The curious powers of 1 + sqrt 2

Nedávno Colin Wright na mathstodon.xyz zveřejnil následující hádanku:

Jaká je 99. číslice napravo od desetinné čárky v desetinném rozkladu ?

K nalezení odpovědi samozřejmě stačí použít počítač; každý jazyk nebo softwarový systém, který umí počítat s reálnými čísly s libovolnou přesností, dokáže najít správnou odpověď za zlomek sekundy. Ale o to zřejmě nejde! Můžeme použít logické uvažování, abychom odvodili nebo dokázali správnou odpověď, aniž bychom museli provádět spoustu výpočtů? A i když odpověď najdeme výpočtem, dokážeme vysvětlit, proč je to správná odpověď? Řešení této hádanky mě zavedlo do fascinující králičí nory, o kterou bych se s vámi rád podělil během příštího příspěvku nebo tří či osmi.

Prozatím vás nechám o hádance přemýšlet. Ačkoli použití počítače k jednoduchému výpočtu odpovědi je podvod, doporučuji použít počítač nebo kalkulačku k vyzkoušení menších příkladů a hledání vzorů. Není příliš těžké spatřit vzorec a domyslet si správnou odpověď; zajímavé je samozřejmě přijít na to, proč se tento vzorec vyskytuje, a dokázat, že trvá.

.