Banachraum

Lineare Operatoren, IsomorphismenBearbeiten

Wenn X und Y normierte Räume über demselben Grundfeld K sind, wird die Menge aller stetigen K-linearen Karten T : X → Y mit B(X, Y) bezeichnet. In unendlich-dimensionalen Räumen sind nicht alle linearen Abbildungen stetig. Eine lineare Abbildung von einem normierten Raum X auf einen anderen normierten Raum ist dann und nur dann stetig, wenn sie auf der geschlossenen Einheitskugel von X beschränkt ist. Der Vektorraum B(X, Y) kann also mit dem Operator norm

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ≤ 1 } bezeichnet werden. {‖ x ‖ X ≤ 1 }.

Für Y ein Banachraum, ist der Raum B(X, Y) ein Banachraum bezüglich dieser Norm.

Ist X ein Banachraum, so bildet der Raum B(X) = B(X, X) eine unitale Banachalgebra; die Multiplikationsoperation ist durch die Komposition linearer Abbildungen gegeben.

Wenn X und Y normierte Räume sind, so sind sie isomorphe normierte Räume, wenn es eine lineare Bijektion T : X → Y gibt, so dass T und seine Inverse T -1 stetig sind. Ist einer der beiden Räume X oder Y vollständig (oder reflexiv, trennbar usw.), so ist es auch der andere Raum. Zwei normierte Räume X und Y sind isometrisch isomorph, wenn außerdem T eine Isometrie ist, d.h., ||T(x)|| = ||x|| für jedes x in X. Der Banach-Mazur-Abstand d(X, Y) zwischen zwei isomorphen, aber nicht isometrischen Räumen X und Y ist ein Maß dafür, wie sehr sich die beiden Räume X und Y unterscheiden.

GrundbegriffeBearbeiten

Das kartesische Produkt X × Y zweier normierter Räume ist nicht kanonisch mit einer Norm ausgestattet. Es sind jedoch mehrere äquivalente Normen gebräuchlich, wie

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}

und führen zu isomorphen normierten Räumen. In diesem Sinne ist das Produkt X × Y (oder die direkte Summe X ⊕ Y) vollständig, wenn und nur wenn die beiden Faktoren vollständig sind.

Wenn M ein geschlossener linearer Unterraum eines normierten Raumes X ist, gibt es eine natürliche Norm auf dem Quotientenraum X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {‖ x + M ‖ = inf ‖ x + m ‖.

Der Quotient X / M ist ein Banachraum, wenn X vollständig ist. Die Quotientenkarte von X auf X / M, die x in X zu seiner Klasse x + M schickt, ist linear, onto und hat die Norm 1, außer wenn M = X ist, in diesem Fall ist der Quotient der Nullraum.

Der geschlossene lineare Unterraum M von X heißt ein komplementärer Unterraum von X, wenn M der Bereich einer beschränkten linearen Projektion P von X auf M ist. In diesem Fall ist der Raum X isomorph zur direkten Summe von M und Ker(P), dem Kern der Projektion P.

Angenommen, X und Y sind Banachräume und T ∈ B(X, Y). Es existiert eine kanonische Faktorisierung von T als

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }} X/\operatorname {Ker} (T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }} Y}

wobei die erste Abbildung π die Quotientenkarte ist und die zweite Abbildung T1 jede Klasse x + Ker(T) im Quotienten zum Bild T(x) in Y sendet. Dies ist wohldefiniert, da alle Elemente derselben Klasse dasselbe Bild haben. Die Abbildung T1 ist eine lineare Bijektion von X / Ker(T) auf den Bereich T(X), deren Inverse nicht beschränkt zu sein braucht.

