Fokus på

Förra beräkningsmaskiner: Från abakus till Babbage

Abakus

Det finns en lång historia som beskriver uppfinningen av beräkningsmaskiner. Den tidigaste registrerade beräkningsmaskinen är abakusen. Abakusen användes som en enkel beräkningsenhet för att utföra aritmetik och dök troligen upp för första gången i Babylonien (nuvarande Irak) för mer än 5 000 år sedan. Dess mer välkända form i dag härstammar från den kinesiska versionen på bilden nedan.

Abakusen är mer en räkneapparat än en riktig kalkylator. (Se figur 1.) Ändå användes den i århundraden som ett pålitligt sätt att göra additioner och subtraktioner.

Al-Khwarizmi

De flesta detaljerna om den framstående matematikern Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmis liv är inte kända. (Se figur 2.) Vi vet dock att han föddes omkring 780 i Bagdad och dog omkring 850. Al-Khwarizimi var en av de mer kända lärda vid Visdomens hus i Bagdad, det första större biblioteket sedan Alexandria.

I ett av sina mest berömda verk erbjöd al-Khwarizimi geometriska demonstrationer eller numeriska bevis som hittills varit okända för européerna. Boken innehöll ordet ”al-jabr” i titeln, vilket betyder ”transposition”. Senare döpte européerna detta nya sätt att tänka på aritmetik till ”algebra”.

För våra syften är det dock hans latinska namn – ”Algoritmi” – som har störst betydelse för datorernas historia. Det blev synonymt med ett nytt sätt att resonera som kallades ”algoritm”. Detta betecknar en begriplig steg-för-steg-process som utarbetats för att lösa något matematiskt problem. På så sätt är sambandet mellan begreppen beräkning och mekanism outplånligt smittat.

Raymon Lull

Alla tidiga datamaskiner var inte avsedda för att beräkna siffror. Raymon Lull (1230-1315), en spansk hovman och senare konverterad munk och apologet, är den första person i historien som är känd för att ha utvecklat en ”logisk” maskin – en maskin som beräknar logiska bevis i stället för att göra aritmetik. Logik är naturligtvis vetenskapen om resonemang. Den handlar i första hand om den form av resonemang som kallas för slutledning, dvs. att härleda ny information från tidigare känd information. Logiken försöker formulera de principer som skiljer berättigade från obefogade slutsatser. Dessutom är det en formell studie som postulerar att inferenser kan mätas med hjälp av abstrakta metoder som tar hänsyn till egenskaper hos inferensen, åtskilda från dess innehåll.

Den grekiske filosofen Aristoteles (384-323 f.Kr.) var den förste som uttryckligen erkände denna formalistiska princip – att information kan fångas trovärdigt och därefter utforskas med hjälp av metoder som helt och hållet är beroende av själva symbolsystemet. I Prior Analytics utvecklade Aristoteles det syllogistiska systemet, som är det första dokumenterade försöket att representera resonemangets egenskaper med hjälp av rent formella metoder. Syftet med syllogistiken var att visa att vi härleder eller drar slutsatser av ny information från det som redan är känt genom att använda giltiga standardformer för slutledningar. Enligt detta synsätt är allt mänskligt resonemang eller logik ett slags beräkning.

Aristoteles syllogistik och logik studerades ingående av forskare i grekiska, arabiska och senare västerländska kulturer.

Lull (i latinsk form Raimundus Lullus) var likaså genomsyrad av denna aristoteliska tradition. Han utformade en maskin som bestod av en serie koncentriska cirklar, varje cirkel innehöll symboler som representerade olika begrepp om något ämne. (Se figur 3.) Cirklarna kunde roteras för att anpassa eller beräkna olika kombinationer. Varje kombination representerade följaktligen ett uttalande om det ämnet. Den grundläggande idén var att mekaniskt generera alla möjliga tankar eller idéer som kunde uttryckas om ett visst ämne. Med konstruktiva regler för hur hjulen kan roteras hoppades Lull kunna visa hur sanna påståenden kunde härledas från mängden av alla möjliga påståenden.

Bortsett från sina excentriciteter bygger Lulls maskin på två betydelsefulla idéer eller övertygelser. För det första kan språk och begrepp representeras tillräckligt bra med hjälp av fysiska symboler. För det andra kan sanningar genereras eller beräknas med hjälp av mekaniska metoder. Dessa idéer påverkade ett antal personer som följde efter honom.

John Napier and Napier’s Bones

Därefter flyttar vi oss flera århundraden framåt och till Skottland. John Napier föddes 1550 i närheten av Edinburgh. Även om de flesta detaljerna om hans utbildning är okända, gick han tydligen i St Andrews och Cambridge. Napiers berömmelse som matematiker säkrades genom hans upptäckt av logaritmer. Tabeller med logaritmer gjorde det lättare för astronomer, bankirer och andra att reducera de mer komplexa operationerna multiplikation och division till enklare additioner och subtraktioner. Vi kommer att återkomma till att överväga användningen av logaritmer inom kort.

Under sin livstid var Napier dock mer allmänt erkänd som uppfinnare av ett beräkningsverktyg som kallas ”Napier’s Bones”. Dessa var en serie stavar (ofta utskurna av ben) som hade kvadrater inskrivna i dem. Med hjälp av stavarna kunde man utföra multiplikationer genom att titta på delprodukter och summera dem. Division kunde utföras på liknande sätt som en serie uppslag och subtraktioner.

Senare mekaniserades stavarna genom att de ersattes med cylindrar som kunde vridas på plats. För en demonstration av hur Napiers ben fungerar se

Napier’s Demo

The Slide Rule

Som tidigare nämnts hade John Napier introducerat användningen av logaritmer. Därefter samarbetade han med sin matematikkamrat Henry Briggs (1561-1630) och konverterade sina ursprungliga logaritmiska beräkningar till den mer välkända bas-10 representation som används idag.

Nyttan av logaritmer kan ses i följande viktiga resultat.

a * b = 10 ^ ( log (a) + log (b) ), och
a / b = 10 ^ ( log (a) – log (b) )

Man kan dock inte utnyttja dessa resultat utan att utföra några tidskrävande uppgifter. För att multiplicera två tal a och b,

1. måste man leta upp två logaritmer.
2. Man måste addera dem.
3. Man måste leta upp motsvarande tal vars logaritm är deras summa.

Edmund Gunter (1581-1626) skapade en anordning för att avhjälpa detta. Den kallades ”Gunter’s Scale” och visade en logaritmisk skala på en tvåfotslinjal. Genom att addera och subtrahera längder var det möjligt att få fram resultaten av multiplikation och division.

William Oughtred (1574-1660) förbättrade Gunters enkla linjal 1630 genom att kombinera två cirkulära skalor som kunde flyttas i förhållande till varandra. De rörliga skalorna eliminerade behovet av en delare och blev därmed den tidiga föregångaren till den moderna räknestickan. Oavsett om räknestickan är rak eller cirkulär är den en analog kalkylator eftersom resultaten av operationerna är baserade på den kontinuerliga skalan för avstånd.

fortsätt