Spazio di Banach

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Operatori lineari, isomorfismiModifica

Articolo principale: Operatore vincolato

Se X e Y sono spazi normati sullo stesso campo fondamentale K, l’insieme di tutte le mappe lineari continue K T : X → Y è indicato con B(X, Y). Negli spazi infiniti, non tutte le mappe lineari sono continue. Una mappatura lineare da uno spazio normato X ad un altro spazio normato è continua se e solo se è limitata sulla sfera unitaria chiusa di X. Così, allo spazio vettoriale B(X, Y) può essere dato l’operatore norm

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ≤ 1 } .

T=sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \sup \mid x\in X,\ \x|x\ \x_{X\ \leq 1\destra}.

Per Y uno spazio di Banach, lo spazio B(X, Y) è uno spazio di Banach con rispetto a questa norma.

Se X è uno spazio di Banach, lo spazio B(X) = B(X, X) forma un’algebra di Banach unital; l’operazione di moltiplicazione è data dalla composizione di mappe lineari.

Se X e Y sono spazi normati, sono spazi normati isomorfi se esiste una biiezione lineare T : X → Y tale che T e il suo inverso T -1 sono continui. Se uno dei due spazi X o Y è completo (o riflessivo, separabile, ecc.) allora lo è anche l’altro spazio. Due spazi normati X e Y sono isometricamente isomorfi se inoltre T è un’isometria, cioè, ||La distanza Banach-Mazur d(X, Y) tra due spazi isomorfi ma non isometrici X e Y dà una misura di quanto i due spazi X e Y differiscono.

Nozioni di baseModifica

Il prodotto cartesiano X × Y di due spazi normati non è canonicamente dotato di una norma. Tuttavia, sono comunemente usate diverse norme equivalenti, come

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {displaystyle |(x,y)|_{1}=|x|+|y||,\qquadro ‖(x,y)‖_{{infty }=\max(|x|,|y|)}

(x,y)||{1}=x|+|y|,\qquadro \(x,y)\|_{infty }=\max(|x|,|y|)

e danno luogo a spazi normati isomorfi. In questo senso, il prodotto X × Y (o la somma diretta X ⊕ Y) è completo se e solo se i due fattori sono completi.

Se M è un sottospazio lineare chiuso di uno spazio normato X, esiste una norma naturale sullo spazio quoziente X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {M = inf m ∈ M ∈ x + M ∈ M ∈ M ∈ M ∈ M ∈ M ∈ M ∈ M ∈ M ∈ M ∈ M ∈ M ∇.

|x+M\=inf \limiti _{m\in M}|x+m\|.

Il quoziente X / M è uno spazio di Banach quando X è completo. La mappa quoziente da X a X / M, mandando x in X alla sua classe x + M, è lineare, onto e ha norma 1, tranne quando M = X, nel qual caso il quoziente è lo spazio nullo.

Si dice che il sottospazio lineare chiuso M di X è un sottospazio completato di X se M è l’intervallo di una proiezione lineare vincolata P da X su M. In questo caso, lo spazio X è isomorfo alla somma diretta di M e Ker(P), il kernel della proiezione P.

Supponiamo che X e Y siano spazi di Banach e che T ∈ B(X, Y). Esiste una fattorizzazione canonica di T come

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {displaystyle T=T_{1}circ \pi ,\ \ \ T:X {\overset {\pi }{longrightarrow }} X/\operatorname {Ker} (T)\configurazione {T_{1}}{longa-destra} Y}

T=T_T_{1}circola \pi ,\ \ \ T:X {overset {\pi}{longrightarrow }} X/\operatorname {Ker} (T)\\insieme {T_{1}}{longrightarrow }}\ Y

dove la prima mappa π è la mappa del quoziente, e la seconda mappa T1 invia ogni classe x + Ker(T) nel quoziente all’immagine T(x) in Y. Questo è ben definito perché tutti gli elementi della stessa classe hanno la stessa immagine. La mappatura T1 è una biiezione lineare da X / Ker(T) sull’intervallo T(X), la cui inversa non deve necessariamente essere delimitata.

