Espacio de Banach

Operadores lineales, isomorfismosEditar

Si X e Y son espacios normados sobre el mismo campo terreno K, el conjunto de todos los mapas lineales continuos K T : X → Y se denota por B(X, Y). En espacios de dimensión infinita, no todos los mapas lineales son continuos. Un mapa lineal de un espacio normado X a otro espacio normado es continuo si y sólo si está acotado en la bola unitaria cerrada de X. Así, el espacio vectorial B(X, Y) puede recibir el operador norma

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ≤ 1 } . {\displaystyle ||T\|=\sup \left\\\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\|x|_{X}\leq 1\right\}.}

Para Y un espacio de Banach, el espacio B(X, Y) es un espacio de Banach con respecto a esta norma.

Si X es un espacio de Banach, el espacio B(X) = B(X, X) forma un álgebra de Banach unital; la operación de multiplicación viene dada por la composición de mapas lineales.

Si X e Y son espacios normados, son espacios normados isomorfos si existe una biyección lineal T : X → Y tal que T y su inverso T -1 son continuos. Si uno de los dos espacios X o Y es completo (o reflexivo, separable, etc.) entonces también lo es el otro espacio. Dos espacios normados X e Y son isomórficos si además T es una isometría, es decir ||T(x)|| = ||x|| para cada x en X. La distancia de Banach-Mazur d(X, Y) entre dos espacios isomórficos pero no isométricos X e Y da una medida de cuánto difieren los dos espacios X e Y.

Nociones básicasEditar

El producto cartesiano X × Y de dos espacios normados no está equipado canónicamente con una norma. Sin embargo, se suelen utilizar varias normas equivalentes, como

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\displaystyle |(x,y)||_{1}=|x\|+|y\|,\qquad ||(x,y)|_{\infty }=\max(|x\|,|y\|)}

y dan lugar a espacios normados isomorfos. En este sentido, el producto X × Y (o la suma directa X ⊕ Y) es completo si y sólo si los dos factores son completos.

Si M es un subespacio lineal cerrado de un espacio normado X, existe una norma natural sobre el espacio cociente X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\displaystyle ||x+M\|=\inf \limits _{m\in M}||x+m\|.}

El cociente X / M es un espacio de Banach cuando X es completo. El mapa cociente de X sobre X / M, enviando x en X a su clase x + M, es lineal, onto y tiene norma 1, excepto cuando M = X, en cuyo caso el cociente es el espacio nulo.

El subespacio lineal cerrado M de X se dice que es un subespacio complementado de X si M es el rango de una proyección lineal acotada P de X sobre M. En este caso, el espacio X es isomorfo a la suma directa de M y Ker(P), el núcleo de la proyección P.

Supongamos que X e Y son espacios de Banach y que T ∈ B(X, Y). Existe una factorización canónica de T como

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\\ \ T:X {\overset {{longrightarrow }} X/\operatorname {Ker} (T)\N – Y

donde el primer mapa π es el mapa del cociente, y el segundo mapa T1 envía cada clase x + Ker(T) en el cociente a la imagen T(x) en Y. Esto está bien definido porque todos los elementos de la misma clase tienen la misma imagen. El mapeo T1 es una biyección lineal de X / Ker(T) sobre el rango T(X), cuya inversa no necesita estar acotada.

Espacios clásicosEditar

Los ejemplos básicos de espacios de Banach incluyen: los espacios Lp y sus casos especiales, los espacios de secuencias ℓp que consisten en secuencias escalares indexadas por N; entre ellos, el espacio ℓ1 de secuencias absolutamente sumables y el espacio ℓ2 de secuencias cuadradas sumables; el espacio c0 de secuencias que tienden a cero y el espacio ℓ∞ de secuencias acotadas; el espacio C(K) de funciones escalares continuas sobre un espacio compacto Hausdorff K, dotado de la norma máxima,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } f ∈ C ( K ) . {\displaystyle ||f|_{C(K)}=\max{{|f(x)|:x\ en K\},\quad f\ en C(K).}

De acuerdo con el teorema de Banach-Mazur, todo espacio de Banach es isométricamente isomorfo a un subespacio de algún C(K). Para todo espacio de Banach separable X, existe un subespacio cerrado M de ℓ1 tal que X ≅ ℓ1/M.

