Topologické analogové zpracování signálů

BY admin

| 19 listopadu, 2021

Blochův vlastní problém
Vlastnosti přenosové matice jednotkové buňky
Topologie pásů
Ochrana symetrie
Numerické metody
Experimentální metody

Blochův vlastní problém

Objemový krystal je jednorozměrný s mřížkovou konstantou a a dvěma překážkami na jednotkovou buňku. Modelujeme jej a definujeme jeho topologii pomocí přenosové matice Mcell jednotkové buňky. Začneme definicí dvou matic rozptylu S1 a S2, jako matic rozptylu ve vzdáleném poli každé překážky, když je sama v monomódovém vlnovodu. Tyto matice vztahují vycházející komplexní signály na levé (L) a pravé (R) straně rozptylovačů bL a bR k dopadajícím signálům aL a aR:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ {b_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = S_i\left( {\begin{array}{*{20}{c}}) {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ {a_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \pravo).$$

(2)

Poznamenejme, že prozatím nepředpokládáme, že obě matice jsou stejné: válce mohou mít například různé průřezy nebo být vůči sobě posunuty atd. Tyto matice také obvykle závisí na úhlové frekvenci ω. Za předpokladu zachování energie během procesu rozptylu musí být jednotkové. Můžeme je proto velmi obecně parametrizovat jako

$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}. {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\alfa _1}{\mathrm{sin}}theta _1} \\ { – e^{ – i\alfa _1}{\mathrm{sin}}theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}} & {e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}} \end{array}} \right),$$

(3)

$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\alfa _2}{\mathrm{sin}}theta _2} \\ { – e^{ – i\alfa _2}{\mathrm{sin}}theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}} & {e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}} \end{array}} \right),$$

(4)

kde frekvenčně závislé úhly θ1,2, α1,2, ϕ1,2 a Φ1,2 jsou jedinečné, jakmile stanovíme referenční rovinu, zde ve střední poloze rozptylovačů. Za předpokladu reciprocity (S21 = S12) musíme mít 2α1,2 – Φ1,2 = π, což nás omezuje na tři parametry na rozptylovou matici, což umožňuje zapsat:

$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\alfa _1}{\mathrm{sin}}theta _1} \\ {e^{i\alfa _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} & { – e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{2i\alpha _1}} \end{array}} \right),$$

(5)

$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\alfa _2}{\mathrm{sin}}theta _2} \\ {e^{i\alfa _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} & { – e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{2i\alpha _2}} \end{array}} \(6)

Můžeme pak odvodit související přenosové matice M1 a M2, definované jako

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}. {{{b}}_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \\ {a_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = M_{{i}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}) {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \end{array}} \right)$$

(7)

a získáme

$$M_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{e^{i\alfa _1}}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _1}e^{i\alfa _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} \\ { – \frac{{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alfa _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} & {\frac{{e^{ – i\alfa _1}}}{{{mathrm{sin}}\theta _1}}} \end{array}} \right),$$

(8)

$$M_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{e^{i\alfa _2}}}{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _2}e^{i\alfa _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}} \\ { – \frac{{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alfa _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}} & {\frac{{e^{ – i\alfa _2}}}{{{mathrm{sin}}\theta _2}}} \end{array}} \right).$$

(9)

Jsou-li dva rozptylovače od sebe vzdáleny d v jednotkové buňce o mřížkové konstantě a, je celková přenosová matice jednotkové buňky Mcell součinem:

$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}} = {\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}{\it{M}}_2{\it{M}}_{{d}}{\it{M}}}_1{\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}$$

(10)

$$M_{{L}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{\frac{{i\omega L}}{c}}}} & 0 \\ 0 & {e^{ – \frac{{i\omega L}}{c}}} \end{array}} \right),$$

(11)

kde $L = d,\frac{{a – d}}{2},$ a c je fázová rychlost. Po provedení maticového součinu dostaneme,

