De mærkelige potenser af 1 + sqrt 2

For nylig postede Colin Wright følgende gåde på mathstodon.xyz:

Hvad er det 99. ciffer til højre for decimalkommaet i den decimale udvidelse af ?

Det er naturligvis enkelt nok at bruge en computer til at finde svaret; ethvert sprog eller softwaresystem, der kan beregne med reelle tal med vilkårlig præcision, kan finde det korrekte svar på en brøkdel af et sekund. Men det er naturligvis ikke det, der er pointen! Kan vi bruge logisk ræsonnement til at udlede eller bevise det korrekte svar uden at foretage en masse beregninger? Selv hvis vi finder svaret ved hjælp af beregning, kan vi så forklare, hvorfor det er det rigtige svar? Løsningen af denne gåde førte mig ned i et fascinerende kaninhul, som jeg gerne vil dele med dig i løbet af det næste indlæg eller tre eller otte.

Foreløbig vil jeg bare lade dig tænke over gåden. Selv om det er snyd at bruge en computer til blot at beregne svaret, opfordrer jeg til at bruge en computer eller lommeregner til at prøve mindre eksempler og lede efter mønstre. Det er ikke så svært at se et mønster og gætte på det rigtige svar; det interessante er naturligvis at finde ud af, hvorfor dette mønster opstår, og at bevise, at det fortsætter.