Klassische RäumeEdit

Grundlegende Beispiele für Banachräume sind: die Lp-Räume und ihre Spezialfälle, die Sequenzräume ℓp, die aus skalaren Folgen bestehen, die durch N indiziert sind; darunter der Raum ℓ1 der absolut summierbaren Folgen und der Raum ℓ2 der quadratisch summierbaren Folgen; der Raum c0 der gegen Null tendierenden Folgen und der Raum ℓ∞ der beschränkten Folgen; der Raum C(K) der stetigen skalaren Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum K, ausgestattet mit der Max-Norm,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}

Nach dem Banach-Mazur-Theorem ist jeder Banachraum isometrisch isomorph zu einem Unterraum von C(K). Für jeden trennbaren Banachraum X gibt es einen geschlossenen Unterraum M von ℓ1, so dass X ≅ ℓ1/M.

Als Beispiel für einen Banachraum dient ein beliebiger Hilbert-Raum. Ein Hilbert-Raum H auf K = R, C ist vollständig für eine Norm der Form

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}

wobei

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }

ist das innere Produkt, linear in seinem ersten Argument, das Folgendes erfüllt:

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\forall x,y\in H:\quad \langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\\\forall x\in H:\quad \langle x,x\rangle &\geq 0,\\\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x&=0.\end{aligned}}}

Zum Beispiel ist der Raum L2 ein Hilbert-Raum.

Die Hardy-Räume, die Sobolev-Räume sind Beispiele für Banach-Räume, die mit den Lp-Räumen verwandt sind und zusätzliche Struktur haben. Sie sind unter anderem in verschiedenen Zweigen der Analysis, der Harmonischen Analyse und der partiellen Differentialgleichungen wichtig.

Banach-AlgebrenEdit

Eine Banach-Algebra ist ein Banach-Raum A über K = R oder C, zusammen mit einer Struktur der Algebra über K, so dass die Produktkarte A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A stetig ist. Es kann eine äquivalente Norm auf A gefunden werden, so dass ||ab|| ≤ ||a|| ||b| für alle a, b ∈ A.

BeispieleBearbeiten

• Der Banachraum C(K) mit dem punktweisen Produkt ist eine Banachalgebra.
• Die Scheibenalgebra A(D) besteht aus Funktionen, die holomorph in der offenen Einheitsscheibe D ⊂ C und stetig auf ihrem Abschluss sind: D. Ausgestattet mit der maximalen Norm auf D ist die Scheibenalgebra A(D) eine geschlossene Unteralgebra von C(D).
• Die Wiener Algebra A(T) ist die Algebra der Funktionen auf dem Einheitskreis T mit absolut konvergenten Fourierreihen. Über die Abbildung, die eine Funktion auf T mit der Folge ihrer Fourierkoeffizienten assoziiert, ist diese Algebra isomorph zur Banach-Algebra ℓ1(Z), wobei das Produkt die Faltung von Folgen ist.
• Für jeden Banachraum X ist der Raum B(X) der beschränkten linearen Operatoren auf X, mit der Komposition der Karten als Produkt, eine Banachalgebra.
• Eine C*-Algebra ist eine komplexe Banachalgebra A mit einer antilinearen Involution a ↦ a∗, so dass ||a∗a|| = ||a||2. Der Raum B(H) der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbert-Raum H ist ein fundamentales Beispiel für eine C*-Algebra. Das Gelfand-Naimark-Theorem besagt, dass jede C*-Algebra isometrisch isomorph zu einer C*-Unteralgebra von irgendeinem B(H) ist. Der Raum C(K) der komplexen stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum K ist ein Beispiel für eine kommutative C*-Algebra, bei der die Involution jeder Funktion f ihr komplexes Konjugat f zuordnet.

Dualer RaumBearbeiten

Ist X ein normierter Raum und K das zugrundeliegende Feld (entweder die reellen oder die komplexen Zahlen), so ist der stetige Dualraum der Raum der stetigen linearen Abbildungen von X in K, oder stetige lineare Funktionale. Die Schreibweise für den kontinuierlichen Dualraum ist in diesem Artikel X ′ = B(X, K). Da K ein Banach-Raum ist (mit dem Absolutwert als Norm), ist das Dual X ′ ein Banach-Raum für jeden normierten Raum X.

Das Hauptwerkzeug zum Beweis der Existenz kontinuierlicher linearer Funktionale ist der Hahn-Banach-Satz.

