Binaire Bewerkingen

Binaire bewerking

Net zoals we een getal krijgen wanneer twee getallen worden opgeteld of afgetrokken of worden vermenigvuldigd of worden gedeeld. De binaire bewerkingen associëren twee willekeurige elementen van een verzameling. De resultante van de twee bevindt zich in dezelfde verzameling. Binaire bewerkingen op een verzameling zijn berekeningen die twee elementen van de verzameling (operanden genoemd) combineren om een ander element van dezelfde verzameling te produceren.

De binaire bewerkingen * op een niet-lege verzameling A zijn functies van A × A naar A. De binaire bewerking, *: A × A → A. Het is een bewerking van twee elementen van de verzameling waarvan het domein en het co-domein in dezelfde verzameling liggen.

Toevoeging, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, exponentieel is een aantal van de binaire bewerkingen.

Download Relaties spiekbriefje PDF door op onderstaande Download knop te klikken

Eigenschappen van binaire bewerking

• Eigenschap van sluiting: Een bewerking * op een niet-lege verzameling A heeft sluitingseigenschap, als a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
• Toevoegingen zijn de binaire bewerkingen op elk van de verzamelingen Natuurlijke getallen (N), Gehele getallen (Z), Rationale getallen (Q), Reële getallen (R), Complexe getallen (C).

De optellingen op de verzameling van alle irrationale getallen zijn niet de binaire bewerkingen.

• Multiplicatie is een binaire bewerking op elk van de verzamelingen Natuurlijke getallen (N), Geheel getal (Z), Rationale getallen (Q), Reële getallen (R), Complex getal (C).

Multiplicatie op de verzameling van alle irrationale getallen is geen binaire bewerking.

• Aftrekken is een binaire bewerking op elk van de verzamelingen gehele getallen (Z), rationale getallen (Q), reele getallen (R), complexe getallen (C).

Aftrekken is geen binaire bewerking op de verzameling natuurlijke getallen (N).

• Deling is geen binaire bewerking op de verzameling Natuurlijke getallen (N), Geheel getal (Z), Rationale getallen (Q), Reële getallen (R), Complex getal (C).
• Exponentiële bewerking (x, y) → xy is een binaire bewerking op de verzameling Natuurlijke getallen (N) en niet op de verzameling Gehele getallen (Z).

Typen van binaire operaties

Commutatief

Een binaire operatie * op een verzameling A is commutatief als a * b = b * a, voor alle (a, b) ∈ A (niet-lege verzameling). Laat optellen de werkende binaire bewerking zijn voor a = 8 en b = 9, a + b = 17 = b + a.

Browse more Topics Under Relaties en Functies

• Relaties
• Functies
• Types van relaties
• Types van functies
• Voorstelling van functies
• Compositie van Functies en Inverteerbare Functie
• Algebra van Reële Functies
• Cartesisch Product van Sets
• Binaire Operaties

Associatief

De associatieve eigenschap van binaire operaties geldt als, voor een niet-lege verzameling A, we kunnen schrijven (a * b) *c = a*(b * c). Stel N is de verzameling van natuurlijke getallen en vermenigvuldiging is de binaire bewerking. Zij a = 4, b = 5 c = 6. We kunnen schrijven (a × b) × c = 120 = a × (b × c).

Distributief

Zie * en o als twee binaire operaties gedefinieerd op een niet-lege verzameling A. De binaire operaties zijn distributief als a*(b o c) = (a * b) o (a * c) of (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Beschouw * als vermenigvuldiging en o als aftrekking. En a = 2, b = 5, c = 4. Dan is a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. En (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identiteit

Als A de niet-lege verzameling is en * de binaire bewerking op A. Een element e is het identiteitselement van a ∈ A, als a * e = a = e * a. Als de binaire operatie optelling(+) is, is e = 0 en als * vermenigvuldiging(×) is, is e = 1.

Inverteerbaar

Als een binaire operatie * op een verzameling A die voldoet aan a * b = b * a = e, voor alle a, b ∈ A. a-1 is inverteerbaar als voor a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 is inverteerbaar als * een vermenigvuldiging is.

Opgelost voorbeeld voor U

Vraag 1: Toon aan dat deling geen binaire bewerking is in N en aftrekking evenmin in N.

Antwoord : Zij a, b ∈ N

Geval 1: Binaire bewerking * = deling(÷)

-: N × N→N gegeven door (a, b) → (a/b) ∉ N (als 5/3 ∉ N)

Voorbeeld 2: Binaire bewerking * = aftrekking(-)

-: N × N→N gegeven door (a, b)→ a – b ∉ N (want 3 – 2 = 1 ∈ N maar 2-3 = -1 ∉ N).

Vraag 2: Zijn alle binaire bewerkingen gesloten?

Antwoord: Veel verzamelingen die u wellicht bekend zijn, zijn onder bepaalde binaire operatoren gesloten, terwijl vele dat niet zijn. Zo blijft de verzameling van oneven gehele getallen gesloten onder vermenigvuldiging. Zo is de verzameling van oneven gehele getallen niet gesloten onder optelling, want de som van twee oneven getallen is niet altijd oneven, sterker nog, ze is nooit oneven.

Vraag 3: Is vierkantswortel een binaire bewerking?

Antwoord: Een niet-binaire bewerking verwijst naar een wiskundig proces waarbij slechts één getal nodig is om iets te bereiken. Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn voorbeelden van binaire bewerkingen. Voorbeelden van niet-binaire bewerkingen zijn vierkantswortels, factorialen en absolute waarden.

Vraag 4: Wat is het identiteits-element in een binaire bewerking?

Antwoord: Een identiteitselement of neutraal element in een binaire bewerking verwijst naar een speciaal soort element van een verzameling met betrekking tot een binaire bewerking op die verzameling, dat een element van de verzameling onaangetast laat wanneer het ermee gecombineerd wordt. We gebruiken dit begrip in algebraïsche structuren zoals groepen en ringen.

Vraag 5: Wat is de binaire overflow?

Antwoord: Overflow vindt plaats wanneer de grootte van een getal het bereik overschrijdt dat is toegestaan door de grootte van het bitveld. De som van twee identiek getekende getallen kan heel goed het bereik van het bitveld van die twee getallen overschrijden, en dus kan overflow in dit geval een mogelijkheid zijn.