Topologisk analog signalbehandling

BY admin
|

Blochs egenproblem

Bulkristallen är endimensionell med gitterkonstanten a och två hinder per enhetscell. Vi modellerar den och definierar dess topologi med hjälp av överföringsmatrisen Mcell för en enhetscell. Vi börjar med att definiera de två spridningsmatriserna S1 och S2 som spridningsmatriserna i fjärrfältet för varje hinder när de är ensamma i monomodvågledaren. Dessa matriser relaterar de utgående komplexa signalerna på vänster (L) och höger (R) sida av spridarna bL och bR till de infallande signalerna aL och aR:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {b_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = S_i\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\\ {a_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right).$$
(2)

Notera att vi för tillfället inte utgår från att de två matriserna är lika: cylindrarna kan till exempel ha olika tvärsnitt, eller vara förskjutna i förhållande till varandra, etc. Dessa matriser beror också vanligtvis på vinkelfrekvensen ω. Om man antar att energin bevaras under spridningen måste de vara enhetliga. Vi kan därför parametrisera dem mycket allmänt som

$$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\ { – e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}} & {e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}} \end{array}} \right),$$
(3)

$$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\ { – e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}}} & {e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}} \end{array}} \right),$$
(4)

där de frekvensberoende vinklarna θ1,2, α1,2, ϕ1,2 och Φ1,2 är unika när vi väl fixerar referensplanet, här vid spridarnas centrala position. Om vi antar reciprocitet (S21 = S12) måste vi ha 2α1,2 – Φ1,2 = π, vilket begränsar oss till tre parametrar per spridningsmatris, vilket gör det möjligt att skriva:

$$$S_1 = \left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\\ {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} & { – e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{2i\alpha _1}}} \end{array}} \right),$$
(5)

$$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\\ {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} & { – e^{ – – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{2i\alpha _2}}} \end{array}} \right).$$
(6)

Det går sedan att härleda de tillhörande överföringsmatriserna M1 och M2, definierade som

$$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}}_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \\ {a_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = M_{{{i}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \end{array}} \right)$$
(7)

och erhåller

$$$M_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{e^{i\alpha _1}}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _1}e^{i\alpha _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} \\ { – \frac{{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} & {\frac{{e^{{ – i\alpha _1}}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}}} \end{array}} \right),$$
(8)

$$$M_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{e^{i\alpha _2}}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _2}e^{i\alpha _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}} \\ { – \frac{{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}} & {\frac{{e^{{ – i\alpha _2}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}}} \end{array}} \right).$$
(9)

Om de två spridarna är separerade med ett avstånd d i en enhetscell med gitterkonstanten a är den totala överföringsmatrisen för enhetscellen Mcell produkten:

$$${\it{M}}}_{{\mathrm{cell}}} = {\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}}{\it{M}}}_{d}}{\it{M}}}_{\it{M}}_1{\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}}$$$
(10)

med

$$$M_{{L}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{\\\frac{{{i\omega L}}}{c}}} & 0 \\ 0 & {e^{ – \frac{{{i\omega L}}{c}}} \end{array}} \right),$$
(11)

där \(L = d,\frac{{{{a – d}}{2},\) och c är fashastigheten. Man får, efter att ha tagit matrisprodukten,

$$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {M_{11}\left( \omega \right)} & {M_{21}^ \ast \left( \omega \right)} \\\ {M_{21}\left( \omega \right)} & {M_{11}^ \ast \left( \omega \right)} \end{array}} \right)$$
(12)

med

$$${\it{M}}}_{11}\left( \omega \right) = e^{\\frac{{i\omega a}}{c}}}e^{i\left( {a_1 + a_2} \right)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2 + e^{\frac{{i\omega \left( {a – 2d} \right)}}{c}}}e^{i\left( {\varphi _1 – \varphi _2} \right)}e^{ – i\left( {a_1 – a_2} \right)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2,$$
(13)

$$$M_{21}\left( \omega \right) = – e^{\frac{{{i\omega d}}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2 – e^{ – \frac{{{i\omega d}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2.$$
(14)