$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}levá( \omega \pravá) = \levá( {\begin{array}{*{20}{c}}. {M_{11}\left( \omega \right)} & {M_{21}^ \ast \left( \omega \right)} \\ {M_{21}\levá( \omega \pravá)} & {M_{11}^ \ast \left( \omega \right)} \end{array}} \right)$$

(12)

${\it{M}}_{11}\left( \omega \right) = e^{\frac{{i\omega a}{c}}e^{i\left( {a_1 + a_2} \right)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2 + e^{\frac{{i\omega \left( {a – 2d} \right)}}{c}}e^{i\left( {\varphi _1 – \varphi _2} \right)}e^{ – i\left( {a_1 – a_2} \right)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2,$$

(13)

$$M_{21}\left( \omega \right) = – e^{\frac{{i\omega d}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2 – e^{ – \frac{{i\omega d}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2.$$

(14)

Pro označení komplexního konjugátu z používáme zápis z*. Poznamenáme-li, že |ψ〉 = T, přičemž a a b jsou dopředné a zpětné komplexní amplitudy pole na vstupu do jednotkové buňky, dostaneme aplikací Blochovy věty následující vlastní úlohu,

$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}levá( \omega \pravá)\levá| \psi \pravá\úhelník = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\left| \psi \right\rangle$$

(15)

který nazýváme Blochův vlastní problém krystalu. Všimněte si netriviální závislosti Mcell(ω) na ω. Nejjednodušší využití výše uvedené rovnice je následující: pro všechny hodnoty ω lze diagonalizovat Mcell(ω) a získat dvě opačné hodnoty ±kB(ω) Blochova vlnočtu v první Brillouinově zóně a vyřešit pásovou strukturu. Všimněte si, že Mcell není unitární a je nehermitovský, což znamená, že obecně jsou hodnoty ±kB(ω) komplexní, což v principu umožňuje nekonečný počet pásů a pásových mezer. Všimněte si dále rozdílu oproti standardnímu modelu SSH s těsnou vazbou, který vede k hermitovskému problému vlastních čísel, jenž mapuje Brillouinův kruh do prostoru SU(2) matic, a jasné topologické klasifikaci chirálně symetrických systémů prostřednictvím čísla vinutí. Zde je v souladu s časovou reverzní symetrií54 $M_{{\mathrm{cell}}}levá( \omega \pravá) \v {\mathrm{{SU}}(1,1)$, skupina nehermitovských matic55. SU(1,1) Hamiltoniány se vyskytují například v PT-symetrických rozšířeních modelu SSH s těsnou vazbou56 , kde nehermitovost Hamiltoniánu pramení z absence zachování energie. Zde Mcell není hamiltoniánem v tom smyslu, že jeho vlastní hodnoty nejsou vztaženy k ω, ale ke kB, a pseudoantihermiticita Mcell (\(\sigma _{\mathrm{z}}{\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}^{\mathrm{\dagger }}\sigma _{\mathrm{z}} = – {\it{M}}_{{{\mathrm{cell}}}) souvisí s časovou symetrií. Na doplňkovém obr. 11 je znázorněna pásmová struktura získaná z přístupu přenosové matice a je porovnána se strukturou získanou přímo z plnovlnných simulací jednotkové buňky vystavené periodickým okrajovým podmínkám (metoda konečných prvků). Pro řešení úlohy vlastních čísel přenosové matice byly parametry θ1,2, α1,2 a Φ1,2, které závisí na frekvenci, získány ze simulací rozptylu jediné překážky ve vlnovodu metodou FEM. Vzdálenost mezi oběma rozptylovači se považuje za \(d = \frac{a}{2} – e_{\mathrm{p}}), přičemž ep = 2,8 cm („triviální“ případ) a a = 23 cm. Průměr tyče je 3,5 cm a šířka vlnovodu je 7 cm. Shoda mezi oběma přístupy potvrzuje přesnost modelu vícenásobného rozptylu, zejména základní předpoklad neexistence interakcí blízkého pole mezi překážkami v krystalu.