Cualquier espacio de Hilbert sirve como ejemplo de espacio de Banach. Un espacio de Hilbert H sobre K = R, C es completo para una norma de la forma

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle |x|_{H}={sqrt {\langle x,x\rangle },}

donde

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {\desde el punto de vista de la visualización, \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }

es el producto interior, lineal en su primer argumento que satisface lo siguiente:

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{para todos los x,y} en H:\quad \langle y,x\rangle &={sobrelínea {\langle x,y\rangle }}, {\b}para todos los x en H:\quad \langle x,x\rangle &{geq 0,\langle x,x\rangle =0}{\b} {\b}end{aligned}}

Por ejemplo, el espacio L2 es un espacio de Hilbert.

Los espacios de Hardy, los espacios de Sobolev son ejemplos de espacios de Banach que están relacionados con los espacios Lp y tienen una estructura adicional. Son importantes en diferentes ramas del análisis, el análisis armónico y las ecuaciones diferenciales parciales entre otras.

Algebras de BanachEditar

Un álgebra de Banach es un espacio de Banach A sobre K = R o C, junto con una estructura de álgebra sobre K, tal que el mapa producto A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A es continuo. Se puede encontrar una norma equivalente en A para que |ab|| ≤ ||a|||b|| para todo a, b ∈ A.

EjemplosEditar

• El espacio de Banach C(K), con el producto puntual, es un álgebra de Banach.
• El álgebra de disco A(D) consiste en funciones holomorfas en el disco unitario abierto D ⊂ C y continuas en su cierre: D. Equipada con la norma máxima en D, el álgebra de disco A(D) es una subálgebra cerrada de C(D).
• El álgebra de Wiener A(T) es el álgebra de las funciones sobre el círculo unitario T con series de Fourier absolutamente convergentes. A través del mapa que asocia una función sobre T a la secuencia de sus coeficientes de Fourier, esta álgebra es isomorfa al álgebra de Banach ℓ1(Z), donde el producto es la convolución de secuencias.
• Para todo espacio de Banach X, el espacio B(X) de operadores lineales acotados sobre X, con la composición de mapas como producto, es un álgebra de Banach.
• Un álgebra C* es un álgebra de Banach compleja A con una involución antilineal a ↦ a∗ tal que ||a∗a|| = |a||2. El espacio B(H) de operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert H es un ejemplo fundamental de C*-álgebra. El teorema de Gelfand-Naimark afirma que toda C*-álgebra es isométricamente isomorfa a una C*-subálgebra de alguna B(H). El espacio C(K) de funciones complejas continuas sobre un espacio compacto de Hausdorff K es un ejemplo de C*-álgebra conmutativa, donde la involución asocia a cada función f su conjugado complejo f .

Espacio dualEditar

Si X es un espacio normado y K el campo subyacente (ya sea los números reales o los complejos), el espacio dual continuo es el espacio de los mapas lineales continuos de X a K, o funcionales lineales continuos. La notación para el dual continuo es X ′ = B(X, K) en este artículo. Dado que K es un espacio de Banach (utilizando el valor absoluto como norma), el dual X ′ es un espacio de Banach, para todo espacio normado X.

La principal herramienta para demostrar la existencia de funcionales lineales continuos es el teorema de Hahn-Banach.

Teorema de Hahn-Banach. Sea X un espacio vectorial sobre el campo K = R, C. Sea además

• Y ⊆ X un subespacio lineal,
• p : X → R sea una función sublineal y
• f : Y → K sea un funcional lineal de modo que Re( f (y)) ≤ p(y) para todo y en Y.