Vi använder notationen z* för att beteckna den komplexa konjugerade av z. Med |ψ〉 = T, där a och b är de fram- och bakåtriktade komplexa fältamplituderna vid enhetscellens ingång, ger tillämpningen av Bloch-satsen följande egenvärdesproblem,

$$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}}a}\left| \psi \right\rangle$$$
(15)

vilket vi kallar kristallens Bloch egenproblem. Observera det icke-triviala beroendet av Mcell(ω) på ω. Den enklaste användningen av ovanstående ekvation är följande: för alla värden på ω kan man diagonalisera Mcell(ω) och få två motsatta värden ±kB(ω) av Bloch-vågenumret i den första Brillouin-zonen och lösa upp bandstrukturen. Observera att Mcell inte är enhetlig och är icke-Hermitisk, vilket innebär att värdena ±kB(ω) i allmänhet är komplexa, vilket i princip möjliggör ett oändligt antal band och bandgap. Notera vidare skillnaden mot den standardiserade SSH-modellen med fast bindning, som leder till ett hermitiskt egenvärdesproblem som kartlägger Brillouincirkeln till rummet av SU(2)-matriser, och en tydlig topologisk klassificering av kiralsymmetriska system via lindningsantalet. Här, i överensstämmelse med tidsomvändningssymmetri54, \(M_{{{\mathrm{cell}}}\vänster( \omega \right) \in {\mathrm{{SU}}}(1,1)\), en grupp av icke-hermitiska matriser55. SU(1,1)-hamiltonianer finns t.ex. i PT-symmetriska utvidgningar av SSH-modellen med snäv bindning56 där Hamiltonianens icke-hermitiska karaktär beror på avsaknaden av energihushållning. Här är Mcell inte en Hamiltonian, i den meningen att dess egenvärden inte är relaterade till ω utan till kB, och Mcells pseudo-antihermitess (\(\(\sigma _{\mathrm{z}}}{\it{M}}}_{{\mathrm{cell}}}^{\mathrm{\dagger }}\sigma _{\mathrm{z}}} = – {\it{M}}}_{\mathrm{cell}}}}\)) är relaterad till tidsomvändningssymmetri. I kompletterande figur 11 representerar vi den bandstruktur som erhålls genom överföringsmatrismetoden och jämför den med den som erhålls direkt från fullvågssimuleringar av enhetscellen som utsätts för periodiska randvillkor (FEM-metoden). För att lösa överföringsmatrisens egenvärdesproblem extraherades parametrarna θ1,2, α1,2 och Φ1,2, som beror på frekvensen, från FEM-spridningssimuleringar av ett enskilt hinder i en vågledare. Avståndet mellan de två spridarna antas vara \(d = \frac{a}{2} – e_{\mathrm{p}}\), med ep = 2,8 cm (”trivialt” fall) och a = 23 cm. Stavdiametern är 3,5 cm och vågledarens bredd är 7 cm. Överensstämmelsen mellan de två tillvägagångssätten bekräftar noggrannheten hos modellen med multipel spridning, i synnerhet det underliggande antagandet att det inte förekommer några närfältsinteraktioner mellan hindren i kristallen.

Egenskaper hos enhetscellens överföringsmatris

För att kunna definiera systemets topologi i nästa avsnitt måste vi först fastställa några viktiga egenskaper hos enhetscellens överföringsmatris. Vi börjar med allmänna egenskaper, innan vi övergår till mer specifika egenskaper på ett band eller vid degenererade punkter i bandstrukturen.