Spazi classiciModifica

Esempi basilari di spazi di Banach includono: gli spazi Lp e i loro casi speciali, gli spazi di sequenze ℓp che consistono di sequenze scalari indicizzate da N; tra questi, lo spazio ℓ1 di sequenze assolutamente sommabili e lo spazio ℓ2 di sequenze sommabili quadrate; lo spazio c0 delle sequenze tendenti a zero e lo spazio ℓ∞ delle sequenze vincolate; lo spazio C(K) delle funzioni scalari continue su uno spazio compatto Hausdorff K, dotato della norma max,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {\displaystyle \f|f|{C(K)}=\max{|f(x)|:x\in K\},\quadro f\in C(K).} Per ogni spazio di Banach separabile X, esiste un sottospazio chiuso M di ℓ1 tale che X ≅ ℓ1/M.

Ogni spazio di Hilbert serve come esempio di spazio di Banach. Uno spazio di Hilbert H su K = R, C è completo per una norma della forma

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {displaystyle |x||_{H}={sqrt {\langolo x,x\aquinta,}

|x||{H}={sqrt {langolo x,x\aquinta},

dove

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K { {displaystyle \langolo \cdot ,\cdot \rangle :H \tempi H \mathbf {K} }

il triangolo \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K}

è il prodotto interno, lineare nel suo primo argomento che soddisfa quanto segue:

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {Per tutti gli x, y in H:\quadro \langolo y,x\rangolo &={overline {langolo x,y\rangolo},\per tutti gli x in H:\quadro \langolo x,x\rangolo &geq 0,\langolo x,x\rangolo =0 freccia sinistra destra x&=0.\end{aligned}}

Per esempio, lo spazio L2 è uno spazio di Hilbert.

Gli spazi di Hardy, gli spazi di Sobolev sono esempi di spazi di Banach che sono correlati agli spazi Lp e hanno una struttura supplementare. Sono importanti in diversi rami dell’analisi, analisi armonica e equazioni differenziali parziali tra gli altri.

Algebre di BanachModifica

Un’algebra di Banach è uno spazio di Banach A su K = R o C, insieme a una struttura di algebra su K, tale che la mappa prodotto A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A è continua. Si può trovare una norma equivalente su A in modo che ||ab|| ≤ ||a||| ||b|| per tutti a, b ∈ A.

EsempiModifica

  • Lo spazio di Banach C(K), con il prodotto puntuale, è un’algebra di Banach.
  • L’algebra del disco A(D) consiste di funzioni olomorfe nel disco aperto unitario D ⊂ C e continue sulla sua chiusura: D. Dotata della norma massima su D, l’algebra disco A(D) è una sottoalgebra chiusa di C(D).
  • L’algebra di Wiener A(T) è l’algebra delle funzioni sul cerchio unitario T con serie di Fourier assolutamente convergenti. Attraverso la mappa che associa una funzione su T alla sequenza dei suoi coefficienti di Fourier, questa algebra è isomorfa all’algebra di Banach ℓ1(Z), dove il prodotto è la convoluzione delle sequenze.
  • Per ogni spazio di Banach X, lo spazio B(X) degli operatori lineari vincolati su X, con la composizione di mappe come prodotto, è un’algebra di Banach.
  • Un’algebra C* è un’algebra di Banach complessa A con un’involuzione antilineare a ↦ a∗ tale che ||a∗a|| = ||a||2. Lo spazio B(H) degli operatori lineari delimitati su uno spazio di Hilbert H è un esempio fondamentale di C*-algebra. Il teorema di Gelfand-Naimark afferma che ogni algebra C* è isometricamente isomorfa a una sottoalgebra C* di qualche B(H). Lo spazio C(K) delle funzioni continue complesse su uno spazio compatto di Hausdorff K è un esempio di algebra C* commutativa, dove l’involuzione associa ad ogni funzione f il suo coniugato complesso f.