Entonces, existe un funcional lineal F : X → K de modo que F | Y = f , y ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . {\displaystyle F|_{Y}=f,\\texto{{y}cuadrado{para}todos los x en X,\\\nla operación {Re}(F(x))\nla p(x).}

En particular, todo funcional lineal continuo sobre un subespacio de un espacio normado puede extenderse continuamente a todo el espacio, sin aumentar la norma del funcional. Un caso especial importante es el siguiente: para todo vector x en un espacio normado X, existe un funcional lineal continuo f sobre X tal que

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {\displaystyle f(x)=|x|_{X},\quad |f|_{X’}leq 1.}

Cuando x no es igual al vector 0, la funcional f debe tener norma uno, y se denomina funcional de norma para x.

El teorema de separación de Hahn-Banach afirma que dos conjuntos convexos disjuntos no vacíos en un espacio real de Banach, uno de ellos abierto, pueden estar separados por un hiperplano afín cerrado. El conjunto convexo abierto se encuentra estrictamente en un lado del hiperplano, el segundo conjunto convexo se encuentra en el otro lado pero puede tocar el hiperplano.

Un subconjunto S en un espacio de Banach X es total si el tramo lineal de S es denso en X. El subconjunto S es total en X si y sólo si el único funcional lineal continuo que desaparece en S es el funcional 0: esta equivalencia se deduce del teorema de Hahn-Banach.

Si X es la suma directa de dos subespacios lineales cerrados M y N, entonces el dual X ′ de X es isomorfo a la suma directa de los duales de M y N. Si M es un subespacio lineal cerrado en X, se puede asociar el ortogonal de M en el dual,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . {\displaystyle M^{\perp }=\left{x’\in X’:x'(m)=0,\ para todo m\in M\right}.}

El ortogonal M ⊥ es un subespacio lineal cerrado del dual. El dual de M es isométricamente isomorfo a X ′ / M ⊥. El dual de X / M es isométricamente isomorfo a M ⊥.

El dual de un espacio de Banach separable no necesita ser separable, pero:

Teorema. Sea X un espacio normado. Si X ′ es separable, entonces X es separable.

Cuando X ′ es separable, el criterio de totalidad anterior puede utilizarse para demostrar la existencia de un subconjunto total contable en X.

Topologías débilesEditar

La topología débil sobre un espacio de Banach X es la topología más gruesa sobre X para la que todos los elementos x ′ en el espacio dual continuo X ′ son continuos. La topología de la norma es, por tanto, más fina que la topología débil. Del teorema de separación de Hahn-Banach se deduce que la topología débil es Hausdorff, y que un subconjunto convexo cerrado por norma de un espacio de Banach es también débilmente cerrado. Un mapa lineal normocontinuo entre dos espacios de Banach X e Y es también débilmente continuo, es decir, continuo desde la topología débil de X a la de Y.

Si X es infinito-dimensional, existen mapas lineales que no son continuos. El espacio X∗ de todos los mapas lineales de X al campo subyacente K (este espacio X∗ se llama espacio dual algebraico, para distinguirlo de X ′) también induce una topología sobre X que es más fina que la topología débil, y mucho menos utilizada en el análisis funcional.

Sobre un espacio dual X ′, existe una topología más débil que la topología débil de X ′, llamada topología débil*. Es la topología más gruesa sobre X ′ para la que todos los mapas de evaluación x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, son continuos. Su importancia proviene del teorema de Banach-Alaoglu.

Teorema de Banach-Alaoglu. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces la bola unitaria cerrada B ′ = {x′ ∈ X ′ : |x′|| ≤ 1} del espacio dual es compacta en la topología débil*.

El teorema de Banach-Alaoglu depende del teorema de Tychonoff sobre productos infinitos de espacios compactos. Cuando X es separable, la bola unitaria B ′ del dual es un compacto metrizable en la topología débil*.

Ejemplos de espacios dualesEditar

El dual de c0 es isométricamente isomorfo a ℓ1: para todo funcional lineal acotado f sobre c0, existe un único elemento y = {yn} ∈ ℓ1 tal que

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , y ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {\displaystyle f(x)=\n_suma _{n\n} en \mathbf {N} x_{n}y_{n},\qquad x={x_{n}}en c_{0},\ {{texto}{y} {\|f|_{(c_{0})’}=\|y|_{{cel _{1}}.

El dual de ℓ1 es isométricamente isomorfo a ℓ∞. El dual de Lp() es isométricamente isomorfo a Lq() cuando 1 ≤ p < ∞ y 1/p + 1/q = 1.