Som en direkt följd av tidsomvändningssymmetrin54 tillhör överföringsmatrisen för systemet Mcell gruppen SU(1,1) av matriser av formen

$$M_{{\mathrm{{cell}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha & {\beta ^ \ast } \\beta & {\alpha ^ \ast } \end{array}} \right)$$
(16)

som parametriseras med hjälp av Pauli-matriserna som

$$${\it{M}}}_{{\mathrm{cell}}} = \alpha _{\mathrm{R}}}\sigma _0 + \beta _{\mathrm{R}}\sigma _x + \beta _{\mathrm{I}}\sigma _y + i\alpha _{\mathrm{I}}}\sigma _{\mathrm{z}}.$$
(17)

Dess egenvärden ges av \(\(\lambda _ \pm = \alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}}^2}\) är reella när \(\alpha _{\mathrm{I}}}^2 < \left| \beta \right|^2\) och komplexa annars. Dessa egenvärden är degenererade under villkoret \(\alpha _{\mathrm{I}}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}}^2 = 0\), dvs. när parametrarna βR, βI och αI tillhör en dubbelkonus i (βR, βI, αI)-rummet. Denna kon representeras i de nedre panelerna i figur 6. Vid konens spets har man βR = βI = αI = 0, vilket innebär att Mcell reduceras till Mcell = αRσ0.

Fig. 6
figur6

Bandenas topologi. Vi definierar bandens topologi som antalet gånger som konturerna \(\mathcal{C}\) korsar axeln på den kon som definieras i ekv. 20. a För det triviala gitteret korsar konturen \(\mathcal{C}\) inte axeln på konen, vilket motsvarar en topologisk invariant på noll. b När systemet genomgår en fasövergång rör konturen \(\mathcal{C}\) vid toppen av konen. Den topologiska invarianten kan inte definieras i detta fall. c Samma som panelerna (a) och (b) men för det topologiska gallret. Konturen \(\mathcal{C}\) korsar konens axel en gång i detta fall, vilket motsvarar en icke-trivial topologi

På ett band har matrisen Mcell en speciell form. Bloch egenproblemet innebär nämligen att \(\alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i\,k_{\mathrm{B}}}a}\), varav följer att

$$${\it{\alpha }}_{\mathrm{R}} = {\mathrm{cos}}}\left( {k_{\mathrm{B}}a} \right)$$
(18)

och

$$$\left| \alpha \right|^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$$$
(19)

vilket innebär \(\alpha _{\mathrm{I}}}^2 + \alpha _{\mathrm{R}}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2\), vilket är likvärdigt med \(\alpha _{\mathrm{I}}}^2 = {\mathrm{sin}}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2\), eller

$$${\it{\alpha }}_{\mathrm{I}} = \pm \sqrt {{\mathrm{sin}}}^2({\it{k}}}_{\mathrm{B}}{\it{a}}}) + \left| \beta \right|^2}.$$
(20)

På ett band har vi därför

$$$M_{{\mathrm{cell}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \pm i\sqrt {{\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } & {\beta \ast } \\ \beta & {{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \mp i\sqrt {{\mathrm{sin}}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } \end{array}} \right).$$
(21)

Som ett resultat beskriver ett band en en-till-en-avbildning från Brillouincirkeln till en sluten bana \(\mathcal{C}\) i underrymden för SU(1,1)-matriser Mcell(kB) med ovanstående form. Från Blochs egenvärdeproblem \(M_{{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}}a}\left| \psi \right\rangle\), man drar slutsatsen att Mcell(ω) på ett band har komplexa egenvärden, vilket innebär att \(\alpha _{{\mathrm{I}}}^2 > \left| \beta \right|^2\), i.D.v.s. banan \(\mathcal{C}\) måste vara inne i konen, antingen i den övre regionen αI > |β|, eller den nedre αI < -|β|. Dessutom kan banan \(\mathcal{C}\) endast beröra konen när Mcells egenvärden, nämligen \(e^{i\,k_{\mathrm{B}}}a}\), är degenererade. Detta är nödvändigtvis fallet vid Brillouinzonens kanter \(\left( {k_{{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)\), och vid dess centrum kB = 0. Däremellan kan \(\mathcal{C}\) inte röra konen, eftersom två olika egenvärden \(e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}}a}}\) måste hittas, i kraft av tidsomvändningssymmetri. Slutligen är banan \(\mathcal{C}\) inte en slinga utan en enkel linje, eftersom Mcell är en enkel funktion av ω och därför är densamma för två motsatta värden av kB på ett band: Den börjar på konen vid \(k_{\mathrm{B}}} = – \frac{\pi }{a}\) och landar på den igen vid kB = 0, innan den följer den omvända vägen mellan kB = 0 och \(k_{\mathrm{B}}} = \frac{\pi }{a}\). Figur 6a visar ett exempel på \(\mathcal{C}\) kontur för kristallens tredje band (förmodat topologiskt ”trivialt” fall, med ep = 2,8 cm), och figur 6c visar samma kontur för ep = -2,8 cm, vilket motsvarar det dubbla systemet, som förmodat är topologiskt (de topologiska egenskaperna kommer att bevisas i nästa avsnitt). Figur 6b representerar fallet ep = 0 cm som stänger bandgapen. Som väntat börjar och slutar konturen i alla fall på konen.