Vlastnosti přenosové matice jednotkové buňky

Pro definování topologie systému v následující části musíme nejprve stanovit několik klíčových vlastností přenosové matice jednotkové buňky. Začneme obecnými vlastnostmi, než přejdeme ke konkrétnějším vlastnostem na pásu nebo v degenerovaných bodech pásové struktury.

Jako přímý důsledek časové reverzní symetrie54 patří přenosová matice systému Mcell do grupy SU(1,1) matic tvaru

$$M_{{{mathrm{{{buňka}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}. \alfa & {\beta ^ \ast } \\ \beta & {\alfa ^ \ast } \end{array}} \pravo)$$

(16)

který je parametrizován pomocí Pauliho matic jako

$${\it{M}}_{{{\mathrm{cell}}} = \alfa _{\mathrm{R}}\sigma _0 + \beta _{\mathrm{R}}\sigma _x + \beta _{\mathrm{I}}\sigma _y + i\alfa _{\mathrm{I}}\sigma _{\mathrm{z}}.$$

(17)

Jeho vlastní hodnoty dané $\lambda _ \pm = \alfa _{\mathrm{R}}. \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2}$ jsou reálné, když $\alpha _{\mathrm{I}}^2 < \left| \beta \right|^2$, a komplexní v opačném případě. Tato vlastní čísla jsou degenerovaná za podmínky $\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2 = 0$, tj. když parametry βR, βI a αI patří do dvojitého kužele v prostoru (βR, βI, αI). Tento kužel je znázorněn na spodních panelech obr. 6. Na vrcholu kužele máme βR = βI = αI = 0, což znamená, že Mcell se redukuje na Mcell = αRσ0.

Na pásu má matice Mcell zvláštní tvar. Z Blochova vlastního problému totiž vyplývá, že $\alfa _{\mathrm{R}}. \pm i\sqrt {\alfa _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}$, z čehož vyplývá, že

$${\it{\alfa }}_{\mathrm{R}} = {\mathrm{cos}}\left( {k_{\mathrm{B}}a} \right)$$

(18)

$$\left| \alpha \right|^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$$

(19)

implikuje $\alpha _{\mathrm{I}}^2 + \alpha _{\mathrm{R}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$, což je ekvivalentní $\alfa _{\mathrm{I}}^2 = {\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2$, nebo

$${\it{\alfa }}_{\mathrm{I}} = \pm \sqrt {{\mathrm{sin}}^2({\it{k}}_{\mathrm{B}}{\it{a}}) + \left| \beta \right|^2}.$$

(20)

Na pásmu tedy máme

$$M_{{\mathrm{cell}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}. {{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \pm i\sqrt {{\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } & {\beta \východní } \\ \beta & {{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \mp i\sqrt {{\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } \end{array}} \pravá).$$

(21)

Výsledkem je, že pás popisuje mapování jedna ku jedné z Brillouinova kruhu na uzavřenou cestu $\mathcal{C}$ v podprostoru SU(1,1) matic Mcell(kB) s výše uvedeným tvarem. Z Blochovy úlohy vlastních čísel $M_{{\mathrm{cell}}}levá( \omega \pravá)\levá| \psi \pravá\kruh = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\levá| \psi \pravá\kruh$, lze odvodit, že na pásmu má Mcell(ω) komplexní vlastní hodnoty, což znamená, že $\alpha _{\mathrm{I}}^2 > \left| \beta \right|^2$, tj.tj. cesta $\mathcal{C}$ musí být uvnitř kužele, buď v horní oblasti αI > |β|, nebo v dolní oblasti αI < -|β|. Kromě toho se cesta $\mathcal{C}$ může dotýkat kužele pouze tehdy, když jsou vlastní hodnoty Mcell, konkrétně $e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}$, degenerované. To nutně platí pro okraje Brillouinovy zóny $\left( {k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)$ a pro její střed kB = 0. Mezi nimi se $\mathcal{C}$ nemůže kuželu dotýkat, protože z důvodu časové symetrie musí být nalezena dvě různá vlastní čísla $e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}a}$. A konečně, cesta $\mathcal{C}$ není smyčka, ale jednoduchá přímka, protože Mcell je jednoduchá funkce ω, a proto je stejná pro dvě opačné hodnoty kB na pásmu: začíná na kuželu v bodě $k_{\mathrm{B}} = – \frac{\pi }{a}$ a opět na něm přistane při kB = 0, načež sleduje opačnou cestu mezi kB = 0 a $k_{\mathrm{B}} = \frac{\pi }{a}$. Na obr. 6a je příklad kontury \(\mathcal{C}}) pro třetí pás krystalu (údajně topologicky „triviální“ případ s ep = 2,8 cm) a na obr. 6c je tatáž kontura pro ep = -2,8 cm, což odpovídá duálnímu systému, který je údajně topologický (topologické vlastnosti budou prokázány v následující části). Obrázek 6b představuje případ ep = 0 cm, který uzavírá pásmové mezery. Jak se dalo očekávat, ve všech případech obrys začíná a končí na kuželu.

