den bryter ner tal i allt mindre bitar.

Naturen av kvadrater:
18,64. dubbla kvadratroten av en given kvadrat med en multiplikator och ökas eller minskas med en godtycklig . Produkten av den första , multiplicerad med multiplikatorn, med produkten av den sista , är den sist beräknade.
18.65. Summan av åskådarprodukterna är den första. Tillsatsen är lika med produkten av tillsatserna. De två kvadratrotsarna, dividerade med additivet eller subtraktivet, är de additiva rupierna.

Nyckeln till hans lösning var identiteten,

( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 2 2 – N y 2 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

vilket är en generalisering av en identitet som upptäcktes av Diophantus,

( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 2 2 – y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Med hjälp av sin identitet och det faktum att om (x1, y1) och (x2, y2) är lösningar till ekvationerna x2 – Ny2 = k1 respektive x2 – Ny2 = k2, så är (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y2 + x2y1) en lösning till x2 – Ny2 = k1k2, kunde han finna helhetslösningar till Pell’s ekvation genom en ekvationsserie av formen x2 – Ny2 = ki. Brahmagupta kunde inte tillämpa sin lösning på ett enhetligt sätt för alla möjliga värden på N, utan han kunde bara visa att om x2 – Ny2 = k har en helhetslösning för k = ±1, ±2 eller ±4, så har x2 – Ny2 = 1 en lösning. Lösningen på den allmänna Pellska ekvationen fick vänta på Bhaskara II omkring 1150 e.Kr.

GeometriEdit

Brahmaguptas formelEdit

Brahmaguptas mest kända resultat inom geometrin är hans formel för cykliska fyrhörningar. Givet längderna på sidorna i en cyklisk fyrhörning gav Brahmagupta en ungefärlig och en exakt formel för figurens area,

12,21. Den ungefärliga arean är produkten av halva summan av sidorna och de motsatta sidorna i en triangel och en fyrhörning. Den exakta är kvadratroten av produkten av halvorna av summan av sidorna minskad med sidan av fyrhörningen.

Givet längderna p, q, r och s på en cyklisk fyrhörning är den ungefärliga arean alltså p + r/2 – q + s/2, medan den exakta arean, om man antar att t = p + q + r + s/2, är

√(t – p)(t – q)(t – q)(t – r)(t – s).

Och även om Brahmagupta inte uttryckligen anger att dessa fyrhörningar är cykliska, framgår det av hans regler att så är fallet. Herons formel är ett specialfall av denna formel och den kan härledas genom att en av sidorna sätts lika med noll.

TrianglarRedigera

Brahmagupta ägnade en betydande del av sitt arbete åt geometri. En sats ger längderna på de två segmenten som en triangelbas delas in i genom höjden:

12,22. Basen minskade och ökade med skillnaden mellan sidornas kvadrater dividerade med basen; när de delas med två är de de sanna segmenten. Lodlinjen är kvadratroten från kvadraten på en sida minskad med kvadraten på dess segment.

Därmed är längderna på de två segmenten 1/2(b ± c2 – a2/b).

Han ger vidare ett teorem om rationella trianglar. En triangel med rationella sidor a, b, c och rationell area är av formen:

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {\displaystyle a={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{w}}+w\right),\ \ \ c={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{v}}}-v+{\frac {u^{2}}}{w}}-w\right)}

för några rationella tal u, v och w.

Brahmaguptas satsRedigera

Brahmagupta fortsätter,

12.23. Kvadratroten av summan av de två produkterna av sidorna och de motsatta sidorna i en ojämlik fyrhörning är diagonalen. Diagonalens kvadrat minskas med kvadraten på hälften av summan av basen och toppen; kvadratroten är lodlinjen .

Så, i en ”icke-jämlik” cyklisk fyrhörning (det vill säga en liksidig trapets) är längden på varje diagonal √pr + qs.

Han fortsätter att ge formler för längder och areor av geometriska figurer, t.ex. omkretsen av en likbent trapets och en skalen fyrhörning, och längderna av diagonaler i en skalen cyklisk fyrhörning. Detta leder fram till Brahmaguptas berömda sats,

12.30-31. Avbildar man två trianglar inom med ojämna sidor är de två diagonalerna de två baserna. Deras två segment är var för sig det övre och det undre segmentet i diagonalernas skärningspunkt. De två av de två diagonalerna är två sidor i en triangel; basen . Dess vinkelrätt är den nedre delen av vinkelrätten; den övre delen av vinkelrätten är hälften av summan av vinkelrätterna minskad med den nedre .

PiEdit

I vers 40 ger han värden för π,

12,40. Diametern och kvadraten på radien multiplicerat med 3 är den praktiska omkretsen och arean . De exakta är kvadratrotserna från kvadraterna av dessa två multiplicerat med tio.

Så Brahmagupta använder 3 som ett ”praktiskt” värde på π, och 10 ≈ 3,1622 … {\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3,1622\ldots }

som ett ”exakt” värde på π. Felet i detta ”exakta” värde är mindre än 1%.

Mått och konstruktionerRedigera

I några av verserna före vers 40 ger Brahmagupta konstruktioner av olika figurer med godtyckliga sidor. Han manipulerade i huvudsak rätvinkliga trianglar för att framställa likbenta trianglar, skalena trianglar, rektanglar, likbenta trapezoider, likbenta trapezoider med tre lika sidor och en skalen cyklisk fyrhörning.

Efter att ha angett värdet på pi behandlar han geometrin för plana figurer och solider, till exempel för att hitta volymer och ytor (eller tomma utrymmen som grävts ut ur solider). Han finner volymen av rektangulära prismor, pyramider och en kvadratisk pyramidstam. Han hittar också det genomsnittliga djupet i en serie gropar. För volymen av en pyramidstump ger han det ”pragmatiska” värdet som djupet gånger kvadraten på medelvärdet av kanterna på den övre och undre sidan, och han ger den ”ytliga” volymen som djupet gånger deras medelarea.

TrigonometriEdit

SinustabellEdit

I kapitel 2 i sin Brahmasphutasiddhanta, med titeln Planetary True Longitudes, presenterar Brahmagupta en sinustabell:

2.2-5. Sinusvärdena: Ursa Major, tvillingar, Vedaerna; gudarna, eldar, sex; smaker, tärningar, gudarna; månen, fem, himlen, månen; månen, pilar, solar

Här använder Brahmagupta namn på objekt för att representera siffrorna i platsvärdessiffror, vilket var vanligt när det gällde numeriska uppgifter i sanskrit-avhandlingar. Progenitors representerar de 14 stamfäderna (”Manu”) i indisk kosmologi eller 14, ”twins” betyder 2, ”Ursa Major” representerar de sju stjärnorna i Ursa Major eller 7, ”Vedas” hänvisar till de 4 Vedas eller 4, tärning representerar antalet sidor på traditionstärningen eller 6, och så vidare. Denna information kan översättas till listan över sinus, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 och 3270, med radien 3270.

InterpolationsformelRedigera

I år 665 utarbetade och använde Brahmagupta ett specialfall av Newton-Stirlings interpolationsformel av andra ordningen för att interpolera nya värden av sinusfunktionen från andra redan tabellerade värden. Formeln ger en uppskattning av värdet av en funktion f vid ett värde a + xh av dess argument (med h > 0 och -1 ≤ x ≤ 1) när dess värde redan är känt vid a – h, a och a + h.

Formeln för skattningen är:

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! . {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}}.}