Para todo vector y en un espacio de Hilbert H, el mapeo

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\nivel x,y\nivel }

define un funcional lineal continuo fy en H. El teorema de la representación de Riesz afirma que todo funcional lineal continuo en H es de la forma fy para un vector y unívocamente definido en H. El mapeo y ∈ H → fy es una biyección isométrica antilineal de H sobre su dual H ′. Cuando los escalares son reales, este mapa es un isomorfismo isométrico.

Cuando K es un espacio topológico compacto de Hausdorff, el dual M(K) de C(K) es el espacio de medidas de Radon en el sentido de Bourbaki. El subconjunto P(K) de M(K) formado por medidas no negativas de masa 1 (medidas de probabilidad) es un subconjunto convexo w*-cerrado de la bola unitaria de M(K). Los puntos extremos de P(K) son las medidas de Dirac sobre K. El conjunto de medidas de Dirac sobre K, dotado de la topología w*, es homeomorfo a K.

Teorema de Banach-Stone. Si K y L son espacios compactos de Hausdorff y si C(K) y C(L) son isomórficos, entonces los espacios topológicos K y L son homeomórficos.

El resultado ha sido extendido por Amir y Cambern al caso en que la distancia multiplicativa Banach-Mazur entre C(K) y C(L) es < 2. El teorema deja de ser cierto cuando la distancia es = 2.

En el álgebra de Banach conmutativa C(K), los ideales máximos son precisamente núcleos de mesuras de Dirac sobre K,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}={f en C(K):f(x)=0\},\quad x en K.}

De forma más general, por el teorema de Gelfand-Mazur, los ideales maximales de un álgebra de Banach unital conmutativa pueden identificarse con sus caracteres, no sólo como conjuntos sino como espacios topológicos: los primeros con la topología hull-kernel y los segundos con la topología w*. En esta identificación, el espacio ideal máximo puede verse como un subconjunto w*-compacto de la bola unitaria en el dual A′.

Teorema. Si K es un espacio compacto de Hausdorff, entonces el espacio ideal máximo Ξ del álgebra de Banach C(K) es homeomorfo a K.

No toda álgebra de Banach unital conmutativa es de la forma C(K) para algún espacio compacto de Hausdorff K. Sin embargo, esta afirmación es válida si se coloca C(K) en la categoría más pequeña de álgebras C* conmutativas. El teorema de representación de Gelfand para las C*-álgebras conmutativas afirma que toda C*-álgebra unital conmutativa A es isométricamente isomorfa a un espacio C(K). El espacio compacto de Hausdorff K es aquí de nuevo el espacio ideal máximo, también llamado el espectro de A en el contexto de las C*-álgebras.

BidualEdit

Si X es un espacio normado, el dual (continuo) X ′′ del dual X ′ se llama bidual, o segundo dual de X. Para todo espacio normado X, existe un mapa natural,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X a X»\\F_{X}(x)(f)=f(x)&para todas las x en X,\F para todas las f en X’\Características}.

Esto define a FX(x) como un funcional lineal continuo en X ′, es decir, un elemento de X ′′. El mapa FX : x → FX(x) es un mapa lineal de X a X ′′. Como consecuencia de la existencia de un funcional normativo f para cada x en X, este mapa FX es isométrico, por tanto inyectivo.

Por ejemplo, el dual de X = c0 se identifica con ℓ1, y el dual de ℓ1 se identifica con ℓ∞, el espacio de las secuencias escalares acotadas. Bajo estas identificaciones, FX es el mapa de inclusión de c0 a ℓ∞. En efecto, es isométrico, pero no onto.

Si FX es suryectivo, entonces el espacio normado X se llama reflexivo (véase más adelante). Al ser el dual de un espacio normado, el bidual X ′′ es completo, por lo tanto, todo espacio normado reflexivo es un espacio de Banach.