Spazio doppioModifica

Articolo principale: Spazio duale

Se X è uno spazio normato e K il campo sottostante (i numeri reali o complessi), lo spazio duale continuo è lo spazio delle mappe lineari continue da X in K, o funzionali lineari continue. La notazione per il duale continuo è X ′ = B(X, K) in questo articolo. Poiché K è uno spazio di Banach (usando il valore assoluto come norma), il duale X ′ è uno spazio di Banach, per ogni spazio normato X.

Lo strumento principale per dimostrare l’esistenza di funzioni lineari continue è il teorema di Hahn-Banach. Sia X uno spazio vettoriale sul campo K = R, C. Sia inoltre

  • Y ⊆ X un sottospazio lineare,
  • p : X → R sia una funzione sublineare e
  • f : Y → K sia un funzionale lineare in modo che Re( f (y)) ≤ p(y) per tutti y in Y.

Allora, esiste un funzionale lineare F : X → K in modo che F | Y = f , e ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . {F|{Y}=f,\quadro \testo e \quadro \per tutti gli x in X,\operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}

F|_{Y}=f,\quadro \testo e \quadro \per tutti gli x in X,\operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).

In particolare, ogni funzionale lineare continuo su un sottospazio di uno spazio normato può essere continuamente esteso a tutto lo spazio, senza aumentare la norma del funzionale. Un caso speciale importante è il seguente: per ogni vettore x in uno spazio normato X, esiste un funzionale lineare continuo f su X tale che

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {Se si tratta di un’azione che non si può fare a meno di fare, il suo valore non può essere più alto di 1.

f(x)=x\x_{X},\quadro \f\x_{X'}leq 1.

Quando x non è uguale al vettore 0, il funzionale f deve avere norma uno, ed è chiamato un funzionale normante per x.

Il teorema di separazione di Hahn-Banach afferma che due insiemi convessi non vuoti disgiunti in uno spazio reale di Banach, uno dei quali aperto, possono essere separati da un iperpiano affine chiuso. L’insieme convesso aperto sta strettamente da un lato dell’iperpiano, il secondo insieme convesso sta dall’altro lato ma può toccare l’iperpiano.

Un sottoinsieme S in uno spazio di Banach X è totale se l’arco lineare di S è denso in X. Il sottoinsieme S è totale in X se e solo se l’unico funzionale lineare continuo che svanisce su S è il funzionale 0: questa equivalenza segue dal teorema di Hahn-Banach.

Se X è la somma diretta di due sottospazi lineari chiusi M e N, allora il duale X ′ di X è isomorfo alla somma diretta dei duali di M e N. Se M è un sottospazio lineare chiuso in X, si può associare l’ortogonale di M nel duale,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . M^{{perp}==left{x’\in X’:x'(m)=0,\\per tutti i m\in M\destra}.}

M^{\i}perp }=left{x'\in X':x'(m)=0,\i per tutti i m in M\destra}.

L’ortogonale M ⊥ è un sottospazio lineare chiuso del duale. Il duale di M è isometricamente isomorfo a X ′ / M ⊥. Il duale di X / M è isometricamente isomorfo a M ⊥.

Il duale di uno spazio di Banach separabile non deve essere separabile, ma:

Teorema. Sia X uno spazio normato. Se X ′ è separabile, allora X è separabile.

Quando X ′ è separabile, il criterio precedente per la totalità può essere usato per dimostrare l’esistenza di un sottoinsieme totale numerabile in X.

Topologie deboliModifica

La topologia debole su uno spazio di Banach X è la topologia più grossolana su X per la quale tutti gli elementi x ′ nello spazio duale continuo X ′ sono continui. La topologia della norma è quindi più fine della topologia debole. Dal teorema di separazione di Hahn-Banach segue che la topologia debole è Hausdorff, e che un sottoinsieme convesso chiuso a norma di uno spazio di Banach è anche debolmente chiuso. Una mappa lineare norma-continua tra due spazi di Banach X e Y è anche debolmente continua, cioè continua dalla topologia debole di X a quella di Y.