Pro studium podmínek, za kterých se mohou dotýkat dvě po sobě jdoucí frekvenční pásma, je vhodné přepracovat Blochův vlastní problém do ekvivalentního tvaru:

$$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}levice( \omega \pravice)\levice| {\psi \úhelník } \pravá. = \levá| {\psi \kruh } \pravá.$$

(22)

a představte si to takto: pro každé kB v první Brillouinově zóně znamená nalezení pásem nalezení hodnot ω, pro které má matice $e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{{\mathrm{cell}}}) alespoň jednu vlastní hodnotu rovnou jedné, přičemž odpovídající vlastní vektor je Blochův vlastní vektor na daném pásmu. To se může stát pro nekonečně mnoho hodnot ω. Pokud jsou obě vlastní hodnoty \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}} na dané frekvenci rovny jedné, je pásmová struktura dvojnásobně degenerovaná, což je tedy maximální frekvenční degenerace, kterou systém umožňuje. Protože obecný tvar vlastních čísel \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}) na pásmu je \(\upsilon _ \pm = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}}levice( {\alfa _{\mathrm{R}}). \pm i\sqrt {\alfa _{\mathrm{I}}^2 – \left| \beta \right|^2} } \pravá) = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}a}}), druhá vlastní hodnota \(e^{ – 2i\,k_{\mathrm{B}}a}}) se může rovnat jednotce pouze na hranách Brillouinovy zóny \(\left( {k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)$ nebo při kB = 0. V důsledku toho se mohou pásmové mezery uzavřít pouze ve středu nebo na okraji Brillouinovy zóny, tj. když se obrys $\mathcal{C}$ dotýká kužele.

Předpokládáme-li první případ, tj. degeneraci v bodě $k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}$, máme $e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a} = – 1$. Při konkrétní frekvenci degenerace dostaneme,

$$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}) {1 \mp i\left| \beta \right|} & { – \beta \východní } \\ { – \beta } & {1 \pm i\left| \beta \right|} \end{array}} \right)$$

(23)

a tato matice může být rovna identitě pouze tehdy, když $\left| \beta \right| = 0$. Druhý případ degenerace při kB = 0 vede ke stejnému závěru $(\left| \beta \right| = 0)$. To znamená, že když se dva pásy dotýkají, dosahuje obrys $\mathcal{C}$ vrcholu kužele, jak potvrzuje obr. 6b.

Topologie pásů

Jak jsme viděli v předchozích částech, každý pás definuje mapování mezi Brillouinovým kruhem a podprostorem matic SU(1,1). Nyní definujeme topologický invariant pro každý pás, tj. celočíselnou veličinu, která je invariantní při spojitých transformacích struktury pásů. To znamená, že toto číslo se může změnit pouze tehdy, když pás projde nespojitou transformací, tj. dotkne se jiného pásu, nebo ekvivalentně, když se obrys $\mathcal{C}$ dotkne špičky kužele.