För att studera de villkor under vilka två på varandra följande frekvensband kan beröra varandra är det lämpligt att omarbeta Bloch egenproblemet till den ekvivalenta formen:

$$$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a}M_{{\{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| {\psi \rangle } \right. = \left| {\psi \rangle } \right.$$
(22)

och tänk på det på följande sätt: för varje kB i den första Brillouin-zonen innebär att hitta banden att hitta de värden på ω för vilka matrisen \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a}M_{{\mathrm{cell}}}}\) har minst ett egenvärde som är lika med ett, och där den motsvarande egenvektorn är Bloch-eigensvektorn för just detta band. Detta kan ske för oändligt många värden på ω. Om båda egenvärdena för \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{{\mathrm{cell}}}}\) vid en given frekvens är lika med ett, är bandstrukturen dubbelt degenererad, vilket därför är den maximala frekvensdegeneration som systemet tillåter. Eftersom den allmänna formen av egenvärdena för \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a}M_{{{{\mathrm{cell}}}}\) på ett band är \(\upsilon _ \pm = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a}\left( {\alpha _{\mathrm{R}}} \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}}^2 – \left| \beta \right|^2} } \right) = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}}a}}\), det andra egenvärdet \(e^{ – 2i\,k_{\\mathrm{B}}}a}\) kan bara bli lika med ett vid Brillouinzonens kanter \(\left( {k_{\mathrm{B}}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)\), eller vid kB = 0. Följaktligen kan bandgapen endast stängas vid Brillouinzonens centrum eller kant, dvs. när konturen \(\mathcal{C}\) berör konen.

Antagen det första fallet, dvs. en degeneration vid \(k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}\), har man \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a} = – 1\). Vi erhåller, vid den speciella frekvensen av degenerationen,

$$$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a}M_{{{\mathrm{cell}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \mp i\left| \beta \right|} & { – \beta \ast } \\\ { – \beta } & {1 \pm i\left| \beta \right|} \end{array}} \right)$$
(23)

och denna matris kan bara vara lika med identiteten om \(\left| \beta \right| = 0\). Det andra fallet av degeneration vid kB = 0 leder till samma slutsats \((\left| \beta \right| = 0)\). Detta innebär att när två band berör varandra når konturen \(\mathcal{C}\) konens spets, vilket bekräftas av fig. 6b.

Bandenas topologi

Som vi sett i tidigare avsnitt definierar varje band en mappning mellan Brillouincirkeln och ett underutrymme av SU(1,1)-matriser. Vi definierar nu en topologisk invariant för varje band, dvs. en heltalsmängd som är invariant vid kontinuerliga transformationer av bandstrukturen. Detta innebär att detta tal endast kan förändras när bandet genomgår en diskontinuerlig transformation, dvs. rör vid ett annat band, eller på motsvarande sätt när konturen \(\mathcal{C}\) rör vid konens spets.