Hahn-Banach-Satz. Sei X ein Vektorraum über dem Feld K = R, C. Sei ferner

• Y ⊆ X ein linearer Unterraum,
• p : X → R sei eine lineare Funktion und
• f : Y → K sei ein lineares Funktional, so dass Re( f (y)) ≤ p(y) für alle y in Y.

Dann gibt es ein lineares Funktional F : X → K , so dass F | Y = f , und ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . {\displaystyle F|_{Y}=f,\quad {\text{und}}\quad \forall x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}

Insbesondere kann jedes stetige lineare Funktional auf einem Unterraum eines normierten Raumes stetig auf den ganzen Raum ausgedehnt werden, ohne die Norm des Funktionals zu erhöhen. Ein wichtiger Spezialfall ist der folgende: für jeden Vektor x in einem normierten Raum X gibt es ein stetiges lineares Funktional f auf X, so dass

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X‘}\leq 1.}

Wenn x nicht gleich dem 0-Vektor ist, muss das Funktional f die Norm 1 haben und wird ein normierendes Funktional für x genannt.

Der Hahn-Banach-Trennungssatz besagt, dass zwei disjunkte nicht leere konvexe Mengen in einem reellen Banach-Raum, von denen eine offen ist, durch eine geschlossene affine Hyperebene getrennt werden können. Die offene konvexe Menge liegt streng auf einer Seite der Hyperebene, die zweite konvexe Menge liegt auf der anderen Seite, kann aber die Hyperebene berühren.

Eine Teilmenge S in einem Banach-Raum X ist total, wenn die lineare Spanne von S dicht in X ist. Die Teilmenge S ist total in X, wenn und nur wenn das einzige kontinuierliche lineare Funktional, das auf S verschwindet, das 0-Funktional ist: Diese Gleichwertigkeit folgt aus dem Hahn-Banach-Satz.

Ist X die direkte Summe zweier geschlossener linearer Unterräume M und N, dann ist der Dual X ′ von X isomorph zur direkten Summe der Duale von M und N. Ist M ein geschlossener linearer Unterraum in X, so kann man die Orthogonale von M im Dual assoziieren,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . {\displaystyle M^{\perp }=\left\{x’\in X‘:x'(m)=0,\ \füralle m\in M\right\}.}

Das orthogonale M ⊥ ist ein geschlossener linearer Unterraum des Duals. Der Dual von M ist isometrisch isomorph zu X ′ / M ⊥. Der Dual von X / M ist isometrisch isomorph zu M ⊥.

Der Dual eines trennbaren Banachraumes muss nicht trennbar sein, sondern:

Satz. Sei X ein normierter Raum. Wenn X ′ trennbar ist, dann ist X trennbar.

Wenn X ′ trennbar ist, kann das obige Kriterium für die Totalität verwendet werden, um die Existenz einer abzählbaren totalen Teilmenge in X zu beweisen.

Schwache TopologienBearbeiten

Die schwache Topologie auf einem Banachraum X ist die gröbste Topologie auf X, für die alle Elemente x ′ im stetigen Dualraum X ′ stetig sind. Die Normtopologie ist also feiner als die schwache Topologie. Aus dem Hahn-Banach-Trennungssatz folgt, dass die schwache Topologie Hausdorff ist, und dass eine normgeschlossene konvexe Teilmenge eines Banach-Raums auch schwach geschlossen ist. Eine normkontinuierliche lineare Abbildung zwischen zwei Banachräumen X und Y ist auch schwach kontinuierlich, d.h. kontinuierlich von der schwachen Topologie von X zu der von Y.

Ist X unendlich-dimensional, so gibt es lineare Abbildungen, die nicht kontinuierlich sind. Der Raum X∗ aller linearen Abbildungen von X auf das zugrundeliegende Feld K (dieser Raum X∗ wird als algebraischer Dualraum bezeichnet, um ihn von X ′ zu unterscheiden) induziert ebenfalls eine Topologie auf X, die feiner ist als die schwache Topologie und in der Funktionalanalysis viel weniger verwendet wird.

