Bravaisgaller

Inom geometri och kristallografi är ett Bravaisgaller, uppkallat efter Auguste Bravais (1850), ett oändligt antal diskreta punkter som genereras av en uppsättning diskreta översättningsoperationer som beskrivs i tredimensionell rymd genom:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}}

(1)

där ni är valfria heltal och ai är primitiva vektorer som ligger i olika riktningar (inte nödvändigtvis vinkelräta mot varandra) och spänner över gitteret. Valet av primitiva vektorer för ett givet Bravais-gitter är inte unikt. En grundläggande aspekt av alla Bravaisgitter är att för varje val av riktning kommer gittret att se exakt likadant ut från var och en av de diskreta gitterpunkterna när man tittar i den valda riktningen.

I kristallografin utvidgas begreppet Bravaisgitter med ett oändligt antal diskreta punkter med hjälp av begreppet en enhetscell, som innefattar utrymmet mellan de diskreta gitterpunkterna samt alla atomer i det utrymmet. Det finns två huvudtyper av enhetsceller: primitiva enhetsceller och icke-primitiva enhetsceller.

En primitiv enhetscell för ett givet Bravais-gitter kan väljas på mer än ett sätt (varje sätt har en annan form), men varje sätt kommer att ha samma volym och varje sätt kommer att ha den egenskapen att en en-till-en-korrespondens kan upprättas mellan de primitiva enhetscellerna och de diskreta gitterpunkterna. Den uppenbara primitiva cellen att associera med ett visst val av primitiva vektorer är den parallelepiped som bildas av dem. Det vill säga mängden av alla punkter r av formen:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 där 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\qquad {\text{where }}}0\leq x_{i}<1}

(2)

Att använda det parallelepiped som definieras av de primitiva vektorerna som enhetscell har den nackdelen att det i vissa fall inte tydligt avslöjar hela symmetrin i gittret. En lösning på detta är att använda Wigner-Seitz primitiva cell (som består av alla punkter i rymden som är närmare en given gitterpunkt än någon annan gitterpunkt) som visar gitterets fullständiga symmetri. En annan lösning är att använda en icke-primitiv enhetscell som visar gitterets fulla symmetri. Den icke-primitiva enhetscellens volym kommer att vara en heltalsmultipel av den primitiva enhetscellens volym.

Enhetscellen, vare sig den är primitiv eller inte, måste, när den replikeras en gång för varje diskret gitterpunkt, exakt fylla hela utrymmet utan överlappning och utan luckor.

Det utvidgade Bravais-gitterkonceptet, inklusive enhetscellen, används för att formellt definiera ett kristallint arrangemang och dess (ändliga) gränser. En kristall består av ett periodiskt arrangemang av en eller flera atomer (basen eller motivet) som förekommer exakt en gång i varje primitiv enhetscell. Basen kan bestå av atomer, molekyler eller polymersträngar av fast materia. Följaktligen ser kristallen likadan ut när den betraktas i en viss riktning från likvärdiga punkter i två olika enhetsceller (två punkter i två olika enhetsceller i samma gitter är likvärdiga om de har samma relativa position i förhållande till sina individuella enhetscellsgränser).

Två Bravaisgitter anses ofta vara likvärdiga om de har isomorfiska symmetrigrupper. I denna mening finns det 14 möjliga Bravaisgitter i det tredimensionella rummet. De 14 möjliga symmetrigrupperna för Bravaisgitter är 14 av de 230 rymdgrupperna. I samband med rymdgruppsklassificeringen kallas Bravaisgitter också för Bravaisklasser, Bravais aritmetiska klasser eller Bravaisflockar.