Som i den standardiserade SSH-modellen med snäv bindning behöver vi en extra symmetri, som påminner om den chirala symmetrin, för att kunna definiera topologiska invarianter för varje band. Här behöver vi kräva att spridningsmatriserna S1 och S2 är lika, med θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α1,2 = α och φ1 = φ2 = φ. Med detta extra villkor blir kvantiteten \(\beta = M_{21}\left( {\omega (k_{\mathrm{B}})} \right)\) i Eq. 14, som parametrar matrisen Mcell på ett band, blir

$$$\beta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – 2e^{i\left( {\varphi – \alpha } \right)}\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}} \right)\cot \theta \csc \theta,$$
(24)

där kvantiteterna α, θ och φ som parametrar S-matrisen för ett enskilt hinder i allmänhet beror på ω(kB). Vi antar sedan fallet med icke-resonanta spridare, vilket innebär att cos θ inte försvinner på bandet och att variationen av α och θ på bandet är försumbar. Eftersom Mcell alltid har två komplexkonjugerade unimodulära egenvärden är ω(kB) nödvändigtvis monoton mellan -π/a och 0. Låt oss rikta vår uppmärksamhet mot kvantiteten \(\(\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}} \right)\), vilket potentiellt kan få det komplexa talet β(kB) att försvinna i en viss punkt i Brillouinzonen. När kB går från -π/a till 0 rör sig vinkeln \(\gamma = \alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}\) monotont mellan två reella värden, låt oss säga γmin och γmax, vilket definierar en kontinuerlig monoton avbildning mellan \(\left\) till . Nu kan två situationer uppstå:

  1. (1)

    Segmentet innehåller inte π/2 (modulo π), i vilket fall \(\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}} \right)\) försvinner aldrig när kB går från -π/a till 0. Detta innebär att β aldrig försvinner på bandet.

  2. (2)

    Segmentet innehåller π/2 (modulo π), i vilket fall β försvinner minst en gång på bandet.

Då β = 0 innebär att konturen \(\mathcal{C}\) korsar konaxeln, kan vi därför definiera en topologisk invariant η på följande sätt: Vi kan räkna antalet gånger η som \(\mathcal{C}\) korsar konaxeln när kB går från -π/a till 0. Detta heltal ändras varje gång γmax eller γmin är lika med π/2 (modulo π), dvs. när β är noll antingen vid kanten eller i centrum av Brillouinzonen, dvs. när en bandgap stängs. Figur 6 visar hur konturen \(\mathcal{C}\) utvecklas för det tredje bandet i vårt system, när man går från den triviala regimen (panel a, \(\mathcal{C}\) korsar inte konaxeln, η = 0) till den topologiska (panel c, \(\mathcal{C}\) korsar konaxeln, η = 1). Vid den topologiska fasövergången berör konturen \(\mathcal{C}\) konens spets, vilket stänger bandgapet, och talet η är inte definierat.

Symmetriskt skydd

Definitionen av den topologiska invarianten η som antalet gånger konturen \(\mathcal{C}\) korsar konens axel mellan -π/a till 0 bygger på två underliggande symmetrier, och båda måste vara uppfyllda:

  1. (1) Tidsreversal symmetri, som garanterar att Mcell tillhör SU(1,1)55.

  1. (2) Jämlikhet mellan S1 och S2 (de individuella spridningsmatriserna i fjärrfältet för de båda hindren måste vara identiska), eller motsvarande:

$$$M_{{\mathrm{cell}}}^2 = 1.$$$
(25)

Oppenbarligen ändrar den horisontella positionsstörningen inte objektets individuella spridningsparametrar. Dessutom ändrar inte heller vertikal positionsstörning dem, vilket visas i kompletterande figur 12 (den enda skillnaden i spridningsspektrumet är mycket skarpa nanointerferenser som uppstår genom koppling till ett akustiskt bundet tillstånd i kontinuumet, men de ligger långt ifrån det intressanta frekvensområdet). Som en följd av detta bryts inte positionsstörningen \(M_{{{\mathrm{cell}}}^2 = 1\). Om man ändrar diametern på en stav ändras dock definitivt dess spridningsmatris. Vad som händer i fallet med stavar med olika radier är att den verkliga och imaginära delen av kvantiteten

$$$\beta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – e^{\\frac{{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}\csc \theta _1\cot \theta _2 – e^{ – \frac{{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}\cot \theta _1\csc \theta _2$$$
(26)

