Modul 1 — Att välja en rotationsaxel och beskriva rotationsriktningen

Från PER wiki

Lärandemål

När du har arbetat igenom den här modulen ska du kunna:

• Beskriva rotationen av en stel kropp runt en fast axel.
• Definiera vinkelhastigheten i termer av vinkelpositionens förändringshastighet.
• Ange rotationsriktningen för ett styvt föremål och tillämpa högerhandregeln.

Rotationen av ett styvt föremål i form av spinn kan ske i kombination med translationsrörelse. Vi lämnar beskrivningen av translations- och rotationsrörelse i kombination till senare. I denna modul kommer vi att koncentrera oss på beskrivningen av ren translationsrörelse. Ren rotationsrörelse kan vara mycket komplicerad och vissa fall ligger utanför ramen för en introduktionskurs i fysik.

För att förenkla idéerna om vinkelrörelse kommer vi att göra följande begränsningar:

1. Den stela kroppen roterar runt en fast rotationsaxel.
2. Vi kommer att betrakta föremål som är tunna, till exempel skivan i figur a) eller stången i figur b).
3. Rotationen sker i det plan där föremålet ingår, till exempel xy-planet i figuren nedan.
4. Rotationsaxeln är vinkelrät mot det plan där föremålet ingår, z-axeln i figurerna nedan.

En stel kropp som är tvungen att rotera runt en fast axel

Det enklaste fallet av rotationsrörelse är en stel kropp, som skivan eller stången som visas ovan, som kan rotera runt en axel eller ett gångjärn som är fixerad i rummet. Axeln eller gångjärnet förflyttar sig inte utan tillåter rotation. Detta fall illustrerar tydligt begreppet rotationsaxel. Föreställ dig en punkt som ligger i mitten av skivan eller i slutet av stången, punkt Q, i figuren nedan. När kroppen roterar rör sig denna punkt inte alls. Alla andra punkter, t.ex. punkt B, kommer att röra sig när rotationen sker. Föreställ dig en rät linje som går genom punkt Q och är vinkelrät mot det plan där skivan eller stången finns, xy-planet i figuren. Denna linje rör sig inte när kroppen roterar. Alla andra linjer som passerar genom någon annan punkt i föremålet, t.ex. den blå linjen som passerar genom punkt B, kommer att röra sig. Denna unika fasta linje är rotationsaxeln.

Sammanfattningsvis, när vi talar om en fast rotationsaxel måste vi föreställa oss en linje vinkelrätt mot det plan där den stela kroppen roterar. I allmänhet kommer vi att betrakta objektet som inneslutet och roterande inom xy-planet, därför kommer rotationsaxeln att vara parallell med z-axeln. Skärningspunkten mellan denna linje och planet, punkten Q i figuren ovan, kommer också att vara fast i rummet.

Rotationsrörelse hos en stel kropp som roterar runt en fast axel

Föreställ dig en skiva som roterar runt en fast axel som går genom dess centrum. En punkt B i skivan, på ett avstånd r från centrum, kommer att röra sig i en cirkulär bana med radien r, den streckade cirkeln i figur a).

Vinkelposition

Punkten B:s position kan beskrivas med hjälp av vinkeln θ(t) mätt från +x-axeln. Vinkeln θ kallas för punktens vinkelposition.

Konvention: Vinkelpositionen definieras positiv när den mäts moturs i förhållande till +x-axeln.

Vinkelhastighet

Hastigheten för punkt B liksom hastigheten för alla punkter inom skivan kommer att bero på förändringshastigheten för deras vinkelpositioner. Om skivan roterar en vinkel dθ = 25o moturs under ett tidsintervall dt =1 sek, kommer punkterna B, C och alla punkter inom skivan att rotera lika mycket under samma tidsintervall, figur c).

Vinkelhastigheten definieras som vinkelpositionens förändringshastighet och noteras med bokstaven ω:

Enheter: = rad.s-1

Vinkelacceleration

Vinkelaccelerationen är förändringshastigheten för vinkelhastigheten.

Enheter: = rad.s-2

Riktning

Det räcker inte att enbart ange en axel och rotationshastigheten för att fullt ut beskriva en rotationsrörelse. Vi måste också diskutera riktningen. När en axel väl har valts har de möjliga rotationsriktningarna reducerats till två möjligheter – föremålet kan snurra moturs eller medurs sett från ovanför planet (konventionellt sett från en + z-position). Dessa två situationer beskrivs i figurerna nedan. Det är dock viktigt att vara försiktig här, eftersom rotationens riktning moturs eller medurs beror på observatörens position. En skiva som snurrar moturs när den betraktas ovanifrån kommer att snurra medurs när den betraktas underifrån.

När vi arbetar mot en matematisk beskrivning av rotation kommer vi att beskriva rotation i termer av en vektor. Det visar sig (som vi ska se) att en mycket användbar konvention är att tilldela +z-koordinataxlarna att ligga längs rotationsaxeln och att tänka på de två möjligheterna moturs och medurs som positiva och negativa rotationer kring denna axel. Vinkelhastighetsvektorn som motsvarar skivans rotation i den situation som visas i figurerna ovan kommer således att vara:

För rotation moturs:

θ ökar med tiden,ω = dθ/dt > 0 då pekar vinkelhastigheten mot +z-axeln.

För rotationen medurs:

θ minskar med tiden, ω = dθ/dt < 0 då pekar vinkelhastigheten mot -z-axeln:

Högerhandregeln

Denna konvention kallas högerhandregeln. För att använda den kröker du fingrarna på din högra hand. Rikta din hand mot det snurrande föremålet (i det här fallet skivan) så att om du följer dina fingrar från knogarna till fingertopparna får du samma rotation som föremålet upplever. Din tumme visar då rotationens ”riktning”.

Den högra handregeln och (x,y,z)

När man använder ett kartesiskt koordinatsystem för att beskriva rörelser i ett plan är det viktigt att använda ett högra handreglerat koordinatsystem för att definitionen av olika rotationsmängder ska kunna definieras i termer av vektorprodukten. I exemplet ovan innebär detta att om du placerar din högra hand så att de utsträckta fingrarna sammanfaller med + x-axeln och sedan vrider handleden så att fingrarna rör sig mot y-axeln när du sluter handen till en knytnäve, kommer resultatet att bli att din tumme pekar längs +z. Detta kommer att överensstämma med den vanliga konventionen att mäta vinkeln med utgångspunkt i x-axeln och att betrakta en vinkelförskjutning i motsols riktning som positiv.

Ritning av ett roterande system

Synvinkeln ska vara i linje med rotationsaxeln.

När man ritar ett roterande system är det viktigt att man riktar in synvinkeln mot rotationsaxeln. Med andra ord bör du rita systemet som om du tittade rakt längs axeln.

Representera vektorer som pekar rakt mot eller rakt bort från dig.

Då vi ritar roterande system som om vi tittar längs axeln är det omöjligt att rita en pil som representerar axeln. Den linjära axeln kommer att se ut som en punkt från vår synvinkel. Av denna anledning finns det en konvention för att rita en pil som pekar direkt mot eller direkt bort från observatören. Konventionen är att en pil som pekar direkt mot observatören ritas som en inringad punkt. En pil som pekar rakt bort ritas som ett inringat ”x”.

Att avbilda vektorer i linje med betraktaren: dörr uppifrån och ner.

Bild: En dörr visas längs med den valda rotationsaxeln från olika perspektiv.