The Evolution of the Area Model: Elementary through Algebra – Leaf and STEM Learning The Evolution of the Area Model: Elementary through Algebra
När barn börjar lära sig att multiplicera tal är en av de första sakerna de lär sig att skapa ett mönster med föremål i en matris. De räknar de manipulativa föremålen och märker att det finns en längd och en bredd. Att de också kan räkna alla manipulatorer för att hitta en totalsumma. Från denna tidiga erfarenhet börjar eleverna ett första steg mot en färdighet som kommer att fortsätta att byggas upp hela vägen genom algebra på gymnasiet.
När Common Core och andra läroplaner började betona icke-standardiserade algoritmer i stället för de traditionella metoder som många vuxna enbart använde i skolan, blev det motreaktioner. Memes och trådar på internet som ägnade sig åt att smutskasta dessa icke-standardiserade metoder som alltför besvärliga eller ineffektiva dök upp överallt. Dessa missade syftet med undervisningen och inlärningen av dessa metoder, t.ex. områdesmodellen i våra elevers matematiska utveckling. Metoder som areamodeller utvecklas i syfte att få en varaktig förståelse för matematikens mekanik snarare än bara svaret på ett snabbt matematiskt problem. Standardalgoritmen är ofta det mest effektiva sättet att lösa ett problem, men den döljer ofta resonemanget i matematiken för elever som lär sig att göra mer komplicerade arbeten i allt yngre åldrar. Ja, arealmodellen ser väldigt annorlunda ut än den matematik som många av oss gjorde som barn, men mekaniken är densamma.
Area-modeller och matriser bygger på en enkel tanke: längden på en rektangel gånger dess bredd blir lika med den totala arean. Den första areamodellmodellen som eleverna använder är en enkel fysisk matris.
Denna grundmodell är faktiskt grunden för det lärande som kommer att fortsätta genom hela gymnasiet! Hur kan den här modellen användas för att främja unga elevers förståelse? Den viktigaste användningen av den här modellen är den visuella skillnaden mellan hur addition ser ut jämfört med multiplikation. Den gör det tydligare hur annorlunda 6 + 4 är från 6 x 4. Denna skillnad kommer att vara mycket viktig när eleverna börjar studera operationsordningen. När eleverna behärskar multiplikationsfakta går de vidare till tvåsiffrig multiplikation. Det är här modellerna tar den vändning som gör att många vuxna börjar bli obekväma med matematiken!
Har dina elever problem med att ta den fysiska modellen in i algoritmen? Prova det här tipset: Låt dina elever bygga fysiska matriser ovanpå multiplikationstabellen. Detta hjälper dem att se sambandet mellan modellen som de bygger och de fakta som de arbetar med att lära sig!
Användning av manipulatorer som bas tio-klossar för att visa platsvärdesrelationer är nästa steg i utvecklingen av areamodellen. Denna metod kan vara knepig för pedagoger och föräldrar som inte är vana vid hur längd- och breddförhållandena fungerar inom var och en av enheterna i bas tio-klossarna. En annan aspekt av denna modell som kan vara svår är blockens förmåga att representera olika värden. När man arbetar med multiplikation med heltal representerar enhetskuben ett, men när man arbetar med decimaltal representerar enhetskuben en hundradel. Genom att använda platsvärdemodellering visar eleverna varför en nolla måste placeras när man multiplicerar tvåsiffriga tal med tvåsiffriga tal. Det kan också ge elever som är mindre säkra på multiplikation en bro för att komma från ensiffrig multiplikation till mer komplexa problem.
När eleverna når omkring femte eller sjätte klass tar användningen av areamodeller en annan omvandling. Den konkreta modellen rör sig mot en visuell representation. Med decimaltal tar detta ofta formen av ett hundratalsrutnät. Att använda denna modell är ett av de bästa sätten att ge eleverna förståelse för varför decimaler inte står på rad i ett multiplikationsproblem. När eleverna endast utsätts för algoritmarbete har de ofta svårt att komma ihåg när decimaler ska radas upp respektive när en decimal ska flyttas. Att ge dem förståelse för varför decimalplaceringen sker hjälper dem att få ett mer naturligt minne och förståelse för begreppet, och de behöver inte förlita sig lika mycket på memorering. När eleverna använder en areamodell för att representera bråkmultiplikation kan de också visualisera orsaken till multiplikationen av nämnarna. Efter att ha lärt sig addera bråk är detta viktigt eftersom eleverna har förankrat idén om att hitta gemensamma nämnare i sina sinnen som nödvändig för att arbeta med bråk. När man multiplicerar är detta naturligtvis inte nödvändigt och kommer att resultera i fel svar. Återigen, precis som när man arbetar med decimaltal, blir många elever förvirrade över regelskillnaderna mellan additiva och multiplikativa operationer.
Har dina elever problem med att se längden och bredden i decimala och bråkformiga areamodeller? Prova det här tipset: Rita tallinjer längs längden och bredden. Markera helheterna först. Markera sedan helheterna för att göra enhetsrutor så att nämnaren lätt kan räknas. Titta på videon nedan för att se stegen med en komplex multiplikation med blandade tal!
Alla tidigare modeller, även om de är olika, handlar om numerisk längd och bredd. Arealmodeller behöver inte använda numeriska värden och kan användas för att förenkla algebraiska uttryck. Ett manipulativt verktyg som kallas algebraplattor används vanligen för att bygga algebraiska områdesmodeller. Att använda en arealmodell för att förenkla algebraiska uttryck kan användas som ett alternativ till FOIL. Även om många av oss som undervisar nu har vuxit upp med FOIL-metoden, en minnesbok som står för first, outside, inside, last, för att multiplicera algebraiska uttryck, har denna metod några uppenbara brister. En av de största är när en av parenteserna innehåller tre termer i stället för två. FOIL-metoden fungerar bara om båda multiplikatorerna har endast två termer, men det finns inget som begränsar algebraiska problem till två termer. Elever som inte har någon annan metod än FOIL kommer sannolikt att fastna i ett problem utan någon annan metod att använda.
Area-modeller är ett viktigt verktyg för att fullfölja förståelsen av multiplikativa samband. Från den första användningen för att bygga upp multiplikationsfakta hela vägen genom algebra är denna modell, även om den inte är vad de flesta av oss växte upp med när vi själva lärde oss matematik, en av de bästa metoderna för att skapa en konstant och begriplig modell för förståelse för eleverna. Även om matematiken blir mer komplex kan man varje gång få det att kännas som om det är något som redan är känt genom att använda en välbekant lösningsmodell.