Se X è infinito-dimensionale, esistono mappe lineari che non sono continue. Lo spazio X∗ di tutte le mappe lineari da X al campo sottostante K (questo spazio X∗ è chiamato spazio duale algebrico, per distinguerlo da X ′) induce anche una topologia su X che è più fine della topologia debole, e molto meno usata in analisi funzionale.

Su uno spazio duale X ′, esiste una topologia più debole della topologia debole di X ′, chiamata topologia debole*. È la topologia più grossolana su X ′ per cui tutte le mappe di valutazione x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, sono continue. La sua importanza deriva dal teorema di Banach-Alaoglu.

Teorema di Banach-Alaoglu. Sia X uno spazio vettoriale normato. Allora la sfera unitaria chiusa B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′||| ≤ 1} dello spazio duale è compatta nella topologia weak*.

Il teorema di Banach-Alaoglu dipende dal teorema di Tychonoff sui prodotti infiniti di spazi compatti. Quando X è separabile, la sfera unitaria B ′ del duale è un compatto metrizzabile nella topologia debole*.

Esempi di spazi dualiModifica

Il duale di c0 è isometricamente isomorfo a ℓ1: per ogni funzionale lineare delimitato f su c0, esiste un unico elemento y = {yn} ∈ ℓ1 tale che

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , e ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {displaystyle f(x)=somma _{n\mathbf {N} x_{n}y_{n},\qquadro x={x_{n}}in c_{0},\testo e \testo e \f \f \f \(c_{0})’}=y_{ell _{1}}.}

f(x)==somma _{n\i}in \mathbf {N}

Il duale di ℓ1 è isometricamente isomorfo a ℓ∞. Il duale di Lp() è isometricamente isomorfo a Lq() quando 1 ≤ p < ∞ e 1/p + 1/q = 1.

Per ogni vettore y in uno spazio di Hilbert H, la mappatura

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {displaystyle x\in H a f_{y}(x)=\langolo x,y\rangolo }

x in H a f_{y}(x)==langolo x,y\rangle

definisce un funzionale lineare continuo fy su H. Il teorema di rappresentazione di Riesz afferma che ogni funzionale lineare continuo su H è della forma fy per un vettore univocamente definito y in H. La mappatura y ∈ H → fy è una biiezione isometrica antilineare da H al suo duale H ′. Quando gli scalari sono reali, questa mappa è un isomorfismo isometrico.

Quando K è uno spazio topologico compatto di Hausdorff, il duale M(K) di C(K) è lo spazio delle misure di Radon nel senso di Bourbaki. Il sottoinsieme P(K) di M(K) costituito da misure non negative di massa 1 (misure di probabilità) è un sottoinsieme convesso w*-chiuso della sfera unitaria di M(K). I punti estremi di P(K) sono le misure di Dirac su K. L’insieme delle misure di Dirac su K, dotato della topologia w*, è omeomorfo a K.

Teorema di Banach-Stone. Se K e L sono spazi compatti di Hausdorff e se C(K) e C(L) sono isometricamente isomorfi, allora gli spazi topologici K e L sono omeomorfi.

Il risultato è stato esteso da Amir e Cambern al caso in cui la distanza moltiplicativa Banach-Mazur tra C(K) e C(L) è < 2. Il teorema non è più vero quando la distanza è = 2.

Nell’algebra di Banach commutativa C(K), gli ideali massimi sono appunto kernel di mesure di Dirac su K,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {I_{x} = ker delta _{x}={f in C(K):f(x)=0},\quadro x\ in K.}

I_{x}=\ker \delta _{x}={f\ in C(K):f(x)=0\},\quadro x\ in K.