är aldrig samtidigt noll, vilket innebär att konturen \(\mathcal{C}\) kan undvika att korsa konens axel genom att helt enkelt gå runt den. Detta är analogt med en SSH-kedja utan kiralsymmetri, där några korrekt valda kiralitetsbrytande defekter vid ett gränssnitt kan ändra lindningsantalet utan att stänga bandgapet. Dessa resultat förklarar resultatet av fullvågssimuleringarna som presenteras i figur 3 i huvudtexten.

Numeriska metoder

Fullvågssimuleringarna är alla utförda med Comsol Multiphysics (akustik- och RF-moduler). Dispersionskurvor erhålls genom att betrakta en enda enhetscell i gittermatriserna, tillämpa Floquet-gränsvillkor på enhetscellens sidosidor och utföra egenfrekvenssimuleringar för alla Floquet-Bloch-vågenumbers.

För att erhålla frekvensspektren för ODE-lösarna exciterar vi systemet med en infallande plan våg med enhetsamplitud och mäter tryckmängden på transmissionssidan av vågledaren.

För att korsvalidera våra experimentella mätningar utförde vi numeriska finita element-simuleringar inklusive en viskotermisk förlust på 1,15 dB/m för att uppnå en överföringsfunktion X(ω), till exempel mellan de injicerade och överförda ljudvågorna. Vi fick sedan fram högtalarens överföringsfunktion Y(ω) genom att excitera den tomma vågledaren och mäta den tillhörande ljudtrycksnivån på transmissionssidan. Överföringsfunktionen Z(ω), mellan den spänning som läggs på högtalaren och det överförda trycket, kunde sedan enkelt erhållas som \(Z\left( \omega \right) = X(\omega )/Y(\omega )\).

I våra FDTD-simuleringar exciterar vi vågledaren från ena änden med den önskade modulerade ingångssignalen och registrerar den tidsmässiga utvecklingen av tryckfältet (med ett tidssteg som är föremål för Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)-villkoret för att säkerställa stabilitet) som tas emot vid en punkt på andra sidan av vågledaren.

Experimentella metoder

Som nämnts i huvudtexten används ett kvadratiskt rör i akryl för att genomföra den akustiska vågledaren. Cylindrar av nylon 6 i kontinuerlig gjutning sattes sedan in manuellt i vågledaren för att bilda en matris av SSH-typ. Kompletterande figur 13a visar den experimentella uppställning som används för att uppnå systemets överföringsfunktion. Uppställningen innehåller en högtalare, en Data Physics Quattro-signalanalysator ansluten till en dator (visas inte i figuren) som styr den, en ICP-mikrofon som mäter den överförda ljudtrycksnivån och en hemmabyggd ekoavslutning (visas inte i figuren). För att få fram provets överföringsfunktion driver vi högtalaren med en brusspänning (som är inställd som referenssignal i inställningen) och mäter trycknivån i förhållande till referenskanalen med hjälp av ICP-mikrofonen. Kompletterande figur 13b visar den experimentella uppställning som används för att skapa en ingångssignal (spänning) med en godtycklig tidsprofil \(\tilde g(t)\) och för att mäta den tidsmässiga utvecklingen av utgångssignalen \(\tilde f(t)\). Uppställningen består av en Speedgoat Performance Real-Time Target Machine med IO131-gränssnitt som styrs av xPC-målmiljön i MATLAB/Simulink, en högtalare, en effektförstärkare, en hemmagjord akustisk terminering (visas inte i figuren) och en ICP-mikrofon som mäter det överförda trycket.