Usando la incrustación isométrica FX, es habitual considerar un espacio normado X como un subconjunto de su bidual. Cuando X es un espacio de Banach, se ve como un subespacio lineal cerrado de X ′′. Si X no es reflexivo, la bola unitaria de X es un subconjunto propio de la bola unitaria de X ′′. El teorema de Goldstine afirma que la bola unitaria de un espacio normado es débilmente* densa en la bola unitaria del bidual. En otras palabras, para cada x ′′ en el bidual, existe una red {xj} en X de modo que

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {\displaystyle \sup _{j}||x_{j}||leq ||x»||,\ \ x»(f)=lim _{j}f(x_{j}),\quad f\ en X’.}

La red puede ser sustituida por una secuencia débilmente*convergente cuando el dual X ′ es separable. Por otro lado, los elementos del bidual de ℓ1 que no están en ℓ1 no pueden ser débiles*-límites de secuencias en ℓ1, ya que ℓ1 es débilmente secuencialmente completo.

Teoremas de BanachEditar

Aquí están los principales resultados generales sobre los espacios de Banach que se remontan a la época del libro de Banach (Banach (1932)) y están relacionados con el teorema de la categoría de Baire. Según este teorema, un espacio métrico completo (como un espacio de Banach, un espacio de Fréchet o un espacio F) no puede ser igual a la unión de un número contable de subconjuntos cerrados con interiores vacíos. Por lo tanto, un espacio de Banach no puede ser la unión de un número contable de subespacios cerrados, a menos que ya sea igual a uno de ellos; un espacio de Banach con una base contable de Hamel es de dimensión finita.

Teorema de Banach-Steinhaus. Sea X un espacio de Banach e Y un espacio vectorial normado. Supongamos que F es una colección de operadores lineales continuos de X a Y. El principio de acotación uniforme establece que si para todo x en X tenemos supT∈F ||T(x)||Y < ∞, entonces supT∈F ||T||Y < ∞.

El teorema de Banach-Steinhaus no se limita a los espacios de Banach. Puede extenderse, por ejemplo, al caso en que X sea un espacio de Fréchet, siempre que la conclusión se modifique como sigue: bajo la misma hipótesis, existe una vecindad U de 0 en X tal que todos los T en F están uniformemente acotados en U,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {\displaystyle \\\Nsup _{T en F}\Nsup _{x en U}\N;|T(x)|_{Y}<\Ninfty .}

El Teorema del Mapeo Abierto. Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y sea un operador lineal continuo suryente, entonces T es un mapa abierto. Corolario. Todo operador lineal acotado uno a uno de un espacio de Banach a un espacio de Banach es un isomorfismo. Primer teorema de isomorfismo para espacios de Banach. Supongamos que X e Y son espacios de Banach y que T ∈ B(X, Y). Supongamos además que el rango de T es cerrado en Y. Entonces X/ Ker(T) es isomorfo a T(X).

Este resultado es una consecuencia directa del teorema de isomorfismo de Banach anterior y de la factorización canónica de los mapas lineales acotados.

Corolario. Si un espacio de Banach X es la suma directa interna de subespacios cerrados M1, …, Mn, entonces X es isomorfo a M1 ⊕ … ⊕ Mn.

Esta es otra consecuencia del teorema del isomorfismo de Banach, aplicado a la biyección continua de M1 ⊕ … ⊕ Mn sobre X enviando (m1, …, mn) a la suma m1 + … + mn.

El teorema del gráfico cerrado. Sea T : X → Y un mapeo lineal entre espacios de Banach. El gráfico de T es cerrado en X × Y si y sólo si T es continuo.

ReflexividadEditar

El espacio normado X se llama reflexivo cuando el mapa natural

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X»\\F_{X}(x)(f)=f(x)&para todo x\ en X,\f para todo f\ en X’\final{cases}}.

es suryectiva. Los espacios normados reflexivos son espacios de Banach.

Teorema. Si X es un espacio de Banach reflexivo, todo subespacio cerrado de X y todo espacio cociente de X son reflexivos.

Esto es una consecuencia del teorema de Hahn-Banach. Además, por el teorema del mapeo abierto, si existe un operador lineal acotado desde el espacio de Banach X hacia el espacio de Banach Y, entonces Y es reflexivo.