Più in generale, per il teorema di Gelfand-Mazur, gli ideali massimi di un’algebra di Banach commutativa unital possono essere identificati con i suoi caratteri, non solo come insiemi ma come spazi topologici: i primi con la topologia hull-kernel e i secondi con la topologia w*. In questa identificazione, lo spazio ideale massimo può essere visto come un sottoinsieme w*-compatto della sfera unitaria nel duale A ′.

Teorema. Se K è uno spazio compatto di Hausdorff, allora lo spazio ideale massimo Ξ dell’algebra di Banach C(K) è omeomorfo a K.

Non ogni algebra di Banach commutativa unital è della forma C(K) per qualche spazio compatto di Hausdorff K. Tuttavia, questa affermazione vale se si pone C(K) nella categoria minore delle algebre C* commutative. Il teorema di rappresentazione di Gelfand per le algebre C* commutative afferma che ogni algebra C* unital commutativa A è isometricamente isomorfa a uno spazio C(K). Lo spazio compatto K di Hausdorff qui è di nuovo lo spazio ideale massimo, chiamato anche spettro di A nel contesto delle C*-algebre.

BidualeModifica

Se X è uno spazio normato, il duale (continuo) X ′′ del duale X ′ è chiamato biduale, o secondo duale di X. Per ogni spazio normato X, esiste una mappa naturale,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X a X”\F_{X}(x)(f)=f(x)&per tutte le x in X,\per tutte le f in X’\fine}}

{insieme dei casi}F_{X}:X a X''\F_{X}(x)(f)=f(x)\per tutti gli x in X,\per tutti i f in X'\fine dei casi}}

Questo definisce FX(x) come un funzionale lineare continuo su X ′, cioè un elemento di X ′′. La mappa FX : x → FX(x) è una mappa lineare da X a X ′′. Come conseguenza dell’esistenza di un funzionale normalizzante f per ogni x in X, questa mappa FX è isometrica, quindi iniettiva.

Per esempio, il duale di X = c0 è identificato con ℓ1, e il duale di ℓ1 è identificato con ℓ∞, lo spazio delle sequenze scalari limitate. Sotto queste identificazioni, FX è la mappa di inclusione da c0 a ℓ∞. È infatti isometrica, ma non onto.

Se FX è surgiettiva, allora lo spazio normato X è detto riflessivo (vedi sotto). Essendo il duale di uno spazio normato, il biduale X ′′ è completo, quindi ogni spazio normato riflessivo è uno spazio di Banach.

Utilizzando l’incorporazione isometrica FX, si usa considerare uno spazio normato X come un sottoinsieme del suo biduale. Quando X è uno spazio di Banach, è visto come un sottospazio lineare chiuso di X ′′. Se X non è riflessivo, la sfera unitaria di X è un sottoinsieme proprio della sfera unitaria di X ′′. Il teorema di Goldstine afferma che la sfera unitaria di uno spazio normato è debolmente*-densa nella sfera unitaria del bidimensionale. In altre parole, per ogni x ′′ nel bidimensionale, esiste una rete {xj} in X in modo che

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {x”(f)=lim _{j}f(x_{j}),\quadro f in X’.}

Sup _{j}|x_{j}|leq \x''\|,\\ x''(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\quadro f\in X'.

La rete può essere sostituita da una sequenza debolmente*convergente quando il duale X ′ è separabile. D’altra parte, gli elementi del biduale di ℓ1 che non sono in ℓ1 non possono essere deboli*-limite di sequenze in ℓ1, poiché ℓ1 è debolmente completo sequenzialmente.

Teoremi di BanachModifica

Ecco i principali risultati generali sugli spazi di Banach che risalgono all’epoca del libro di Banach (Banach (1932)) e sono legati al teorema della categoria Baire. Secondo questo teorema, uno spazio metrico completo (come uno spazio di Banach, uno spazio di Fréchet o uno spazio F) non può essere uguale a un’unione di innumerevoli sottoinsiemi chiusi con interni vuoti. Pertanto, uno spazio di Banach non può essere l’unione di numerosissimi sottospazi chiusi, a meno che non sia già uguale a uno di essi; uno spazio di Banach con una base di Hamel numerabile è finito-dimensionale.

