La evolución del modelo de área: De Primaria a Álgebra
Cuando los niños empiezan a aprender a multiplicar números, una de las primeras cosas que aprenden es a hacer un patrón con los objetos de una matriz. Cuentan los manipulables y se dan cuenta de que hay una longitud y una anchura. También pueden contar todos los manipulables para encontrar un total. A partir de esta experiencia temprana, los estudiantes comienzan un primer paso hacia una habilidad que continuará construyendo todo el camino a través de álgebra de la escuela secundaria.
Cuando Common Core y otros planes de estudio comenzaron a enfatizar los algoritmos no estándar sobre los métodos tradicionales que muchos adultos utilizaron exclusivamente en la escuela, hubo una reacción. Aparecieron por todas partes memes e hilos de Internet dedicados a criticar estos métodos no estándar por considerarlos demasiado engorrosos o ineficientes. Se olvidaba el propósito de la enseñanza y el aprendizaje de estos métodos, como el modelo de área, en el desarrollo matemático de nuestros alumnos. Los métodos como el modelo de área se desarrollan con el propósito de obtener una comprensión duradera de la mecánica de las matemáticas y no simplemente la respuesta a un problema matemático rápido. El algoritmo estándar es a menudo la forma más eficiente de resolver un problema, pero a menudo oculta el razonamiento de las matemáticas a los estudiantes que aprenden a realizar trabajos más complicados a edades cada vez más tempranas. Sí, el modelo de área parece muy diferente de las matemáticas que muchos de nosotros hicimos cuando éramos niños, pero la mecánica es la misma.
Los modelos de área y las matrices se basan en un pensamiento simple: la longitud de un rectángulo por su anchura será igual al área total. El primer modelo de área que los estudiantes utilizan es un simple arreglo físico.
¡Este modelo básico es en realidad la base para el aprendizaje que continuará a través de la escuela secundaria! ¿Cómo se puede utilizar este modelo para fomentar la comprensión de los jóvenes estudiantes? El uso más importante de este modelo es la diferencia visual entre el aspecto de la suma y la multiplicación. Hace más clara la diferencia entre 6 + 4 y 6 x 4. Esta distinción será muy importante cuando los alumnos empiecen a estudiar el orden de las operaciones. Una vez que los alumnos dominan las operaciones de multiplicación, pasan a la multiplicación de dos dígitos. Aquí es donde los modelos toman el giro que muchos adultos comienzan a sentirse incómodos con las matemáticas!
¿Tus alumnos tienen problemas para llevar el modelo físico al algoritmo? Pruebe este consejo: haga que sus alumnos construyan matrices físicas encima de la tabla de multiplicar. Esto les ayudará a ver la relación entre el modelo que están construyendo y los hechos que están trabajando en el aprendizaje!
El uso de manipulativos como los bloques de base diez para mostrar las relaciones de valor posicional es el siguiente paso en la evolución del modelo de área. Este método puede ser complicado para los educadores y los padres que no están acostumbrados a cómo funcionan las relaciones de longitud y anchura dentro de cada una de las unidades de los bloques de base diez. Otro aspecto de este modelo que puede resultar difícil es la capacidad de los bloques para representar diferentes valores. Cuando se trabaja con la multiplicación de números enteros, el cubo de unidades representa el uno, pero cuando se trabaja con decimales, el cubo de unidades representa la centésima. El uso de la modelización del valor posicional muestra a los alumnos por qué debe colocarse un cero cuando se multiplican 2 dígitos por 2 dígitos. También puede dar a los estudiantes que tienen menos confianza con la multiplicación un puente para pasar de la multiplicación de 1 dígito a problemas más complejos.
Una vez que los estudiantes llegan a alrededor de quinto o sexto grado, el uso de modelos de área toma otra transformación. El modelo concreto se mueve hacia una representación visual. En el caso de los decimales, esto suele adoptar la forma de una cuadrícula de centenas. El uso de este modelo es una de las mejores maneras de que los alumnos comprendan por qué los decimales no están alineados en un problema de multiplicación. Cuando los estudiantes están expuestos sólo al trabajo con algoritmos, a menudo tienen problemas para recordar cuándo hay que alinear los decimales y cuándo hay que mover un decimal. Darles a entender el porqué de la colocación de los decimales les ayudará a tener una memoria y una comprensión más natural del concepto, y no necesitarán confiar tanto en la memorización. Además, cuando los alumnos utilizan un modelo de área para representar la multiplicación de fracciones, son capaces de visualizar la razón de la multiplicación de los denominadores. Después de aprender a sumar fracciones, esto es importante porque los estudiantes han implantado firmemente en sus mentes la idea de encontrar denominadores comunes como algo necesario para trabajar con fracciones. Al multiplicar, esto, por supuesto, no es necesario y dará lugar a una respuesta incorrecta. De nuevo, al igual que cuando se trabaja con decimales, muchos estudiantes se confunden con las diferencias de reglas entre las operaciones aditivas y multiplicativas.
¿Tus estudiantes tienen problemas para ver la longitud y la anchura en los modelos de área de decimales y fracciones? Prueba este consejo: Dibuja líneas numéricas a lo largo y a lo ancho. Marca primero los huecos. A continuación, resalta los enteros para hacer cuadrados unitarios de modo que el denominador pueda contarse fácilmente. Mira el vídeo de abajo para ver los pasos con una multiplicación compleja de números mixtos
Todos los modelos anteriores, aunque diferentes, tratan con la longitud y la anchura numéricas. Los modelos de área no tienen que utilizar valores numéricos y pueden utilizarse para simplificar expresiones algebraicas. Para construir modelos de área algebraicos se suele utilizar un manipulador llamado fichas de álgebra. El uso de un modelo de área para simplificar expresiones algebraicas puede utilizarse como alternativa al FOIL. Aunque muchos de los que enseñamos ahora crecimos utilizando el método FOIL, una mnemotecnia que significa primero, fuera, dentro, último, para multiplicar expresiones algebraicas, este método tiene algunas carencias evidentes. Uno de los mayores es cuando uno de los paréntesis incluye tres términos en lugar de dos. El método FOIL sólo funciona si ambos multiplicadores tienen sólo dos términos, pero no hay nada que limite los problemas algebraicos a dos términos. Los estudiantes que no tienen otro método que el FOIL probablemente se atascarán en un problema sin otro método que utilizar.
Los modelos de área son una herramienta esencial para completar la comprensión de las relaciones multiplicativas. Desde el primer uso para construir hechos de multiplicación hasta el álgebra, este modelo, aunque no es lo que la mayoría de nosotros crecimos cuando aprendimos matemáticas, es uno de los mejores métodos para crear un modelo de comprensión constante y comprensible para los estudiantes. Aunque las matemáticas se vuelvan más complejas, cada vez se puede hacer sentir que es algo ya conocido utilizando un modelo familiar de resolución.