Podobně jako ve standardním modelu SSH s těsnou vazbou potřebujeme další symetrii, podobnou chirální symetrii, abychom mohli definovat topologické invarianty pro každý pás. Zde musíme požadovat, aby rozptylové matice S1 a S2 byly stejné, přičemž θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α a φ1 = φ2 = φ. S touto dodatečnou podmínkou je veličina $\beta = M_{21}\left( {\omega (k_{\mathrm{B}}))} \vpravo)$ v rovnici. 14, která parametrizuje matici Mcell na pásmu, se stává

$$\beta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – 2e^{i\left( {\varphi – \alpha } \right)}\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}. \vpravo)\cot \theta \csc \theta,$$

(24)

kde veličiny α, θ a φ, které parametrizují matici S jedné překážky, obecně závisí na ω(kB). Dále předpokládáme případ nerezonančních rozptylovačů, což znamená, že cos θ na pásmu nemizí a změny α a θ na pásmu jsou zanedbatelné. Protože Mcell má vždy dvě komplexně konjugovaná unimodulární vlastní čísla, je ω(kB) nutně monotónní mezi -π/a a 0. Zaměřme svou pozornost na veličinu $\cos \left( {\alfa + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}}. \vpravo)$, což může potenciálně způsobit, že komplexní číslo β(kB) v určitém bodě Brillouinovy zóny zmizí. Když se kB pohybuje od -π/a do 0, úhel $\gamma = \alfa + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}$ se monotónně pohybuje mezi dvěma reálnými hodnotami, řekněme γmin a γmax, což definuje spojité monotónní mapování mezi $\left$ až . Nyní mohou nastat dvě situace:

(1)
Úsečka neobsahuje π/2 (modulo π), v takovém případě $\cos \left( {\alfa + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}. \vpravo)$ nikdy nezmizí, když kB přechází z -π/a na 0. To znamená, že β nikdy nezmizí na pásmu.
(2)
Úsečka obsahuje π/2 (modulo π), v tomto případě β zmizí alespoň jednou na pásmu.

Protože β = 0 znamená, že obrys $\mathcal{C}$ protíná osu kužele, můžeme proto definovat topologický invariant η následujícím způsobem: Toto celé číslo se změní pokaždé, když se γmax nebo γmin rovná π/2 (modulo π), tj. když je β nulové buď na okraji, nebo ve středu Brillouinovy zóny, tj. když se uzavře pásová mezera. Obrázek 6 ukazuje, jak se vyvíjí obrys $\mathcal{C}$ pro třetí pás našeho systému, když se přechází z triviálního režimu (panel a, $\mathcal{C}$ neprotíná osu kužele, η = 0) do topologického (panel c, $\mathcal{C}$ protíná osu kužele, η = 1). Při topologickém fázovém přechodu se obrys $\mathcal{C}$ dotýká špičky kužele, čímž se uzavře pásová mezera, a číslo η není definováno.

Ochrana symetrie

Definice topologického invariantu η jako počtu, kdy obrys $\mathcal{C}$ protíná osu kužele mezi -π/a až 0, je založena na dvou základních symetriích a obě musí být splněny:

(1) Symetrie časové reverzace, která zaručuje, že Mcell patří do SU(1,1)55 .

(2) Rovnost S1 a S2 (individuální rozptylové matice vzdáleného pole obou překážek musí být totožné), nebo ekvivalentně:

$$M_{{\mathrm{cell}}^2 = 1.$$

(25)

Je zřejmé, že horizontální porucha polohy nemění jednotlivé parametry rozptylu objektu. Navíc je nemění ani vertikální polohová neuspořádanost, jak ukazuje doplňkový obr. 12 (jediným rozdílem v rozptylovém spektru jsou velmi ostré Fanovy interference vznikající ze spojení s akusticky vázaným stavem v kontinuu, které jsou však daleko od zájmového frekvenčního rozsahu). V důsledku toho polohová neuspořádanost neporušuje $M_{{\mathrm{cell}}^2 = 1$. Změna průměru jedné tyče však rozhodně změní její rozptylovou matici. V případě tyčí s různými poloměry se stane to, že reálná a imaginární část veličiny

$$\beta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – e^{\frac{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}\csc \theta _1\cot \theta _2 – e^{ – \frac{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}\cot \theta _1\csc \theta _2$$