Teorema di Banach-Steinhaus. Sia X uno spazio di Banach e Y uno spazio vettoriale normato. Supponiamo che F sia un insieme di operatori lineari continui da X a Y. Il principio di uniformità afferma che se per tutti gli x in X abbiamo supT∈F ||T(x)||Y < ∞, allora supT∈F ||T||Y < ∞.

Il teorema di Banach-Steinhaus non è limitato agli spazi di Banach. Può essere esteso per esempio al caso in cui X sia uno spazio di Fréchet, a condizione che la conclusione sia modificata come segue: sotto la stessa ipotesi, esiste un quartiere U di 0 in X tale che tutti i T in F siano uniformemente delimitati su U,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {T (x) in F, T (x) in U, T (x) in Y< infty.

{T\in F}sup _{x\in U};\|T(x)\||_{Y}\infty .

Teorema della Mappatura Aperta. Siano X e Y spazi di Banach e T : X → Y sia un operatore lineare continuo surgiettivo, allora T è una mappa aperta. Corollario. Ogni operatore lineare delimitato uno a uno da uno spazio di Banach a uno spazio di Banach è un isomorfismo. Il primo teorema di isomorfismo per gli spazi di Banach. Supponiamo che X e Y siano spazi di Banach e che T ∈ B(X, Y). Supponiamo inoltre che l’intervallo di T sia chiuso in Y. Allora X/ Ker(T) è isomorfo a T(X).

Questo risultato è una diretta conseguenza del precedente teorema di isomorfismo di Banach e della fattorizzazione canonica delle mappe lineari delimitate.

Corollario. Se uno spazio di Banach X è la somma diretta interna di sottospazi chiusi M1, …, Mn, allora X è isomorfo a M1 ⊕ … ⊕ Mn.

Questa è un’altra conseguenza del teorema di isomorfismo di Banach, applicato alla biiezione continua da M1 ⊕ … ⊕ Mn su X che manda (m1, …, mn) alla somma m1 + … + mn.

Il teorema del grafico chiuso. Sia T : X → Y una mappatura lineare tra spazi di Banach. Il grafico di T è chiuso in X × Y se e solo se T è continuo.

RiflessivitàModifica

Articolo principale: Spazio riflessivo

Lo spazio normato X si dice riflessivo quando la mappa naturale

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {begin{casi}F_{X}:X{ X”\F_{X}(x)(f)=f(x)&per ogni x in X,\per ogni f in X’\end{case}}}

{insieme dei casi}F_{X}:X a X''\F_{X}(x)(f)=f(x)\per tutti gli x in X,\per tutti i f in X'\fine dei casi}}

è surjettiva. Gli spazi normati riflessivi sono spazi di Banach.

Teorema. Se X è uno spazio di Banach riflessivo, ogni sottospazio chiuso di X e ogni spazio quoziente di X sono riflessivi.

Questa è una conseguenza del teorema di Hahn-Banach. Inoltre, per il teorema della mappatura aperta, se esiste un operatore lineare delimitato dallo spazio di Banach X allo spazio di Banach Y, allora Y è riflessivo.

Teorema. Se X è uno spazio di Banach, allora X è riflessivo se e solo se X ′ è riflessivo. Corollario. Sia X uno spazio di Banach riflessivo. Allora X è separabile se e solo se X ′ è separabile.

Infatti, se il duale Y ′ di uno spazio di Banach Y è separabile, allora Y è separabile. Se X è riflessivo e separabile, allora il duale di X ′ è separabile, quindi X ′ è separabile.

Teorema. Supponiamo che X1, …, Xn siano spazi normati e che X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Allora X è riflessivo se e solo se ogni Xj è riflessivo.