Auf einem Dualraum X ′ gibt es eine Topologie, die schwächer ist als die schwache Topologie von X ′, die sogenannte schwache* Topologie. Sie ist die gröbste Topologie auf X ′, für die alle Auswertungskarten x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, stetig sind. Seine Bedeutung ergibt sich aus dem Banach-Alaoglu-Theorem.

Banach-Alaoglu-Theorem. Es sei X ein normierter Vektorraum. Dann sei die geschlossene Einheitskugel B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′| ≤ 1} des dualen Raums kompakt in der schwachen* Topologie.

Der Banach-Alaoglu-Satz hängt von Tychonoffs Satz über unendliche Produkte kompakter Räume ab. Wenn X trennbar ist, ist die Einheitskugel B ′ des Duals ein metrisierbarer kompakter Raum in der schwachen* Topologie.

Beispiele für duale RäumeEdit

Der Dual von c0 ist isometrisch isomorph zu ℓ1: für jedes beschränkte lineare Funktional f auf c0 gibt es ein eindeutiges Element y = {yn} ∈ ℓ1 , so dass

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , und ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}}\in c_{0},\ \|f\|_{(c_{0})‘}=\|y\|_{\ell _{1}}.}

Der Dual von ℓ1 ist isometrisch isomorph zu ℓ∞. Das Dual von Lp() ist isometrisch isomorph zu Lq(), wenn 1 ≤ p < ∞ und 1/p + 1/q = 1.

Für jeden Vektor y in einem Hilbert-Raum H ist die Abbildung

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\in H\zu f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }

definiert ein stetiges lineares Funktional fy auf H. Der Riesz-Darstellungssatz besagt, dass jedes stetige lineare Funktional auf H die Form fy für einen eindeutig definierten Vektor y in H hat. Die Abbildung y ∈ H → fy ist eine antilineare isometrische Bijektion von H auf sein Dual H ′. Wenn die Skalare reell sind, ist diese Abbildung ein isometrischer Isomorphismus.

Wenn K ein kompakter topologischer Hausdorff-Raum ist, ist der Dual M(K) von C(K) der Raum der Radonmaße im Sinne von Bourbaki. Die Teilmenge P(K) von M(K), die aus nichtnegativen Maßen der Masse 1 (Wahrscheinlichkeitsmaßen) besteht, ist eine konvexe w*-geschlossene Teilmenge der Einheitskugel von M(K). Die Extrempunkte von P(K) sind die Dirac-Maße auf K. Die Menge der Dirac-Maße auf K, ausgestattet mit der w*-Topologie, ist homöomorph zu K.

Banach-Stein-Theorem. Wenn K und L kompakte Hausdorff-Räume sind und wenn C(K) und C(L) isometrisch isomorph sind, dann sind die topologischen Räume K und L homöomorph.

Das Ergebnis wurde von Amir und Cambern auf den Fall erweitert, dass der multiplikative Banach-Mazur-Abstand zwischen C(K) und C(L) < 2 ist. Das Theorem ist nicht mehr wahr, wenn der Abstand = 2 ist.

In der kommutativen Banach-Algebra C(K) sind die maximalen Ideale genau Kerne von Dirac-Maßen auf K,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}

Allerdings lassen sich die Maximalideale einer unitalen kommutativen Banach-Algebra nach dem Gelfand-Mazur-Theorem mit ihren Charakteren identifizieren, und zwar nicht nur als Mengen, sondern als topologische Räume: erstere mit der Hull-Kernel-Topologie und letztere mit der w*-Topologie. In dieser Identifikation kann der maximale Idealraum als eine w*-kompakte Teilmenge der Einheitskugel im dualen A ′.

Theorem betrachtet werden. Wenn K ein kompakter Hausdorff-Raum ist, dann ist der maximale Idealraum Ξ der Banach-Algebra C(K) homöomorph zu K.