Teorema. Si X es un espacio de Banach, entonces X es reflexivo si y sólo si X ′ es reflexivo. Corolario. Sea X un espacio de Banach reflexivo. Entonces X es separable si y sólo si X ′ es separable.

En efecto, si el dual Y ′ de un espacio de Banach Y es separable, entonces Y es separable. Si X es reflexivo y separable, entonces el dual de X ′ es separable, por lo que X ′ es separable.

Teorema. Supongamos que X1, …, Xn son espacios normados y que X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Entonces X es reflexivo si y sólo si cada Xj es reflexivo.

Los espacios de Hilbert son reflexivos. Los espacios Lp son reflexivos cuando 1 < p < ∞. Más generalmente, los espacios uniformemente convexos son reflexivos, por el teorema de Milman-Pettis. Los espacios c0, ℓ1, L1(), C() no son reflexivos. En estos ejemplos de espacios no reflexivos X, el bidual X ′′ es «mucho más grande» que X. A saber, bajo la incrustación isométrica natural de X en X ′′ dada por el teorema de Hahn-Banach, el cociente X ′′ / X es de dimensión infinita, e incluso no separable. Sin embargo, Robert C. James ha construido un ejemplo de espacio no reflexivo, normalmente llamado «el espacio de James» y denotado por J, tal que el cociente J ′′ / J es unidimensional. Además, este espacio J es isométricamente isomorfo a su bidual.

Teorema. Un espacio de Banach X es reflexivo si y sólo si su bola unitaria es compacta en la topología débil.

Cuando X es reflexivo, se deduce que todos los subconjuntos convexos cerrados y acotados de X son débilmente compactos. En un espacio de Hilbert H, la compacidad débil de la bola unitaria se utiliza muy a menudo de la siguiente manera: toda secuencia acotada en H tiene subsecuencias débilmente convergentes.

La compacidad débil de la bola unitaria proporciona una herramienta para encontrar soluciones en espacios reflexivos a ciertos problemas de optimización. Por ejemplo, toda función continua convexa en la bola unitaria B de un espacio reflexivo alcanza su mínimo en algún punto de B.

Como caso especial del resultado anterior, cuando X es un espacio reflexivo sobre R, toda función lineal continua f en X ′ alcanza su máximo || f || en la bola unitaria de X. El siguiente teorema de Robert C. James proporciona una afirmación inversa.

Teorema de James. Para un espacio de Banach las dos propiedades siguientes son equivalentes:

• X es reflexivo.
• Para toda f en X ′ existe x en X con |x|| ≤ 1, de modo que f (x) = || f ||.

El teorema puede extenderse para dar una caracterización de los conjuntos convexos débilmente compactos.

En todo espacio de Banach no reflexivo X, existen funcionales lineales continuas que no tienen norma. Sin embargo, el teorema de Bishop-Phelps afirma que los funcionales que cumplen la norma son densos por norma en el dual X ′ de X.

Convergencias débiles de secuenciasEditar

Una secuencia {xn} en un espacio de Banach X es débilmente convergente a un vector x ∈ X si f (xn) converge a f (x) para toda funcional lineal continua f en el dual X ′. La secuencia {xn} es una secuencia débilmente Cauchy si f (xn) converge a un límite escalar L( f ), para toda f en X ′. Una sucesión { fn } en el dual X ′ es débilmente* convergente a una funcional f ∈ X ′ si fn (x) converge a f (x) para toda x en X. Las sucesiones débilmente Cauchy, débilmente convergentes y débilmente* convergentes están acotadas por norma, como consecuencia del teorema de Banach-Steinhaus.

Cuando la sucesión {xn} en X es una sucesión débilmente Cauchy, el límite L anterior define un funcional lineal acotado en el dual X′, es decir, un elemento L del bidual de X, y L es el límite de {xn} en la topología débil* del bidual. El espacio de Banach X es débilmente completo secuencialmente si toda secuencia débilmente Cauchy es débilmente convergente en X. De la discusión anterior se deduce que los espacios reflexivos son débilmente completos secuencialmente.

Teorema. Para toda medida μ, el espacio L1(μ) es débilmente secuencialmente completo.