Gli spazi Hilbert sono riflessivi. Gli spazi Lp sono riflessivi quando 1 < p < ∞. Più in generale, gli spazi uniformemente convessi sono riflessivi, per il teorema di Milman-Pettis. Gli spazi c0, ℓ1, L1(), C() non sono riflessivi. In questi esempi di spazi non riflessivi X, il binomio X ′′ è “molto più grande” di X. Cioè, sotto la naturale inclusione isometrica di X in X ′′ data dal teorema di Hahn-Banach, il quoziente X ′′ / X è infinito-dimensionale, e anche non separabile. Tuttavia, Robert C. James ha costruito un esempio di spazio non riflessivo, solitamente chiamato “lo spazio di James” e indicato con J, tale che il quoziente J ′′ / J è unidimensionale. Inoltre, questo spazio J è isometricamente isomorfo al suo bidirezionale.

Teorema. Uno spazio di Banach X è riflessivo se e solo se la sua sfera unitaria è compatta nella topologia debole.

Quando X è riflessivo, ne segue che tutti i sottoinsiemi convessi chiusi e delimitati di X sono debolmente compatti. In uno spazio di Hilbert H, la compattezza debole della sfera unitaria è molto spesso usata nel modo seguente: ogni sequenza delimitata in H ha sottosequenze debolmente convergenti.

La compattezza debole della sfera unitaria fornisce uno strumento per trovare soluzioni in spazi riflessivi a certi problemi di ottimizzazione. Per esempio, ogni funzione continua convessa sulla sfera unitaria B di uno spazio riflessivo raggiunge il suo minimo in qualche punto di B.

Come caso speciale del risultato precedente, quando X è uno spazio riflessivo su R, ogni funzione lineare continua f in X ′ raggiunge il suo massimo || f || sulla sfera unitaria di X. Il seguente teorema di Robert C. James fornisce una dichiarazione inversa.

Teorema di James. Per uno spazio di Banach le seguenti due proprietà sono equivalenti:

  • X è riflessivo.
  • per ogni f in X ′ esiste x in X con ||x|| ≤ 1, così che f (x) = || f ||.

Il teorema può essere esteso per dare una caratterizzazione degli insiemi convessi debolmente compatti.

Su ogni spazio di Banach non riflessivo X, esistono funzioni lineari continue che non sono a norma. Tuttavia, il teorema di Bishop-Phelps afferma che le funzioni contenenti norme sono dense di norme nel duale X ′ di X.

Convergenze deboli di sequenzeModifica

Una sequenza {xn} in uno spazio di Banach X è debolmente convergente ad un vettore x ∈ X se f (xn) converge a f (x) per ogni funzione lineare continua f nel duale X ′. La sequenza {xn} è una sequenza debolmente Cauchy se f (xn) converge a un limite scalare L( f ), per ogni f in X ′. Una sequenza { fn } nel duale X ′ è debolmente* convergente a un funzionale f ∈ X ′ se fn (x) converge a f (x) per ogni x in X. Le sequenze debolmente Cauchy, debolmente convergenti e debolmente* convergenti sono norm bounded, come conseguenza del teorema di Banach-Steinhaus.

Quando la sequenza {xn} in X è una sequenza debolmente Cauchy, il limite L di cui sopra definisce un funzionale lineare delimitato sul duale X ′, cioè, un elemento L del biduale di X, e L è il limite di {xn} nella topologia debole* del biduale. Lo spazio di Banach X è debolmente completo in modo sequenziale se ogni sequenza debolmente Cauchy è debolmente convergente in X. Dalla discussione precedente segue che gli spazi riflessivi sono debolmente completi in modo sequenziale.

Teorema. Per ogni misura μ, lo spazio L1(μ) è debolmente completo in modo sequenziale.

Una sequenza ortonormale in uno spazio di Hilbert è un semplice esempio di sequenza debolmente convergente, con limite uguale al vettore 0. La base vettoriale unitaria di ℓp, 1 < p < ∞, o di c0, è un altro esempio di sequenza debolmente nulla, cioè una sequenza che converge debolmente a 0. Per ogni sequenza debolmente nulla in uno spazio di Banach, esiste una sequenza di combinazioni convesse di vettori della sequenza data che è norma-convertente a 0.

