Opérations binaires

Opération binaire

De même que l’on obtient un nombre lorsque deux nombres sont soit additionnés, soit soustraits, soit multipliés, soit divisés. Les opérations binaires associent deux éléments quelconques d’un ensemble. La résultante des deux est dans le même ensemble. Les opérations binaires sur un ensemble sont des calculs qui associent deux éléments de l’ensemble (appelés opérandes) pour produire un autre élément du même ensemble.

Les opérations binaires * sur un ensemble non vide A sont des fonctions de A × A vers A. L’opération binaire, * : A × A → A. C’est une opération de deux éléments de l’ensemble dont les domaines et co-domaines sont dans le même ensemble.

L’addition, la soustraction, la multiplication, la division, l’exponentielle sont quelques-unes des opérations binaires.

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Propriétés de l’opération binaire

• Propriété de fermeture : Une opération * sur un ensemble non vide A possède la propriété de fermeture, si a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
• Les additions sont les opérations binaires sur chacun des ensembles des nombres naturels (N), des nombres entiers (Z), des nombres rationnels (Q), des nombres réels(R), des nombres complexes(C).

Les additions sur l’ensemble de tous les nombres irrationnels ne sont pas les opérations binaires.

• La multiplication est une opération binaire sur chacun des ensembles des nombres naturels (N), des nombres entiers (Z), des nombres rationnels (Q), des nombres réels(R), du nombre complexe(C).

La multiplication sur l’ensemble de tous les nombres irrationnels n’est pas une opération binaire.

• La soustraction est une opération binaire sur chacun des ensembles des nombres entiers (Z), des nombres rationnels (Q), des nombres réels(R), du nombre complexe(C).

La soustraction n’est pas une opération binaire sur l’ensemble des nombres naturels (N).

• Une division n’est pas une opération binaire sur l’ensemble des nombres naturels (N), des nombres entiers (Z), des nombres rationnels (Q), des nombres réels(R), des nombres complexes(C).
• L’opération exponentielle (x, y) → xy est une opération binaire sur l’ensemble des nombres naturels (N) et non sur l’ensemble des nombres entiers (Z).

Types d’opérations binaires

Commutative

Une opération binaire * sur un ensemble A est commutative si a * b = b * a, pour tout (a, b) ∈ A (ensemble non vide). Soit l’addition l’opération binaire commutative pour a = 8 et b = 9, a + b = 17 = b + a.

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Associatives

La propriété associative des opérations binaires est vérifiée si, pour un ensemble non vide A, on peut écrire (a * b) *c = a*(b * c). Supposons que N soit l’ensemble des nombres naturels et que la multiplication soit l’opération binaire. Soit a = 4, b = 5 c = 6. On peut écrire (a × b) × c = 120 = a × (b × c).

Distributive

Laissons * et o être deux opérations binaires définies sur un ensemble non vide A. Les opérations binaires sont distributives si a*(b o c) = (a * b) o (a * c) ou (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Considérons * comme une multiplication et o comme une soustraction. Et a = 2, b = 5, c = 4. Alors, a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. Et (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identité

Si A est l’ensemble non vide et * l’opération binaire sur A. Un élément e est l’élément identité de a ∈ A, si a * e = a = e * a. Si l’opération binaire est l’addition(+), e = 0 et pour * est la multiplication(×), e = 1.

Inverse

Si une opération binaire * sur un ensemble A qui satisfait a * b = b * a = e, pour tout a, b ∈ A. a-1 est inversible si pour a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 est inversible lorsque * est une multiplication.

Exemple résolu pour vous

Question 1 : Montrez que la division n’est pas une opération binaire dans N ni la soustraction dans N.

Réponse : Soit a, b ∈ N

Cas 1 : Opération binaire * = division(÷)

– : N × N→N donné par (a, b) → (a/b) ∉ N (comme 5/3 ∉ N)

Cas 2 : Opération binaire * = Soustraction(-)

– : N × N→N donnée par (a, b)→ a – b ∉ N (car 3 – 2 = 1 ∈ N mais 2-3 = -1 ∉ N).

Question 2 : Toutes les opérations binaires sont-elles fermées ?

Réponse : De nombreux ensembles qui vous sont familiers sont fermés sous certains opérateurs binaires, alors que beaucoup ne le sont pas. Ainsi, l’ensemble des entiers impairs reste fermé sous la multiplication. Par exemple, l’ensemble des nombres entiers impairs n’est pas fermé sous l’addition, car la somme de deux nombres impairs n’est pas toujours impaire, en fait, elle ne l’est jamais.

Question 3 : La racine carrée est-elle une opération binaire ?

Réponse : Une opération non binaire fait référence à un processus mathématique qui ne nécessite qu’un seul nombre pour obtenir quelque chose. L’addition, la soustraction, la multiplication et la division sont des exemples d’opérations binaires. De même, les exemples d’opérations non binaires consistent en des racines carrées, des factorielles, ainsi que des valeurs absolues.

Question 4 : Quel est l’élément d’identité dans une opération binaire ?

Réponse : Un élément d’identité ou élément neutre dans une opération binaire fait référence à un type spécial d’élément d’un ensemble par rapport à une opération binaire sur cet ensemble, qui laisse un élément de l’ensemble non affecté lorsqu’il est combiné avec lui. Nous utilisons ce concept dans les structures algébriques comme les groupes et les anneaux.

Question 5 : Qu’est-ce que le débordement binaire ?

Réponse : Le débordement a lieu lorsque la magnitude d’un nombre dépasse la plage autorisée par la taille du champ de bits. La somme de deux nombres signés de façon identique peut très bien dépasser la plage du champ de bits de ces deux nombres, et donc le débordement peut être une possibilité dans ce cas.

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