Nicht jede unitale kommutative Banach-Algebra ist von der Form C(K) für einen kompakten Hausdorff-Raum K. Diese Aussage gilt jedoch, wenn man C(K) in die kleinere Kategorie der kommutativen C*-Algebren stellt. Das Gelfandsche Repräsentationstheorem für kommutative C*-Algebren besagt, dass jede kommutative unitale C*-Algebra A isometrisch isomorph zu einem C(K)-Raum ist. Der kompakte Hausdorff-Raum K ist hier wiederum der maximale Idealraum, der im Kontext der C*-Algebra auch als Spektrum von A bezeichnet wird.

BidualEdit

Ist X ein normierter Raum, so nennt man den (kontinuierlichen) Dual X ′′ des Duals X ′ bidual, oder zweites Dual von X. Für jeden normierten Raum X gibt es eine natürliche Abbildung,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\bis X“\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\füralle x\in X,\füralle f\in X’\end{cases}}}

Dies definiert FX(x) als ein stetiges lineares Funktional auf X ′, d.h. ein Element von X ′′. Die Karte FX : x → FX(x) ist eine lineare Karte von X nach X ′′. Als Folge der Existenz eines normierenden Funktionals f für jedes x in X ist diese Karte FX isometrisch, also injektiv.

Zum Beispiel wird das Dual von X = c0 mit ℓ1 identifiziert, und das Dual von ℓ1 wird mit ℓ∞, dem Raum der beschränkten Skalarfolgen, identifiziert. Unter diesen Identifikationen ist FX die Einschlusskarte von c0 nach ℓ∞. Sie ist zwar isometrisch, aber nicht onto.

Wenn FX surjektiv ist, dann heißt der normierte Raum X reflexiv (siehe unten). Als Dual eines normierten Raumes ist das Bidual X ′′ vollständig, daher ist jeder reflexive normierte Raum ein Banachraum.

Unter Verwendung der isometrischen Einbettung FX ist es üblich, einen normierten Raum X als eine Teilmenge seines Biduals zu betrachten. Wenn X ein Banachraum ist, betrachtet man ihn als geschlossenen linearen Unterraum von X ′′. Wenn X nicht reflexiv ist, ist die Einheitskugel von X eine geeignete Teilmenge der Einheitskugel von X ′′. Das Goldstine-Theorem besagt, dass die Einheitskugel eines normierten Raums schwach*-dicht in der Einheitskugel des Biduals ist. Mit anderen Worten, für jedes x ′′ im Bidual gibt es ein Netz {xj} in X, so dass

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {\displaystyle \sup _{j}\|x_{j}\|\leq \|x“\|,\ \ x“(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\quad f\in X‘.}

Das Netz kann durch eine schwach*-konvergente Folge ersetzt werden, wenn das Dual X ′ separabel ist. Andererseits können Elemente des Biduals von ℓ1, die nicht in ℓ1 sind, keine schwach*-konvergenten Folgen in ℓ1 sein, da ℓ1 schwach sequentiell vollständig ist.

Banachs TheoremeBearbeiten

Hier sind die wichtigsten allgemeinen Ergebnisse über Banach-Räume, die auf die Zeit von Banachs Buch (Banach (1932)) zurückgehen und mit dem Satz der Baire-Kategorie verbunden sind. Diesem Satz zufolge kann ein vollständiger metrischer Raum (wie ein Banach-Raum, ein Fréchet-Raum oder ein F-Raum) nicht gleich einer Vereinigung von abzählbar vielen geschlossenen Teilmengen mit leeren Innenräumen sein. Daher kann ein Banach-Raum nicht die Vereinigung abzählbar vieler geschlossener Teilräume sein, es sei denn, er ist bereits gleich einem von ihnen; ein Banach-Raum mit einer abzählbaren Hamel-Basis ist endlich-dimensional.

Banach-Steinhaus-Satz. Sei X ein Banachraum und Y ein normierter Vektorraum. Angenommen, F sei eine Sammlung kontinuierlicher linearer Operatoren von X nach Y. Das einheitliche Beschränktheitsprinzip besagt, dass, wenn für alle x in X supT∈F ||T(x)||Y < ∞ gilt, dann supT∈F ||T||Y < ∞.