La base vettoriale unitaria di ℓ1 non è debolmente Cauchy. Le sequenze debolmente Cauchy in ℓ1 sono debolmente convergenti, poiché gli spazi L1 sono debolmente completi in modo sequenziale. In realtà, le sequenze debolmente convergenti in ℓ1 sono convergenti alla norma. Questo significa che ℓ1 soddisfa la proprietà di Schur.

Risultati che coinvolgono la base ℓ1Edit

Le sequenze debolmente Cauchy e la base ℓ1 sono i casi opposti della dicotomia stabilita nel seguente profondo risultato di H. P. Rosenthal.

Teorema. Sia {xn} una sequenza delimitata in uno spazio di Banach. O {xn} ha una sottosequenza debolmente Cauchy, o ammette una sottosequenza equivalente alla base vettoriale unitaria standard di ℓ1.

Un complemento a questo risultato è dovuto a Odell e Rosenthal (1975).

Teorema. Sia X uno spazio di Banach separabile. Le seguenti sono equivalenti:

  • Lo spazio X non contiene un sottospazio chiuso isomorfo a ℓ1.
  • Ogni elemento del biduale X ′′ è il limite debole* di una sequenza {xn} in X.

Per il teorema di Goldstine, ogni elemento della sfera unitaria B ′′ di X ′′ è debole*-limite di una rete nella sfera unitaria di X. Quando X non contiene ℓ1, ogni elemento di B ′′ è debole*-limite di una sequenza nella sfera unitaria di X.

Quando lo spazio di Banach X è separabile, la sfera unitaria del duale X ′′, dotato della topologia weak*, è uno spazio compatto metrizzabile K, e ogni elemento x ′′ nel biduale X ′′ definisce una funzione delimitata su K:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {\displaystyle x’\in K\mapsto x”(x’),\quadro \sinistra|x”(x’)\destra|leq \left|x”\destra|.}

x'\in K\mappa a x''(x'),\quadro \left|x''(x')\destra|leq \left|x''\destra|.

Questa funzione è continua per la topologia compatta di K se e solo se x ′′ è effettivamente in X, considerato come sottoinsieme di X ′′. Assumiamo inoltre per il resto del paragrafo che X non contenga ℓ1. Per il precedente risultato di Odell e Rosenthal, la funzione x ′′ è il limite puntuale su K di una sequenza {xn} ⊂ X di funzioni continue su K, è quindi una funzione di prima classe Baire su K. La sfera unitaria del bidello è un sottoinsieme compatto puntuale della prima classe Baire su K.

Sequenze, compattezza debole e debole* Modifica

Quando X è separabile, la sfera unitaria del duale è debole*-compatta per Banach-Alaoglu e metrizabile per la topologia debole*, quindi ogni sequenza delimitata nel duale ha sottosequenze debolmente* convergenti. Questo vale per gli spazi riflessivi separabili, ma in questo caso è vero di più, come indicato di seguito.

La topologia debole di uno spazio di Banach X è metrizzabile se e solo se X è finito-dimensionale. Se il duale X ′ è separabile, la topologia debole della sfera unitaria di X è metrizabile. Questo si applica in particolare agli spazi di Banach separabili riflessivi. Anche se la topologia debole della sfera unitaria non è metrizabile in generale, si può caratterizzare la compattezza debole usando le sequenze.

Teorema di Eberlein-Šmulian. Un insieme A in uno spazio di Banach è relativamente debolmente compatto se e solo se ogni sequenza {an} in A ha una sottosequenza debolmente convergente.

Uno spazio di Banach X è riflessivo se e solo se ogni sequenza delimitata in X ha una sottosequenza debolmente convergente.

Un sottoinsieme debolmente compatto A in ℓ1 è normocompatto. Infatti, ogni sequenza in A ha sottosequenze debolmente convergenti per Eberlein-Šmulian, che sono convergenti per la proprietà di Schur di ℓ1.