Una secuencia ortonormal en un espacio de Hilbert es un ejemplo sencillo de una secuencia débilmente convergente, con límite igual al vector 0. La base vectorial unitaria de ℓp, 1 < p < ∞, o de c0, es otro ejemplo de secuencia débilmente nula, es decir, una secuencia que converge débilmente a 0. Para toda secuencia débilmente nula en un espacio de Banach, existe una secuencia de combinaciones convexas de vectores de la secuencia dada que es normaconvergente a 0.

La base vectorial unitaria de ℓ1 no es débilmente Cauchy. Las secuencias débilmente Cauchy en ℓ1 son débilmente convergentes, ya que los espacios L1 son débilmente secuencialmente completos. En realidad, las secuencias débilmente convergentes en ℓ1 son convergentes por norma. Esto significa que ℓ1 satisface la propiedad de Schur.

Resultados que implican la base ℓ1Editar

Las secuencias débilmente Cauchy y la base ℓ1 son los casos opuestos de la dicotomía establecida en el siguiente resultado profundo de H. P. Rosenthal.

Teorema. Sea {xn} una secuencia acotada en un espacio de Banach. O bien {xn} tiene una subsecuencia débilmente Cauchy, o bien admite una subsecuencia equivalente a la base vectorial unitaria estándar de ℓ1.

Un complemento de este resultado se debe a Odell y Rosenthal (1975).

Teorema. Sea X un espacio de Banach separable. Los siguientes son equivalentes:

• El espacio X no contiene un subespacio cerrado isomorfo a ℓ1.
• Cada elemento del bidual X ′′ es el límite débil* de una secuencia {xn} en X.

Por el teorema de Goldstine, todo elemento de la bola unitaria B ′′ de X ′′ es límite débil* de una red en la bola unitaria de X. Cuando X no contiene ℓ1, cada elemento de B ′′ es débil*-límite de una sucesión en la bola unitaria de X.

Cuando el espacio de Banach X es separable, la bola unitaria del dual X ′, equipado con la topología débil*, es un espacio compacto metrizable K, y cada elemento x ′′ en el bidual X ′′ define una función acotada sobre K:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {\displaystyle x’\in K\mapsto x»(x’),\quad \left|x'(x’)\right||leq \left|x»\right||.}

Esta función es continua para la topología compacta de K si y sólo si x ′′ está realmente en X, considerado como subconjunto de X ′′. Supongamos además para el resto del párrafo que X no contiene ℓ1. Por el resultado anterior de Odell y Rosenthal, la función x ′′ es el límite puntual en K de una secuencia {xn} ⊂ X de funciones continuas en K, es por tanto una función de primera clase Baire en K. La bola unitaria del bidual es un subconjunto compacto puntual de la primera clase Baire en K.

Secuencias, compacidad débil y débil*Editar

Cuando X es separable, la bola unitaria del dual es débil*-compacta por Banach-Alaoglu y metrizable para la topología débil*, por lo que toda secuencia acotada en el dual tiene subsecuencias débilmente* convergentes. Esto se aplica a los espacios reflexivos separables, pero en este caso es más cierto, como se indica a continuación.

La topología débil de un espacio de Banach X es metrizable si y sólo si X es de dimensión finita. Si el dual X ′ es separable, la topología débil de la bola unitaria de X es metrizable. Esto se aplica en particular a los espacios de Banach reflexivos separables. Aunque la topología débil de la bola unitaria no es metrizable en general, se puede caracterizar la compacidad débil mediante secuencias.

Teorema de Eberlein-Šmulian. Un conjunto A en un espacio de Banach es relativamente débilmente compacto si y sólo si toda secuencia {an} en A tiene una subsecuencia débilmente convergente.

Un espacio de Banach X es reflexivo si y sólo si cada secuencia acotada en X tiene una subsecuencia débilmente convergente.

Un subconjunto débilmente compacto A en ℓ1 es normocompacto. En efecto, toda sucesión en A tiene subsecuencias débilmente convergentes por Eberlein-Šmulian, que son convergentes por norma por la propiedad de Schur de ℓ1.