(26)

nejsou nikdy současně nulové, z čehož vyplývá, že obrys $\mathcal{C}$ se může vyhnout protnutí osy kužele tím, že ji jednoduše obejde. To je analogické řetězci SSH bez chirální symetrie, kde některé vhodně zvolené defekty porušující chiralitu na rozhraní mohou změnit číslo vinutí, aniž by se uzavřela pásová mezera. Tyto výsledky vysvětlují výsledek plnovlnných simulací uvedených na obr. 3 hlavního textu.

Numerické metody

Všechny plnovlnné simulace jsou provedeny pomocí programu Comsol Multiphysics (moduly Acoustic a RF). Disperzní křivky se získají tak, že se uvažuje jedna jednotková buňka mřížkového pole, na boční strany jednotkové buňky se aplikuje Floquetova okrajová podmínka a provedou se simulace vlastních frekvencí pro všechny Floquetovy-Blochovy vlnové délky.

Pro získání frekvenčních spekter ODE řešitelů budíme systém dopadající rovinnou vlnou s jednotkovou amplitudou a měříme velikost tlaku na přenosové straně vlnovodu.

Pro křížové ověření našich experimentálních měření jsme provedli numerické simulace metodou konečných prvků včetně viskotermické ztráty 1,15 dB/m, abychom dosáhli například přenosové funkce X(ω) mezi injektovanými a přenášenými zvukovými vlnami. Přenosovou funkci reproduktoru Y(ω) jsme pak získali buzením prázdného vlnovodu a měřením související hladiny akustického tlaku na přenosové straně. Přenosovou funkci Z(ω) mezi napětím přiváděným na reproduktor a přenášeným tlakem jsme pak snadno získali jako $Z\levá( \omega \pravá) = X(\omega )/Y(\omega )$.

V našich FDTD simulacích budíme vlnovod z jednoho konce požadovaným modulovaným vstupním signálem a zaznamenáváme časový vývoj tlakového pole (s časovým krokem podléhajícím Courant-Friedrichs-Lewyho (CFL) podmínce pro zajištění stability) přijímaného v bodě na druhé straně vlnovodu.

Experimentální metody

Jak je uvedeno v hlavním textu, k realizaci akustického vlnovodu se používá akrylová čtvercová trubka. Do vlnovodu pak byly ručně vloženy kontinuálně odlévané válce z nylonu 6, které vytvořily pole typu SSH. Doplňkový obr. 13a představuje experimentální uspořádání použité k dosažení přenosové funkce systému. Sestava obsahuje reproduktor, analyzátor signálu Data Physics Quattro připojený k počítači (na obrázku není zobrazen), který jej ovládá, jeden ICP mikrofon měřící hladinu přenášeného akustického tlaku a podomácku vyrobenou anechoickou koncovku (na obrázku není zobrazena). Abychom získali přenosovou funkci vzorku, řídíme reproduktor rázovým šumovým napětím (které je v nastavení nastaveno jako referenční signál) a pomocí ICP mikrofonu měříme hladinu tlaku vzhledem k referenčnímu kanálu. Doplňkový obr. 13b ukazuje experimentální uspořádání použité k vytvoření vstupního signálu (napětí) s libovolným časovým profilem $\tilde g(t)$ a k měření časového vývoje výstupního signálu $\tilde f(t)$. Sestava se skládá ze stroje Speedgoat Performance Real-Time Target Machine s rozhraním IO131 řízeného cílovým prostředím xPC programu MATLAB/Simulink, reproduktoru, výkonového zesilovače, podomácku vyrobené akustické koncovky (na obrázku není zobrazena) a mikrofonu ICP měřícího přenášený tlak.