二項演算

Binary Operation

2つの数を足したり引いたり掛けたり割ると数になるように、私たちは、このような計算をしています。 二項演算は集合の任意の2つの要素を関連付ける。 その結果、2つは同じ集合の中にある。 集合に対する二項演算は、集合の2つの要素（オペランドと呼ぶ）を組み合わせて、同じ集合の別の要素を生成する計算である。

空でない集合Aに対する二項演算*は、A×AからAへの関数である。 A × A → A。これは、ドメインとコドメインが同じ集合の2つの要素の演算です。

加算、減算、乗算、除算、指数などは、2進演算の一部です。

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Properties of Binary Operation

• Closure property（二項演算の性質）。 空でない集合A上の演算*は、a∈A, b∈a * b∈A のとき、閉包性を持つ。
• 加算は、自然数（N）、整数（Z）、有理数（Q）、実数（R）、複素数（C）のそれぞれの集合上の二項演算である。

すべての無理数の集合に対する加算は二項演算ではありません。

• 乗算は、自然数（N）、整数（Z）、有理数（Q）、実数（R）、複素数（C）の各集合において二項演算である。

すべての無理数の集合に対する乗算は二項演算でない。

• Integer (Z), Rational numbers (Q), Real Numbers(R), Complex number(C)の各セット上で減算は二項演算です。

Natural numbers (N) のセット上で減算は二項演算ではありません。

• 除算は自然数(N)、整数(Z)、有理数(Q)、実数(R)、複素数(C)の集合上では二項演算にならない。
• 指数演算(x, y) → xy は自然数(N)の集合上では二項演算であり、整数(Z)の集合上では二項演算ではない。

二項演算の種類

可換

集合A上の二項演算*は、すべての（a，b）∈A（空でない集合）に対して、a * b = b * aであれば可換とする。 a＝8、b＝9の演算二項演算を加算とすると、a＋b＝17＝b＋aである。

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結合性

二項演算の結合性とは、以下の場合に成立する。 空でない集合Aに対して、(a * b) *c = a*(b * c)と書くことができる。 Nを自然数の集合、乗算を二項演算とする。 a＝4、b＝5、c＝6とする。 (a × b) × c = 120 = a × (b × c)と書ける。

Distributive

空でない集合A上で定義された二つの二項演算を*とoとすると、 a*(b o c) = (a * b) o (a * c) または (b o c)*a = (b * a) o (c * a) なら二項は分配式と言える。 を乗算、oを減算と考える。 そして、a＝2、b＝5、c＝4とする。 すると、a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2となる。 そして、(a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identity

Aを空でない集合、*をA上の二項演算とすると、以下のようになる。 要素eは、a * e = a = e * aのとき、a∈Aの恒等式要素である。

逆

集合A上の二項演算*で、a * b = b * a = eを満たす場合、すべてのa、b∈Aについて、a * b = b * a=eに対して、a-1 = bであれば可逆である。 1は*が乗算のとき可逆である＜3212＞＜1970＞Solved Example for You＜1104＞＜4675＞Question 1: 除算はNにおける二項演算でもNにおける減算でもないことを示せ＜3212＞＜4675＞Answer ..: a、b∈N

ケース1：2項演算*＝除算（÷）

-とする。 (a, b) → (a/b) ∉ N (as 5/3 ∉ N)で与えられるN×N→N

ケース2：2項演算 *=減算(-)

-とする。 (a, b)→a – b ∉ Nで与えられるN×N→N（3 – 2 = 1∈N だが 2-3 = -1∉ Nなので）

質問2：すべての二項演算は閉じているか

回答します。 みなさんがよく知っている多くの集合は、ある二項演算子のもとで閉じていますが、そうでないものも多くあります。 したがって、奇数整数の集合は乗算の下でも閉じたままです。 例えば、奇数整数の集合は加算の下では閉じていません。2つの奇数の和は常に奇数とは限らないからです。

質問3：平方根は二項演算子ですか？

回答。 非二項演算は、何かを達成するために1つの数字だけを必要とする数学的プロセスを指します。 加算、減算、乗算、除算は二項演算の例です。 同様に、非二項演算の例は平方根、階乗、および絶対値で構成されます。

Question 4: 二項演算の同一要素とは何ですか

回答。 二項演算における同一要素またはニュートラル要素とは、ある集合の二項演算に関して、その集合と結合してもその集合の要素が影響を受けない特別な種類の要素のことを指します。 群や環のような代数的構造でこの概念を使用します。

質問5：2値のオーバーフローとは何ですか？

回答：2値のオーバーフローとは何ですか？ オーバーフローは、数値の大きさがビットフィールドのサイズによって許容される範囲を超えるときに起こります。 2つの同じ符号付き数値の合計は、その2つの数値のビットフィールドの範囲を超える可能性が非常に高く、したがって、この場合、オーバーフローが発生する可能性があります。