Der Banach-Steinhaus-Satz ist nicht auf Banachräume beschränkt. Er kann zum Beispiel auf den Fall ausgedehnt werden, in dem X ein Fréchet-Raum ist, vorausgesetzt, dass die Schlussfolgerung wie folgt modifiziert wird: unter der gleichen Hypothese gibt es eine Nachbarschaft U von 0 in X, so dass alle T in F gleichmäßig auf U beschränkt sind,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {‖ T(x)‖ Y< ∞ .

Der Satz von der offenen Abbildung. Seien X und Y Banachräume und T : X → Y ein surjektiver stetiger linearer Operator, dann ist T eine offene Abbildung. Korollar. Jeder eineindeutige beschränkte lineare Operator von einem Banachraum auf einen Banachraum ist ein Isomorphismus. Der erste Isomorphiesatz für Banachräume. Nehmen wir an, dass X und Y Banachräume sind und dass T ∈ B(X, Y). Nehmen wir weiter an, dass der Bereich von T in Y geschlossen ist. Dann ist X/ Ker(T) isomorph zu T(X).

Dieses Ergebnis ist eine direkte Folge des vorangegangenen Banach-Isomorphiesatzes und der kanonischen Faktorisierung von beschränkten linearen Karten.

Korollar. Ist ein Banachraum X die innere direkte Summe der geschlossenen Unterräume M1, …, Mn, dann ist X isomorph zu M1 ⊕ … ⊕ Mn.

Dies ist eine weitere Konsequenz des Banachschen Isomorphiesatzes, angewandt auf die stetige Bijektion von M1 ⊕ … ⊕ Mn auf X, die (m1, …, mn) zur Summe m1 + … + mn.

Der Satz vom geschlossenen Graphen. Sei T : X → Y eine lineare Abbildung zwischen Banachräumen. Der Graph von T ist in X × Y geschlossen, wenn und nur wenn T stetig ist.

ReflexivitätBearbeiten

Der normierte Raum X heißt reflexiv, wenn die natürliche Abbildung

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X“\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\füralle x\in X,\füralle f\in X’\end{cases}}}

ist surjektiv. Reflexiv normierte Räume sind Banach-Räume.

Theorem. Ist X ein reflexiver Banachraum, so ist jeder geschlossene Unterraum von X und jeder Quotientenraum von X reflexiv.

Dies ist eine Folge des Hahn-Banach-Satzes. Wenn es einen beschränkten linearen Operator vom Banachraum X auf den Banachraum Y gibt, dann ist Y reflexiv.

Theorem. Wenn X ein Banachraum ist, dann ist X reflexiv, wenn und nur wenn X ′ reflexiv ist. Corollary. Sei X ein reflexiver Banach-Raum. Dann ist X trennbar, wenn und nur wenn X ′ trennbar ist.

In der Tat, wenn der Dual Y ′ eines Banachraums Y separabel ist, dann ist Y separabel. Wenn X reflexiv und separabel ist, dann ist das Dual von X ′ separabel, also ist X ′ separabel.

Theorem. Es sei angenommen, dass X1, …, Xn normierte Räume sind und dass X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Dann ist X reflexiv, wenn und nur wenn jedes Xj reflexiv ist.

Hilbert-Räume sind reflexiv. Die Lp-Räume sind reflexiv, wenn 1 < p < ∞. Ganz allgemein sind gleichmäßig konvexe Räume nach dem Milman-Pettis-Theorem reflexiv. Die Räume c0, ℓ1, L1(), C() sind nicht reflexiv. In diesen Beispielen nicht-reflexiver Räume X ist das Bidual X ′′ „viel größer“ als X. Unter der natürlichen isometrischen Einbettung von X in X ′′, die durch das Hahn-Banach-Theorem gegeben ist, ist der Quotient X ′′ / X nämlich unendlich-dimensional und sogar untrennbar. Robert C. James hat jedoch ein Beispiel für einen nicht-reflexiven Raum konstruiert, der gewöhnlich „James-Raum“ genannt und mit J bezeichnet wird, so dass der Quotient J ′′ / J eindimensional ist. Außerdem ist dieser Raum J isometrisch isomorph zu seinem Bidual.

