Den märkliga potensen av 1 + sqrt 2

På mathstodon.xyz publicerade Colin Wright nyligen följande gåta:

Vad är den 99:e siffran till höger om decimaltecknet i decimalutvidgningen av ?

Det är förstås tillräckligt enkelt att använda en dator för att hitta svaret; alla språk eller programvarusystem som kan beräkna med reella tal med godtycklig precision kan hitta det korrekta svaret på en bråkdel av en sekund. Men det är uppenbarligen inte det som är poängen! Kan vi använda logiska resonemang för att härleda eller bevisa det korrekta svaret utan att göra en massa beräkningar? Även om vi hittar svaret genom beräkning, kan vi förklara varför det är det rätta svaret? Att lösa denna gåta tog mig ner i ett fascinerande kaninhål som jag vill dela med mig av till dig under nästa inlägg eller tre eller åtta.

För tillfället ska jag låta dig tänka på gåtan. Även om det är fusk att använda en dator för att helt enkelt beräkna svaret uppmuntrar jag till att använda en dator eller miniräknare för att prova mindre exempel och leta efter mönster. Det är inte alltför svårt att se ett mönster och gissa sig till det rätta svaret; det intressanta är förstås att ta reda på varför detta mönster uppstår och att bevisa att det fortsätter.