Theorem. Ein Banachraum X ist reflexiv, wenn und nur wenn seine Einheitskugel in der schwachen Topologie kompakt ist.

Wenn X reflexiv ist, so folgt, dass alle geschlossenen und beschränkten konvexen Teilmengen von X schwach kompakt sind. In einem Hilbert-Raum H wird die schwache Kompaktheit der Einheitskugel sehr oft auf folgende Weise verwendet: jede beschränkte Folge in H hat schwach konvergente Teilfolgen.

Die schwache Kompaktheit der Einheitskugel bietet ein Werkzeug, um in reflexiven Räumen Lösungen für bestimmte Optimierungsprobleme zu finden. Zum Beispiel erreicht jede konvexe kontinuierliche Funktion auf der Einheitskugel B eines reflexiven Raums ihr Minimum an irgendeinem Punkt in B.

Als Spezialfall des vorhergehenden Ergebnisses, wenn X ein reflexiver Raum über R ist, erreicht jede kontinuierliche lineare Funktion f in X ′ ihr Maximum || f || auf der Einheitskugel von X. Der folgende Satz von Robert C. James liefert eine umgekehrte Aussage.

James‘ Theorem. Für einen Banach-Raum sind die folgenden zwei Eigenschaften äquivalent:

• X ist reflexiv.
• für alle f in X ′ existiert x in X mit ||x|| ≤ 1, so dass f (x) = || f ||.

Der Satz kann erweitert werden, um eine Charakterisierung schwach kompakter konvexer Mengen zu geben.

Auf jedem nicht-reflexiven Banach-Raum X gibt es stetige lineare Funktionale, die nicht normiert sind. Der Satz von Bishop-Phelps besagt jedoch, dass normhaltige Funktionale im Dual X ′ von X normdicht sind.

Schwache Konvergenzen von FolgenEdit

Eine Folge {xn} in einem Banachraum X ist schwach konvergent zu einem Vektor x ∈ X, wenn f (xn) für jede stetige lineare Funktion f im Dual X ′ zu f (x) konvergiert. Die Folge {xn} ist eine schwache Cauchy-Folge, wenn f (xn) zu einem skalaren Grenzwert L( f ) konvergiert, für jedes f in X ′. Eine Folge { fn } im Dual X ′ ist schwach* konvergent zu einem Funktional f ∈ X ′, wenn fn (x) zu f (x) für jedes x in X konvergiert. Schwach Cauchy-Folgen, schwach konvergente und schwach* konvergente Folgen sind normbeschränkt, als Folge des Banach-Steinhaus-Satzes.

Wenn die Folge {xn} in X eine schwach Cauchy-Folge ist, definiert der obige Grenzwert L ein beschränktes lineares Funktional auf dem Dual X ′, d.h., ein Element L des Biduals von X, und L ist der Grenzwert von {xn} in der schwachen*-Topologie des Biduals. Der Banachraum X ist schwach sequentiell vollständig, wenn jede schwach Cauchy-Folge schwach konvergent in X ist. Aus der vorangegangenen Diskussion folgt, dass reflexive Räume schwach sequentiell vollständig sind.

Theorem. Für jedes Maß μ ist der Raum L1(μ) schwach sequentiell vollständig.

Eine orthonormale Folge in einem Hilbert-Raum ist ein einfaches Beispiel für eine schwach konvergente Folge, deren Grenzwert gleich dem 0-Vektor ist. Die Einheitsvektorbasis von ℓp, 1 < p < ∞, oder von c0 ist ein weiteres Beispiel für eine schwach nullte Folge, d.h. eine Folge, die schwach gegen 0 konvergiert. Für jede schwach nullte Folge in einem Banach-Raum gibt es eine Folge von konvexen Kombinationen von Vektoren aus der gegebenen Folge, die normkonvergent gegen 0 ist.

Die Einheitsvektorbasis von ℓ1 ist nicht schwach Cauchy. Schwach Cauchy-Folgen in ℓ1 sind schwach konvergent, da L1-Räume schwach sequentiell vollständig sind. Eigentlich sind schwach konvergente Folgen in ℓ1 normkonvergent. Das bedeutet, dass ℓ1 die Schur-Eigenschaft erfüllt.

Ergebnisse, die die ℓ1-Basis einbeziehenEdit

Schwach konvergente Cauchy-Folgen und die ℓ1-Basis sind die entgegengesetzten Fälle der Dichotomie, die im folgenden tiefen Ergebnis von H. P. Rosenthal aufgestellt wurde.

Theorem. Sei {xn} eine beschränkte Folge in einem Banachraum. Entweder hat {xn} eine schwach Cauchy’sche Teilfolge, oder sie lässt eine Teilfolge zu, die der Standard-Einheitsvektorbasis von ℓ1 entspricht.

Ein Komplement zu diesem Ergebnis stammt von Odell und Rosenthal (1975).

Theorem. Sei X ein trennbarer Banachraum. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• Der Raum X enthält keinen geschlossenen Unterraum, der zu ℓ1 isomorph ist.
• Jedes Element des Biduals X ′′ ist die schwache* Grenze einer Folge {xn} in X.

Nach dem Goldstine-Theorem ist jedes Element der Einheitskugel B ′′ von X ′′ die schwache* Grenze eines Netzes in der Einheitskugel von X. Wenn X nicht ℓ1 enthält, ist jedes Element von B ′′ schwach*-Grenze einer Folge in der Einheitskugel von X.

Wenn der Banachraum X separabel ist, ist die Einheitskugel des Duals X ′, ausgestattet mit der Schwach*-Topologie, ein metrisierbarer kompakter Raum K, und jedes Element x ′′ im Bidual X ′′ definiert eine beschränkte Funktion auf K:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {x“(x‘),\quad \left|x“(x‘)\right|\leq \left\|x“\right\|.}

Diese Funktion ist für die kompakte Topologie von K stetig, wenn und nur wenn x ′′ tatsächlich in X liegt, betrachtet als Teilmenge von X ′′. Nehmen Sie für den Rest des Absatzes zusätzlich an, dass X nicht ℓ1 enthält. Nach dem vorhergehenden Ergebnis von Odell und Rosenthal ist die Funktion x ′′ der punktweise Grenzwert auf K einer Folge {xn} ⊂ X von stetigen Funktionen auf K, sie ist also eine Funktion der ersten Baire-Klasse auf K. Die Einheitskugel des Biduals ist eine punktweise kompakte Teilmenge der ersten Baire-Klasse auf K.

Sequenzen, schwache und schwache* KompaktheitEdit

Wenn X separabel ist, ist die Einheitskugel des Duals schwach*-kompakt nach Banach-Alaoglu und metrisierbar für die schwache*-Topologie, daher hat jede beschränkte Sequenz im Dual schwach*-konvergente Teilsequenzen. Dies gilt für trennbare reflexive Räume, aber in diesem Fall ist mehr wahr, wie unten angegeben.

Die schwache Topologie eines Banach-Raums X ist metrifizierbar, wenn und nur wenn X endlich-dimensional ist. Ist der Dual X ′ separabel, so ist die schwache Topologie der Einheitskugel von X metrifizierbar. Dies gilt insbesondere für trennbare reflexive Banachräume. Obwohl die schwache Topologie der Einheitskugel im Allgemeinen nicht metrifizierbar ist, kann man die schwache Kompaktheit mit Hilfe von Sequenzen charakterisieren.

Eberlein-Šmulian Theorem. Eine Menge A in einem Banachraum ist relativ schwach kompakt, wenn und nur wenn jede Folge {an} in A eine schwach konvergente Teilfolge hat.

Ein Banachraum X ist dann und nur dann reflexiv, wenn jede beschränkte Folge in X eine schwach konvergente Teilfolge hat.

Eine schwach kompakte Teilmenge A in ℓ1 ist normkompakt. In der Tat hat jede Folge in A schwach konvergente Teilfolgen nach Eberlein-Šmulian, die nach der Schur-Eigenschaft von ℓ1 normkonvergent sind.